Movimiento Circular y Diagramas de Cuerpo Libre

Cómo dibujar un diagrama de cuerpo libre

Para empezar, hablemos de qué es un diagrama de cuerpo libre y por qué es importante. Un diagrama de cuerpo libre, también conocido como diagrama de fuerzas, es un diagrama que muestra todas las fuerzas vectoriales que actúan sobre un objeto. Es útil dibujar el objeto separado del sistema e identificar cada fuerza que actúa sobre el objeto. No incluyas las fuerzas que el objeto ejerce sobre otros objetos, sólo las que actúan sobre el objeto. Si hay varios objetos en un sistema, tendrás que hacer un diagrama de cuerpo libre para cada objeto.

Representamos las fuerzas en un diagrama de cuerpo libre utilizando vectores. Mostramos cada fuerza que actúa sobre el objeto dibujando un vector cuya longitud y dirección representan la magnitud y la dirección de la fuerza, respectivamente. Dibujamos los diagramas de cuerpo libre de dos formas distintas. La primera consiste en dibujar los vectores de fuerza que actúan sobre el objeto partiendo de un punto que representa el centro de masa del objeto. La segunda forma consiste en dibujar cada vector de fuerza sobre el objeto en el punto donde actúa la fuerza. La imagen siguiente es un ejemplo de diagrama de cuerpo libre para una caja sobre una rampa. Los vectores de la fuerza de gravedad, la fuerza normal y la fuerza de rozamiento parten del centro de masa de la caja y apuntan en la dirección de la fuerza.

Diagrama de cuerpo libre de una caja sobre una rampa, StudySmarter Originals

Diagrama de cuerpo libre para el movimiento circular

Ahora que sabemos cómo dibujar un diagrama de cuerpo libre, podemos hablar de diagramas de cuerpo libre para objetos en movimiento circular uniforme. Consideremos un satélite en órbita alrededor de la Tierra. En la siguiente imagen, el satélite se mueve en un círculo uniforme alrededor de la Tierra. ¿Qué fuerza actúa sobre el satélite para mantenerlo en órbita? La gravedad. Sin la gravedad, la gran velocidad del satélite le haría salir volando en línea recta. El satélite cae constantemente hacia la Tierra debido a la gravedad. La alta velocidad del satélite y la gravedad lo mantienen en una órbita circular.

El diagrama de cuerpo libre del satélite es bastante sencillo, ya que la única fuerza que actúa sobre él es la gravedad. Representamos la fuerza de la gravedad con un vector. La dirección del vector apunta hacia el centro de la Tierra.

Los objetos en movimiento circular uniforme deben tener una fuerza centrípeta que apunte hacia el centro del círculo; esta fuerza es la que mantiene al objeto moviéndose en círculo. La fuerza centrípeta es la suma de todas las fuerzas que actúan radialmente sobre el objeto.

Al hacer un diagrama de cuerpo libre para un objeto en movimiento circular uniforme, es importante identificar qué fuerzas contribuyen a la fuerza centrípeta. La fuerza centrípeta es proporcional a la aceleración centrípeta. Esto nos ayudará más adelante cuando escribamos nuestra ecuación.

Veamos con más detalle dos diagramas de cuerpo libre: una bola en una cuerda que se balancea con un movimiento circular vertical y un movimiento circular horizontal.

Diagrama de cuerpo libre del movimiento circular vertical

Considera una pelota que se balancea con un movimiento circular vertical, como se muestra en la siguiente imagen. Dibujaremos tres diagramas de cuerpo libre para la bola en las posiciones 1, 2 y 3.

Diagrama de cuerpo libre de una pelota que se balancea en un movimiento vertical en tres posiciones, StudySmarter Originals

La pelota tiene constantemente dos fuerzas actuando sobre ella: la fuerza de gravedad y la fuerza de tracción. La fuerza de gravedad en las tres posiciones está en dirección descendente, pero la fuerza de tensión apunta hacia abajo en la posición 1, hacia la derecha en la posición 2 y hacia arriba en la posición 3. También debemos tener en cuenta la magnitud de los vectores. La magnitud de la fuerza de gravedad depende de la masa de la bola, que permanece constante. Por tanto, la magnitud de la fuerza de gravedad es la misma en las tres posiciones.

La magnitud de la fuerza de tensión no será la misma en las tres posiciones. Para que la bola se mantenga en movimiento circular, la velocidad de la bola debe aumentar a lo largo de la parte inferior del círculo. En la parte superior del círculo, la pelota se ralentiza debido a la gravedad, y por tanto la cuerda no tira de ella con tanta fuerza. Es importante tener en cuenta que, dado que la velocidad de la bola cambia, en este caso la bola no tiene un movimiento circular uniforme. Si la velocidad de la pelota es demasiado pequeña, la cuerda se aflojará y la fuerza de tensión será nula. Entonces la bola saldrá de su movimiento circular. Diremos para este problema que la bola mantiene una velocidad suficiente para que no se salga del movimiento circular. La magnitud de la fuerza de tensión será la menor en la posición 1 y aumentará hasta la mayor magnitud en la posición 3.

Podemos utilizar la segunda ley de Newton$F_{net}=ma$para describir el movimiento de la bola en cada posición. Aunque la bola no tenga un movimiento circular uniforme, podemos utilizar la ecuación$a_c=\frac{v^2}{r}$para la aceleración centrípeta en cada punto, donde$r$es el radio del círculo.

Empecemos por la posición 1. Empezamos estableciendo la fuerza centrípeta igual a la masa multiplicada por la aceleración centrípeta. La fuerza neta en esta ecuación es la fuerza centrípeta, por lo que tenemos que incluir todas las fuerzas que contribuyen a la fuerza centrípeta. Para la posición 1, tenemos

$F_{net}=m{a}_c$

$T_1+mg=m\frac{{\left(v_1\right)}^2}{r}$

Observa que cuando definimos nuestro sistema de coordenadas en esta posición, elegimos que la dirección hacia abajo sea la dirección positiva, ya que ésta es la dirección a la que apunta la aceleración centrípeta.

Ahora, para la posición 2, definiremos la dirección hacia la derecha de la bola como dirección positiva. Como la fuerza de gravedad es perpendicular a la fuerza de tracción, no tiene componentes que contribuyan a la fuerza centrípeta. Nuestras ecuaciones de fuerza para esta posición son

$T_2=m\frac{{\left(v_2\right)}^2}{r}$

Por último, para la posición 3 definimos la dirección ascendente como positiva. Nuestras ecuaciones de fuerza pasan a ser:

$T_3-mg=m\frac{{\left(v_3\right)}^2}{r}$

Podemos utilizar estas ecuaciones para hallar la magnitud de la fuerza de tracción o la velocidad en cada posición.

Diagrama de cuerpo libre para el movimiento circular horizontal

El caso de una bola que oscila en movimiento circular horizontal es un poco más sencillo que el del movimiento circular vertical. Como la velocidad de la bola es constante, la bola experimenta un movimiento circular uniforme. El peso de la bola hace que nunca podamos balancearla completamente horizontal, pero aproximaremos que la bola es ligera y trataremos la situación como si fuera completamente horizontal. En este caso sólo necesitamos hacer un diagrama de cuerpo libre, porque la fuerza de la gravedad y la fuerza centrípeta son siempre perpendiculares entre sí, como se muestra en la imagen de abajo. Esto significa que la fuerza de la gravedad no contribuirá a la fuerza centrípeta.

Como la única fuerza centrípeta procede de la tensión de la cuerda, nuestra ecuación de fuerzas es:

$\begin{array}{rcl}{F}_{net}& =& m{a}_c\\ T& =& m\frac{v^2}{r}\end{array}$

Resolver un problema con movimiento circular horizontal

Hagamos ahora un problema práctico de movimiento circular horizontal. Considera un coche que circula por una curva peraltada con movimiento circular. Con un ángulo determinado, no se necesita rozamiento para mantener el coche en movimiento circular, porque la componente horizontal de la fuerza normal será la fuerza causante de la aceleración centrípeta. ¿Cuál es este ángulo para un$1000\mathrm{kg}$que toma una curva con un radio de$65\mathrm{m}$y una velocidad de$15\raisebox{1ex}{$\mathrm{m}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{s}$}\right.$?

Podemos dibujar el diagrama de cuerpo libre del coche como se muestra a continuación. Las componentes de la fuerza normal se muestran con líneas discontinuas para que podamos ver cómo contribuyen las componentes al sistema.

El coche no experimenta movimiento en la dirección vertical, por lo que sabemos que la aceleración vertical es cero. Nuestra ecuación de fuerzas en la dirección vertical nos da:

$\begin{array}{rcl}{F}_{net}& =& ma\\ F_n\cos \theta -F_g& =& 0\\ F_n\cos \theta & =& mg\\ F_n& =& \frac{mg}{\cos \theta }\end{array}$

La única fuerza que contribuye a la aceleración centrípeta es la componente horizontal de la fuerza normal:

$\begin{array}{rcl}{F}_{net}& =& m{a}_c\\ F_n\sin \theta & =& m\frac{v^2}{r}\\ F_n& =& \frac{m{v}^2}{r\sin \theta }\end{array}$

Si los igualamos, obtenemos

$\begin{array}{rcl}\frac{mg}{\cos \theta }& =& \frac{m{v}^2}{r\sin \theta }\\ \tan \theta & =& \frac{v^2}{rg}\end{array}$

Podemos utilizar esta ecuación para encontrar el ángulo necesario.

$\begin{array}{rcl}\theta & =& {\tan }^{-1}\left(\frac{v^2}{rg}\right)\\ & =& {\tan }^{-1}\left(\frac{{(15\raisebox{1ex}{$\mathrm{m}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{s}$}\right.)}^2}{(65\mathrm{m})(9.8\raisebox{1ex}{$\mathrm{m}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\mathrm{s}}^2$}\right.)}\right)\\ & =& 0.34\mathrm{rad}\\ & =& 19.45°\end{array}$

Ejemplos de Diagrama de Cuerpo Libre de Movimiento Circular y Gravitación

Aquí tienes un par de ejemplos más para practicar.