Ley de Enfriamiento de Newton

Definición de la ley del enfriamiento de Newton

La ley del enfriamiento de Newton explica la velocidad a la que un objeto pierde calor en su entorno. Relaciona la diferencia de temperatura entre el objeto y el entorno con la velocidad de pérdida de calor del objeto.

En pocas palabras, la ley de Newton del enfriamiento describe la rapidez con que se enfría un objeto dada la diferencia de temperatura con su entorno: cuanto mayor sea la diferencia de temperatura, más rápido se enfriará nuestro objeto. Por ejemplo, puede ayudarnos a explicar lo rápido que se enfriará una taza de agua hirviendo en una cocina a temperatura ambiente.

La ley de Newton del enfriamiento no siempre es perfectamente exacta, pues deben cumplirse algunas condiciones.

1. La naturaleza de la pérdida de calor debe seguir siendo la misma mientras se produce la pérdida de calor.

2. La temperatura del entorno debe permanecer constante mientras se produce la pérdida de calor.

3. La diferencia entre la temperatura y el entorno debe ser pequeña.

En muchas situaciones, estas aproximaciones son válidas, sin embargo, en ciertos métodos de transferencia de calor, como la convección o la radiación, la ley es menos aplicable.

Puede haber cierta confusión sobre la diferencia entre calor y temperatura y lo que realmente nos dice esta ley. De hecho, el propio Newton fue el primero en enunciar erróneamente la ley, ya que en aquella época no se conocía del todo la diferencia entre calor y temperatura. Así que, antes de seguir adelante, recapitulemos un par de definiciones.

Ejemplo de la ley de enfriamiento de Newton

Para intuir lo que nos dice la ley de enfriamiento de Newton, piensa en tomar una taza de sopa. Todos sabemos que la sopa estará demasiado caliente para comerla durante el primer minuto o así, pero al final alcanza una temperatura a la que podemos disfrutarla. Entonces podemos tomar la sopa tranquilamente durante, digamos, diez minutos, y se mantiene caliente durante todo ese tiempo. ¿Coincide esto con lo que nos dice la Ley de Newton? Bueno, al principio, la sopa está mucho más caliente que el aire que la rodea y, según la Ley de Newton, sabemos que la velocidad de pérdida de temperatura será mayor cuando la diferencia de temperatura sea mayor. Por tanto, esperamos que el ritmo de enfriamiento sea más rápido cuando la sopa esté más caliente, que es precisamente lo que vemos en la realidad. La ley de Newton dice que a medida que la temperatura de la sopa se enfría hacia la temperatura ambiente, su velocidad de enfriamiento disminuye. Por eso se mantiene a una temperatura agradable durante mucho más tiempo que a su temperatura más caliente. ¡Qué suerte tenemos!

Un plato de sopa caliente es un excelente ejemplo de la ley de enfriamiento de Newton en acción, Unsplash.

Fórmula de la ley de enfriamiento de Newton

Ahora que entendemos las ideas básicas de la ley de enfriamiento de Newton, ¡vamos a sumergirnos en lo que dice matemáticamente! Escrita como una ecuación, la ley de Newton dice lo siguiente \[\frac{\text{d}T}{\text{d}t}=-r(T-T_\text{env}),\] where:

• \frac{text{d}T}{\text{d}t}) es el índice de cambio de temperatura del objeto (unidades: \(\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{s}}\)),

• \(T\) es la temperatura del objeto (unidades: \ (\mathrm{K}\)),

• \(T_\text{env}\) es la temperatura del entorno (unidades: \( \mathrm{K}\)),

• \(r\) es una constante que depende del material del entorno, del material del objeto, de la capacidad calorífica del objeto y de la superficie del objeto, llamada coeficiente de transferencia de calor (unidad: \(\frac{1}{\mathrm{s}}\)).

Esta ecuación es un tipo de ecuación diferencial y puede resolverse para hallar la temperatura del cuerpo \(T(t)\) en función del tiempo \(t\). Sin embargo, resolver ecuaciones diferenciales no es algo que vayas a hacer en el instituto, y en este artículo nos limitaremos a enunciar su solución:

\[T(t)=T_\text{env}+(T_0-T_\text{env})\text{e}^{-rt},\]

donde \(T_0\) es la temperatura inicial del objeto y \(\text{e}\) es la constante de Euler.

Nos centraremos en esta segunda ecuación, ya que nos permite calcular directamente las temperaturas y representarlas gráficamente a lo largo del tiempo. Veamos algunas de las propiedades generales de esta ecuación.

1. En primer lugar, vemos que si fijamos \(t=0,\mathrm{s}), el término exponencial es sólo uno y obtenemos [T(0,\mathrm{s})=T_\text{env}+(T_0-T_{env})\cdot 1=T_0].

2. Por otra parte, como \(t\to\infty\), obtenemos que \(T\to T_\text{env}\) como cabría esperar cuando dos objetos alcanzan la misma temperatura o equilibrio térmico.

3. Los objetos con un coeficiente de transferencia de calor más alto pierden calor más rápidamente que los que tienen un coeficiente más bajo. Cuanto mayor sea la superficie de un objeto, más rápido se enfriará a medida que el exponente sea más negativo. Esto es precisamente lo que ocurre en la realidad, ya que hay más superficie para que pase el calor entre el cuerpo y su entorno.

Cálculo con la Ley de enfriamiento de Newton

A continuación vamos a realizar un cálculo utilizando la fórmula de la temperatura introducida anteriormente.

Gráfica de la ley de enfriamiento de Newton

Para hacernos una idea general de cómo se enfría con el tiempo un objeto que sigue la ley de Newton, podemos trazar una gráfica. La gráfica temperatura-tiempo de un objeto que sigue la ley de enfriamiento de Newton muestra un decaimiento exponencial. Observa a continuación cómo la gráfica comienza con un gradiente muy grande, antes de curvarse lentamente para tener un gradiente mucho menor hasta que alcanza una temperatura muy próxima a la de su entorno. El gradiente de la gráfica representa la velocidad de cambio de la temperatura

and is given by the differential equation formula of Newton's law of cooling,\[\frac{\text{d}T}{\text{d}t}=r(T-T_\text{env}).\]As stated by the law, the gradient is initially very high, but decreases as the temperature difference decreases. Esto se observa en la gráfica, ya que comienza siendo mucho más pronunciada, pero se aplana a medida que desciende la temperatura. Esto ocurre porque el objeto comienza perdiendo calor rápidamente hacia el entorno, pero a medida que se enfría, disminuye la velocidad a la que el calor entra en el entorno. Una vez que el gráfico se nivela, la temperatura del objeto se aproxima mucho a la temperatura del entorno.

Fig. 1. Gráfico de la curva de enfriamiento del cálculo del ejemplo. Observa cómo la gráfica comienza en 350K y tiende hacia la temperatura del baño.

En el gráfico anterior se han representado los datos del ejemplo de cálculo anterior. Comienza a la temperatura inicial de \(350\,\text{K}\) y tiende hacia la temperatura del baño \(280\,\text{K}\). En el gráfico siguiente, se ha trazado la velocidad de cambio de temperatura trazando el gradiente del gráfico superior. Observa que comienza siendo extremadamente negativo y se nivela hacia cero desde abajo, como era de esperar.

Fig. 2. Gráfico de la velocidad de cambio de la temperatura a lo largo del tiempo. Observa que se vuelve menos negativa con el tiempo.