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Fig. 1: Un péndulo balístico utiliza la conservación del momento para determinar la velocidad de una bala. MikeRun (CC BY-SA 4.0).
Con esta configuración, podemos calcular el momento del sistema después del disparo. Como el momento se conserva, el sistema debe haber tenido la misma cantidad al disparar la bala y, por tanto, podemos hallar la velocidad de la bala. La conservación del momento es especialmente útil para comprender las colisiones, ya que a veces pueden tener resultados inesperados.
Si tienes una pelota de baloncesto y otra de tenis, puedes probar esto en casa: sujeta la pelota de tenis encima de la pelota de baloncesto y déjalas caer juntas. ¿Qué crees que ocurrirá?
Fig. 2: Dejar caer una pelota de tenis encima de una pelota de baloncesto hace que la pelota de tenis rebote muy alto.
¿Te ha sorprendido? ¿Te gustaría entender por qué ocurre esto? Si es así, sigue leyendo. Discutiremos la conservación del momento con más detalle y exploraremos estos ejemplos y otras múltiples aplicaciones.
Ley de conservación del momento
Empecemos por repasar qué es el momento.
Momento es una cantidad vectorial dada como el producto de la masa y la velocidad de un objeto en movimiento.
Esta cantidad también se conoce como momento lineal o momento traslacional.
Recuerda que en física hay dos tipos importantes de cantidades:
- Cantidades vectoriales: Requieren especificar su magnitud y dirección para estar bien definidas.
- Magnitudes escalares: Sólo requieren especificar su magnitud para estar bien definidas.
Matemáticamente, podemos calcular el momento con la siguiente fórmula
\[p=mv\]
donde \(p\) es el momento en kilogramos metros por segundo \(\dfrac{mathrm{kg}}{mathrm{m}\cdot \mathrm{s}\bigg)\), \(m\) es la masa en kilogramos (\(\mathrm{kg}\)) y \(v\) es la velocidad en metros por segundo \(\bigg(\dfrac{m}{s}\bigg)\).
Es importante señalar que el momento es una cantidad vectorial porque es el producto de una cantidad vectorial -la velocidad- y una cantidad escalar -la masa-. La dirección del vector momento es la misma que la de la velocidad del objeto. Al calcular el momento, elegimos su signo algebraico en función de su dirección.
Calcula el momento de una masa de \(15 \,\, \mathrm{kg}) que se mueve con una velocidad de \(8 \,\, \mathrm{m}/\mathrm{s}) hacia la derecha.
Solución
Como conocemos la masa y la velocidad, podemos calcular directamente el momento sustituyendo estos valores en la ecuación del momento y simplificando.
\[\ inicio{alineado} p=&mv \ p=&(15\,\,\mathrm{kg})\bigg(8\,\,\dfrac{mathrm{m}}{mathrm{s}}bigg) \ p=& 120 \,\,\dfrac{mathrm{kg}\cdot{mathrm{m}}{mathrm{s}} \end{aligned}\]
El momento de esta masa resulta ser \(120\,\,\dfrac{mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{mathrm{s}}) hacia la derecha.Al igual que la ley de conservación de la materia en química y la ley de conservación de la energía en física, existe una ley de conservación del momento.
La Ley de Conservación del Momento establece que la cantidad total de momento en un sistema cerrado se conserva.
Como ya hemos dicho, para mantener constante el momento de nuestro sistema, necesitamos algunas condiciones especiales. Observa que la Ley de Conservación del Momento aclara que sólo es válida para sistemas cerrados. Pero, ¿qué significa eso?
Condiciones para la conservación del momento
Para comprender las condiciones de conservación del momento, primero debemos distinguir entre fuerzas internas y externas.
Las fuerzasinternas son las que ejercen los objetos del interior del sistema sobre sí mismos.
Las fuerzas internas son pares de fuerzas de acción-reacción entre los elementos que componen el sistema.
Las fuerzasexternas son las que ejercen los objetos del exterior del sistema.
Teniendo clara la distinción del tipo de Fuerza que puede actuar sobre un sistema, podemos aclarar cuándo se conserva el momento. Como establece la Ley de Conservación del Momento, esto sólo ocurre en los sistemas cerrados.
Un sistema cerrado es aquel sobre el que no actúan fuerzas externas.
Por tanto, para observar la conservación del momento, en nuestro sistema sólo debemos permitir que interactúen fuerzas internas en el sistema y aislarlo de cualquier Fuerza externa. Veamos algunos ejemplos para aplicar estos nuevos conceptos.
Considera nuestro sistema como una bola de billar en reposo. Como su velocidad es cero, no tiene momento.
\[\begin{aligned} p&=mv \ p&=m \cdot 0 \\\ p&=0\end{aligned}]
Sin embargo, si un taco golpea la bola, aplica una fuerza que la hace moverse y cambia el momento de la bola. En este caso, el momento no permanece constante. Aumenta porque interviene una fuerza externa aplicada por el taco.
Fig. 3: El taco aplica una fuerza externa que modifica el momento del sistema.
Ahora, para un ejemplo de sistema cerrado, considera dos bolas de billar. Una de ellas se mueve hacia la derecha con cierta velocidad y la otra está en reposo. Si la bola en movimiento golpea a la que está en reposo, ejerce una fuerza sobre esta segunda bola. A su vez, por la Tercera Ley de Newton, la bola en reposo ejerce una fuerza sobre la primera. Como las bolas ejercen fuerzas implicadas en sí mismas que sólo son fuerzas internas, el sistema es cerrado. Por tanto, el momento del sistema se conserva.
Fig. 4: Una bola de billar que golpea a otra puede considerarse un sistema cerrado. Por tanto, el momento se conserva.
El sistema tiene el mismo momento total antes y después del impacto. Como las masas de ambas bolas son iguales, antes y después de chocar, una de ellas se desplaza con la misma velocidad hacia la derecha.
La cuna de Newton es otro ejemplo en el que podemos observar la conservación del momento. En este caso, consideremos como sistema la cuna y la Tierra. El peso de las esferas y la tensión de las cuerdas son, pues, fuerzas internas.
Al principio, las esferas están en reposo, por lo que este sistema no tiene momento. Si interactuamos con el sistema alejando y luego soltando una de las esferas, estamos aplicando una fuerza externa, por lo que el momento del sistema cambia de cero a una cierta cantidad.
Ahora, dejando el sistema solo, las esferas empiezan a impactar entre sí. Si ignoramos la fricción del aire, sobre el sistema sólo actúan fuerzas internas -las de las esferas sobre sí mismas, la tensión de las cuerdas y los pesos del vertedero-, por lo que el sistema puede considerarse cerrado.
Fig. 5: Una cuna de Newton es un ejemplo de conservación del momento. La esfera de la derecha golpea a su esfera adyacente transfiriendo su momento a la esfera de la izquierda.
La primera esfera choca con la segunda, transfiriéndole el momento. A continuación, el impulso se transfiere de la segunda a la tercera esfera. Continúa así hasta llegar a la última esfera. Como resultado de la conservación del momento, la esfera del extremo opuesto se balancea en el aire con el mismo momento que la bola que fue arrastrada y soltada.
Ecuación de conservación del momento
Ahora sabemos que el momento se conserva cuando se trata de un sistema cerrado. Veamos ahora cómo podemos expresar matemáticamente la conservación del momento. Consideremos un sistema formado por dos masas, \(m_1\) y \(m_2\). El momento total del sistema es la suma del momento de cada una de estas masas. Consideremos que inicialmente se mueven con velocidades \(u_1\) y \(u_2\), respectivamente.
\[\begin{aligned} \text{Momento inicial total}&= p_1+p_2 \text{Momento inicial total}&=m_1\cdot u_1 + m_2 \cdot u_2 \end{aligned}].
Entonces, después de que estas masas interactúen entre sí, sus velocidades cambian. Representemos estas nuevas velocidades como \(v_1\) y \(v_2\), respectivamente.
\[\begin}{alineado} \text{Momento inicial total}&= p_1+p_2 \text{Momento inicial total}&=m_1\cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 \end{aligned}].
Por último, como el momento se conserva, el momento final y el inicial del sistema deben ser iguales.
\[\begin{aligned}\text{Momento inicial total}&=\text{Momento final total} \\ m_1\cdot u_1+m_2\cdot u_2&=m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2end{aligned}\[fin].
Recuerda que el momento es una cantidad vectorial. Por tanto, si el movimiento es en dos dimensiones, tenemos que utilizar la ecuación anterior una vez para la dirección horizontal y otra vez para la dirección vertical.
Como parte de una prueba, se colocan explosivos en una masa \(50\,\mathrm{kg}\) en reposo. Tras la explosión, la masa se divide en dos fragmentos. Uno de ellos, con una masa de \(30\,\mathrm{kg}), se desplaza hacia el oeste con una velocidad de \(40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}). Calcula la velocidad del otro fragmento.
Solución
La masa de \(50\,\mathrm{kg}\) está inicialmente en reposo, por lo que el momento inicial es cero. El momento final es la suma de los momentos de los dos fragmentos tras la explosión. Nos referiremos al fragmento \(30\,\mathrm{kg}) como fragmento \(a\) y al otro fragmento, de masa \(50\,\,\mathrm{kg}-30,\mathrm{kg}), será el fragmento \(b\). Podemos utilizar un signo negativo para indicar un movimiento en dirección oeste. Por tanto, un signo positivo significa que el movimiento es en dirección este. Empecemos por identificar las cantidades que conocemos.
\[\begin{aligned} m_a &=30,\mathrm{kg} \\ v_a &= -40,\dfrac{m}{s}(\text{movimiento hacia el oeste})\ m_b &=20,\mathrm{kg}\ v_b &=? \fin]]
Por conservación del momento, sabemos que el momento total antes y después de la explosión es el mismo.
\[P_i=P_f\]
Además, sabemos que el momento inicial es cero, ya que la \(50\,\mathrm{kg})masa estaba en reposo. Podemos sustituir este valor en el lado izquierdo y expresar el momento final como la suma del momento de cada fragmento y aislar la velocidad final del fragmento \(b\).
\[\begin{alineado} P_i&=P_f \\ 0&=m_a \cdot v_a +m_a \cdot v_b \\ -m_a \cdot v_a &= m_b \cdot v_b \\dfrac{-m_a \cdot v_a}{m_b}&=v_b\final{alineado}].
Ahora podemos sustituir los valores y simplificar.
\v_b &= dfrac{-m_a}dot v_a}{m_b} \\ v_b&= \dfrac{-30,\}{cancelar{\mathrm{kg}}{cdot -40,\}, \dfrac{\mathrm{m}{mathrm{s}}{20,\}{cancelar{\mathrm{kg}}. \\ v_b&=\dfrac{1200\,\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{20} \\ v_b&=60\,\,\mathrm{\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}\end{aligned}\]
Por tanto, el fragmento \(b\), se mueve con una velocidad de \(60\,\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}) hacia el este.
Conservación del momento durante una colisión
Una de las aplicaciones más importantes de la conservación del momento se produce durante las colisiones. Las colisiones ocurren todo el tiempo y nos permiten modelizar escenarios muy diferentes.
Una colisión se refiere a un objeto que se mueve hacia otro, se acerca lo suficiente como para interactuar y ejerce una fuerza sobre el otro en un breve espacio de tiempo.
Las bolas que chocan entre sí en una mesa de billar son un ejemplo de colisión.
Fig. 6: El concepto de colisión se aplica a las bolas de una mesa de billar.
Aunque el concepto de colisión se aplica a una amplia gama de situaciones, lo que ocurre durante o después de una colisión es crucial para su estudio. Por esta razón, podemos clasificar las colisiones en diferentes tipos.
Colisiones elásticas
En una colisión elástica, los objetos permanecen separados tras colisionar entre sí, conservándose la energía cinética total y el momento.
El choque de dos bolas de billar puede considerarse un choque elástico.
Volvamos a uno de los ejemplos que hemos mencionado antes: dos bolas de billar, una moviéndose hacia la derecha y la otra en reposo. Una bola de billar tiene una masa de aproximadamente \(0,2\,\mathrm{kg}\). Consideremos que la bola se mueve hacia la derecha a \(10\,\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}). Calculemos la cantidad total de momento inicial.
\[\begin{aligned} \text{Momento inicial total}&=p_1+p_2 \\tu &= m_1\cdot u_1 + m_2 \cdot u_2 \tu &\tu &=0,2\tu,\mathrm{kg} \cdot 10 \cdot, \dfrac {\mathrm{m}}{\mathrm{s}}+0,2\,\mathrm{kg}{\cdot 0 \cdot &= 2,\, \dfrac {\mathrm{kg}{\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}}end{aligned}} \]
Dijimos que, debido a la conservación del momento, tras la colisión la primera bola se detiene, y la segunda se mueve con la misma velocidad que tenía la primera, en este caso, \(10\,\,\dfrac{mathrm{m}}{mathrm{s}}).
Fig. 7: La bola blanca se detendrá, mientras que la bola azul se moverá en la dirección correcta tras la colisión.
El resultado es el mismo momento total tras la colisión.
\Texto \text{Momento inicial total}&=p_1+p_2 \\t&= m_1\cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 \t&=0,2\,\mathrm{kg} \cdot 0+0,2\,\,\mathrm{kg}\cdot 10\,\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\ &= 2\,\, \dfrac {mathrm{kg}\cdot {mathrm{m}}{mathrm{s}}end{alineado} \]
Pero ¿qué pasa con este escenario: la primera bola rebota en \(10\,,\dfrac{mathrm{m}}{mathrm{s}}) mientras que la segunda empieza a moverse en \(20\,,\dfrac{mathrm{m}}{mathrm{s}}). Calculemos el momento de este escenario. Como consideramos positiva la dirección hacia la derecha, un movimiento hacia la izquierda es negativo.
\[\begin{aligned} \text{Momento inicial total}&=p_1+p_2 &= m_1\cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 &&=0,2\,\mathrm{kg} \cdot -10\,\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}+0,2\,\,\mathrm{kg}\cdot 20\,\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\ &= -2\,\, \dfrac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}}+4\,\,\dfrac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\ &=2\,\,\dfrac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{aligned} \]
Todo parece ir bien, ¿verdad? Al fin y al cabo, el momento también se conserva en este caso. Sin embargo, si intentas observar algo así haciendo chocar dos bolas de billar, no ocurrirá nunca. ¿Sabes por qué? Recuerda que en estas colisiones no sólo debe conservarse el momento, ¡también debe conservarse la energía! En la primera hipótesis, la energía cinética es la misma antes y después de la colisión, porque en ambos casos, sólo una bola se mueve a \ (10\,\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}). Pero en el segundo escenario, ambas bolas se mueven tras la colisión, una a \(10\, \dfrac{mathrm{m}}{mathrm{s}}) y la otra a \ (20\,\dfrac{mathrm{m}}{mathrm{s}}). Por lo tanto, la energía cinética sería mucho mayor que al principio, lo que no es posible.
Fig. 8: Este resultado no es posible porque, aunque se conserva el momento del sistema, no se conserva la energía cinética.
Ten en cuenta que ninguna colisión es realmente elástica, ya que siempre se pierde parte de la energía. Por ejemplo, si das una patada a un balón de fútbol, tu pie y el balón permanecen separados después de chocar, pero parte de la energía se pierde en forma de calor y del sonido del impacto. Sin embargo, a veces la pérdida de energía es tan pequeña que podemos modelizar la colisión como elástica sin problemas.
¿Por qué se conserva el momento?
Como hemos dicho antes, el momento se conserva cuando tenemos un sistema cerrado. Las colisiones son un buen ejemplo de ello. Por eso el momento es esencial al estudiar las colisiones. Modelizando matemáticamente una colisión sencilla, podemos concluir que el momento debe conservarse. Observa la siguiente figura, que muestra un sistema cerrado formado por dos masas \(m_1\) y \(m_2\). Las masas se dirigen la una hacia la otra con velocidades iniciales \(u_1\) y \(u_2\), respectivamente.
Fig. 9: Dos objetos están a punto de colisionar.
Durante la colisión, ambos objetos ejercen fuerzas \(F_1\) y \(F_2\) entre sí, como se muestra a continuación.
Fig. 10: Ambos objetos ejercen fuerzas entre sí.
Tras la colisión, ambos objetos se mueven por separado en direcciones opuestas con velocidades finales \(v_1\) y \(v_2\), como se muestra a continuación.
Fig. 11: Ambos objetos se mueven en direcciones opuestas con velocidades respectivas.
Como establece la Tercera Ley de Newton, las fuerzas de los objetos que interactúan son iguales y opuestas. Por tanto, podemos escribir
\[F_1=-F_2\]
Por la Segunda Ley de Newton, sabemos que estas fuerzas provocan una aceleración en cada objeto que puede describirse como
\[F=ma.\]
Utilicemos esto para sustituirpor cada fuerza en nuestra ecuación anterior.
\[\begin{aligned} F_1&=-F_2 \\ m_1 a_1 &= - m_2 a_2 \end{aligned} \]
Ahora bien, la aceleración se define como el índice de cambio de la velocidad. Por tanto, la aceleración puede expresarse como la diferencia entre la velocidad final y la velocidad inicial de un objeto dividida por el intervalo de tiempo de este cambio. Por tanto, tomandocomo velocidad finalla velocidad inicial ycomo el tiempo, obtenemos
\[\begin{aligned} a&=\dfrac{v-u}{t} \\ m_1 a_2 &=-m_2a_2 \dfrac{m_1(v_1-u_1)}{t_1}&=dfrac{m_2(v_2-u_2)}{t_2}. \end{aligned}\]
Como los tiempos t1y t2son iguales porque el tiempo de impacto entre los dos objetos es el mismo. Podemos simplificar la ecuación anterior como
\m_1 v_1- m_1 u_1 = m_2 u_2-m_2 v_2].
Reordenando lo anterior se obtiene
\[m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2].
Observa cómo el lado izquierdo es el momento total antes de la colisión, ya que sólo intervienen las velocidades iniciales de las masas, mientras que el lado derecho representa el momento total después de la colisión, que sólo depende de las velocidades finales. Por tanto, ¡la ecuación anterior afirma que el Momento Lineal se conserva! Ten en cuenta que las velocidades cambian tras el impacto, pero las masas siguen siendo las mismas.
Colisiones perfectamente inelásticas
Una colisión perfectamenteinelástica se produce cuando dos objetos chocan y, en lugar de moverse por separado, ambos se mueven como una sola masa.
Un choque de coches en el que éstos se pegan entre sí es un ejemplo de colisión perfectamente inelástica .
En las colisiones perfectamente inelásticas se conserva el momento, pero no la energía cinética total. En estas colisiones, la energía cinética total cambia porque parte de ella se pierde en forma de sonido, calor, cambios en la Energía Interna del nuevo sistema y unión de ambos objetos. Por eso se llama colisión inelástica ya que el objeto deformado no vuelve a su forma original.
En este tipo de colisión, podemos tratar los dos objetos iniciales como un único objeto tras la colisión. La masa de un objeto único es la suma de las masas individuales antes de la colisión. Y la velocidad de este objeto único es la suma vectorial de las velocidades individuales antes de la colisión. Denominaremos a esta velocidad resultante.
| Momento inicial (Antes de la colisión) | Momento final (Después de la colisión) |
| \(m_1 v_1 +m_2 v_2\) | \((m_1 + m_2)v_f\) donde \( v_f=v_1+v_2\) |
| Por conservación del momento | |
| \(m_1 v_1 +m_2 v_2=(m_1 + m_2)v_f\) | |
En realidad, ninguna colisión es elástica o perfectamente inelástica, ya que se trata de modelos idealizados. Por el contrario, cualquier colisión se encuentra en algún punto intermedio, ya que siempre se pierde algún tipo de energía cinética. Sin embargo, a menudo aproximamos una colisión a cualquiera de estos casos ideales extremos para simplificar los cálculos.
Una colisión que no es ni elástica ni perfectamente inelástica se denomina simplemente colisión inelástica.
Ejemplos de conservación del momento
Sistema de pistola y bala
Inicialmente, la pistola y la bala dentro de la pistola están en reposo, por lo que podemos deducir que el momento total para este sistema antes de apretar el gatillo es cero. Después de apretar el gatillo, la bala se mueve hacia delante mientras que la pistola retrocede hacia atrás, cada una de ellas con la misma magnitud de momento pero direcciones opuestas. Como la masa del arma es mucho mayor que la masa de la bala, la velocidad de la bala es mucho mayor que la velocidad de retroceso.
Cohetes y motores a reacción
El impulso de un cohete es inicialmente nulo. Sin embargo, debido a la combustión del combustible, los gases calientes salen a gran velocidad y con un gran impulso. En consecuencia, los cohetes adquieren el mismo momento, pero el cohete se mueve hacia arriba a diferencia de los gases, ya que el momento total debe permanecer nulo.
Caída de una pelota de baloncesto y de tenis
El ejemplo presentado al principio muestra cómo la pelota de tenis es lanzada muy alto. Tras rebotar en el suelo, la pelota de baloncesto transfiere parte de su momento a la pelota de tenis. Como la masa de la pelota de baloncesto es mucho mayor (unas diez veces la masa de la pelota de tenis), la pelota de tenis adquiere una velocidad mucho mayor que la que obtendría la pelota de baloncesto al rebotar sola.
Conservación del momento - Puntos clave
- El momento es el producto de la masa y la velocidad de un objeto en movimiento.
- El momento es una cantidad vectorial, por lo que necesitamos especificar su magnitud y dirección para poder trabajar con él.
- La conservación del momento establece que el momento total en un sistema cerrado se conserva.
- En una colisión elástica, los objetos permanecen separados después de chocar.
- En una colisión elástica, el momento y la energía cinética se conservan.
- En una colisión perfectamente inelástica, los objetos que colisionan se mueven como una sola masa después de la colisión.
- En una colisión perfectamente inelástica, el momento se conserva, pero no la energía cinética total.
- En realidad, ninguna colisión es ni elástica ni perfectamente inelástica. Sólo son modelos idealizados.
- Las colisiones que no son ni elásticas ni perfectamente inelásticas las denominamos simplemente inelásticas.
Referencias
- Fig. 1: Péndulo balístico (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sketch_of_a_ballistic_pendulum.svg) by MikeRun is licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en)
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