Iniciar sesión Empieza a estudiar
La app de estudio todo en uno
4.8 • +11 mil reviews
Más de 3 millones de descargas
Free
|
|

All-in-one learning app

  • Flashcards
  • NotesNotes
  • ExplanationsExplanations
  • Study Planner
  • Textbook solutions
Start studying

Operaciones con sucesos

Operaciones con sucesos

Seguro que has leído el ejemplo de tirar una moneda miles de veces. Sí, tal vez se vuelve repetitivo, pero es la mejor manera de explicar probabilidad y algo llamado sucesos. Así que, empecemos, nuevamente:

Tiras una moneda al aire, y esta moneda tiene dos posibles resultados (o espacio muestral), ¿no es así?: cara o cruz.

El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se llama el espacio muestral del experimento.

En el caso que estamos siguiendo, el espacio muestral solo puede ser cara y cruz. Pero, podemos lanzar la moneda muchas veces, así que tenemos muchas posibles series diferentes de resultados.

\[R=\{C, X, C, X, X, C, C, X, X\}\]

Pero, hay una manera de agrupar estos resultados en partes más pequeñas: los sucesos.

Un suceso en un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.

Ahora que ya conoces qué es un suceso y que hacen parte de un experimento aleatorio, debes saber que también se pueden hacer operaciones con ellos. Veamos un poco sobre las operaciones con sucesos.

Operaciones con sucesos

Algunas de las operaciones que se pueden realizar con los sucesos son:

  • Unión de sucesos.

  • Intersección de sucesos.

  • Diferencia de sucesos.

Como sus nombres indican, cada caso significa la combinación o exclusión de resultados en un experimento. Si seguimos con nuestro ejemplo sencillo: supongamos que tenemos dos dados, por lo que hay seis resultados posibles en cada tirada para cada dado.

Si queremos los resultados que solo contienen un número cinco, solo debemos contar esos. Pero, ¿si queremos los resultados en los que el dado uno \(D_1\) tiene un seis y el dado dos \(D_2\) tiene un cuatro? En ese caso debemos tener una intersección de sucesos, en la que la unión son los resultados del dado uno y del dado dos.

Esto se denota de la siguiente manera:

\[D_1=6 \cap D_2=4\]

Leyes básicas de los sucesos

Los sucesos también tienen ciertas leyes:

  • Conmutatividad: \(A \cup B= B \cup A\).

  • Asociatividad: \( (A\cup B) \cup C = (A\cup C) \cup B\).

  • Distribución: \(A\cup (B \cap C)= (A \cup B) \cap (A \cup C)\) y \(A\cap (B \cup C)= (A \cap B) \cup (A \cap C)\).

  • Leyes de Morgan.

Y, también, tienen elementos importantes como:

  • Elemento neutro: \(\varnothing\).

  • Contrario o complementario.

Explicaremos un poco sobre estas a continuación:

Ley de conmutatividad

En este caso, la unión de sucesos de \(A\) y los sucesos de \(B\) son iguales a la unión de los sucesos de \(B\) y los sucesos de \(A\). Esto se puede explicar de la siguiente manera:

Supongamos que tiramos un par de dados:

El primer dado tiene los resultados:

\[d_1=\{1, 3, 5\}\]

El segundo dado tiene los resultados:

\[d_2=\{2, 3, 6\}\]

La unión de los resultados, en este caso, es la suma de ambos, o:

\[d_1+d_2=\{1, 2, 3, 5, 6\}\]

Esta suma es la misma, si se hace \(d_1+d_2\) o \(d_2+d_1\).

Ley de asociatividad

Esta ley es muy parecida a la de asociatividad del álgebra. En esta ley, la unión de sucesos de tres objetos es igual, independientemente del orden en el que se relacionan.

Veamos un ejemplo:

Se tienen tres dados; los tres se lanzan dos veces y se obtienen los resultados:

\[d_1=\{1,3\}\]

\[d_2=\{1,5\}\]

\[d_3=\{1,2\}\]

La ley de asociatividad nos dice que la unión de los tres debe ser la misma, independientemente del orden; veamos si es así:

\[d_1 \cup d_2=\{1\}=a\]

\[a\cup d_3=\{1\}\]

Si cambiamos el orden, esto sería:

\[d_1 \cup d_3=\{1\}=a\]

\[a \cup d_2=1\]

Como puedes ver, el orden no alteró el resultado, ya que los tres solo comparten el elemento \(1\).

Ley de distribución

Esta ley es también muy parecida a la ley de distribución del álgebra.

Se tienen tres tiradas de dados, cuyos resultados son:

\[d_1= \{1, 2, 3\}\]

\[d_2= \{2, 4, 6\}\]

\[d_3= \{1, 3, 6\}\]

Se pide que se tenga lo siguiente:

\[d_1 \cap (d_2 \cup d_3)\]

La unión de los resultados de \(d_2\) y \(d_3\) son:

\[d_2+d_3=1, 2, 3, 4, 6=a\]

Si ahora hacemos la intersección, que es solo los resultados que se muestran tanto en \(a\) como en \(d_1\):

\[d_3 \cap a=1, 2, 3\]

Hagamos ahora lo mismo usando la fórmula:

\[d_1 \cap (d_2 \cup d_3)= (d_1 \cap d_2) \cup (d_1 \cap d_3) \]

Primero, la intersección de los resultados que son los mismos en \(d_1\) y \(d_2\) es:

\[d_1 \cap d_2 = 2=a\]

Segundo, la intersección de los resultados que son los mismos en \(d_1\) y \(d_3\) es:

\[d_1 \cap d_2 = 1, 3=b\]

Tercero, la unión de los resultados en \(a\) y \(b\) es:

\[a \cup b= 1, 2, 3\]

Leyes de Morgan

Las leyes de Morgan nos dicen que la negación de una operación sobre los resultados de \(A\) y \(B\) es igual a la operación contraria, negando \(A\) y \(B\):

\[\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\]

\[\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}\]

Veamos un ejemplo.

Se tienen dos tiradas de dados:

\[d_1=1, 2, 6\]

\[d_2=3, 5, 6\]

Y se pide: \(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\).

Veamos el primer caso:

Primero, hacemos la intersección de los resultados de \(A\) con \(B\):

\[d_1 \cap d_2= 6\]

Esto es porque el único resultado que comparten es seis. Ahora queremos los resultados que no son donde estos se intersectan. En este caso es:

\[\overline{d_1 \cap d_2}= 1, 2, 3, 4, 5\]

Veamos ahora el segundo caso:

Primero, negamos los resultados de \(d_1\) y de \(d_2\); es decir, queremos los resultados que no obtuvimos al lanzar los dados:

\[\overline{d_1}=3, 4, 5=a\]

\[\overline{d_2}=1, 2, 4=b\]

Ahora, la unión de ambos es:

\[a \cup b= 1, 2, 3, 4, 5\]

Como puedes ver, son iguales.

Elemento neutro

Otro elemento importante es el elemento neutro, que no añade nada; en este caso es:

\[A+\varnothing = A\]

Contrario complementario

Son los sucesos o resultados que no corresponden con los que se tienen en \(A\).

Veamos un ejemplo:

Se tiene una dado y se tira dos veces; sus resultados son:

\[d_1=3, 4\]

Su contrario son los resultados posibles que no se corresponden con los obtenidos:

\[\overline{d_1}=1, 2, 5, 6\]

Una propiedad importante de esto es que la suma de los elementos de \(A\) con \(overline{A}\) nos da el elemento neutro:

\[A+\overline{A}=\varnothing\]

Unión de sucesos

La unión de sucesos es el resultado de que suceda \(A\) o \(B\); esto puede leerse como una suma. Por ejemplo, si se tiran dos dados, los resultados de ambos en cada tirada son la unión de los resultados.

Esto se representa con la siguiente notación:

\[ A\cup B\]

Si usamos un diagrama de Veen tenemos:

Operaciones con sucesos union StudySmarter

Fig. 1: La unión de dos sucesos es igual a la suma de los sucesos; en este caso, todos los resultados obtenidos.

Intersección de sucesos

La intersección de sucesos se da cuando se cumplen dos resultados al mismo tiempo; en este caso, en \(A=a\) y \(B=b\). Esto será una intersección solo cuando en un experimento ambas variables tengan estos valores específicos.

Regresando al ejemplo de los dados: si los tiramos cien veces, y queremos la unión de los resultados donde \(D_1=1\) y \(D_2=2\), esta unión solo será posible si en la misma tirada obtenemos un uno en el dado uno y un dos en el dado dos.

Esto se representa con la siguiente notación:

\[ A\cap B\]

Si usamos un diagrama de Veen tenemos:

Operaciones con sucesos interseccion StudySmarter

Fig. 2: La Intersección de dos sucesos es igual a los sucesos que se sobreponen; en este caso, todos los resultados obtenidos que pertenecen a ambos conjuntos.

Diferencia de sucesos

La diferencia de sucesos es la operación en la que debe ocurrir un resultado como \(A=a\), pero no el otro: \(B=b\). Siguiendo con la analogía de los dados, esto sería como requerir que el dado uno obtenga un seis \(D_1=6\), pero que en la misma tirada no obtengamos dos en el dado dos \(D_2 \neq 2\).

Esto se representa como:

\[ A\cap \overline{B}\]

Si usamos un diagrama de Venn tenemos:

Operaciones con sucesos diferencia StudySmarterFig. 3: La diferencia de dos sucesos es igual a los sucesos de un set menos los de otro; en este caso, todos los resultados obtenido del set \(A\), sin contar los del set \(B\) (incluyendo cualquier superposición).

Operaciones con sucesos: ejercicios resueltos

Hagamos algunos ejemplos de esto para que te sea más familiar.

Se dice que hay dos dados, que son especiales, y tienen 12 caras. Se tiran los dados mil veces, y se requieren resultados en los que el dado uno \(D_1\) sea igual siete y el dado dos \(D_2\) sea igual a uno.

¿Cómo representamos esto en notación de sucesos?

En primer lugar, debemos decir que necesitamos obtener lo siguiente:

\[D_1=7\]

\[D_2=1\]

Debido a que se requiere que ambos sucedan al mismo tiempo (que sea la suma de ambos), se trata de una intersección de resultados.

Por lo tanto, se tiene:

\[D_1=7 \cup D_2=1\]

En una universidad, los doctores quieren averiguar el peso y estatura de los estudiantes. En este caso, se quieren centrar en grupos que tengan más de dieciocho años y midan más de un metro con cincuenta.

¿Qué clase de suceso es este?

Y, si el primer suceso es \(E>18\) y \(A>1,5\), ¿cómo lo representamos en un diagrama de Venn?

En primer lugar, debido a que se tiene una combinación de resultados, se trata de un tipo de suceso compuesto. En cuanto a los estudiantes, se requiere que tengan más de dieciocho años y midan más de un metro con cincuenta.

Además, la primera condición es un suceso seguro, ya que los alumnos tienen, casi siempre, más de 18 años en la universidad.

Debido a que se requiere que ambos se cumplan, podríamos interpretarlo como:

\[E>18\cap \overline{A} \leq 1,5\]

O, también:

\[E>18\cap A> 1,5\]

La diferencia entre ambos es que en la primera fórmula requerimos que tengan más de 18 años y no midan menos o igual que un metro cincuenta, mientras en la segunda pedimos que tengan más de 18 años y midan más de un metro con cincuenta.

El diagram de Venn sería el siguiente:

Operaciones con sucesos interseccion StudySmarterFig. 4: Intersección de los grupos para el problema.

Se hace un censo de población y se pretende encontrar un sector que requiera ciertas inversiones del estado. Este sector debe tener ganancias por debajo de \(G<a\) y que no viva en cierta zona \(Z\ne z\). ¿Cómo se representa esto con la notación de unión, intersección y diferencia? y ¿cómo podrías verlo en un diagrama de Venn?

En primer lugar, se requiere que la población tenga una ganancia por debajo de cierta cantidad; pero, que al mismo tiempo, no viva en cierta zona. Por tanto, estos sucesos se excluyen entre sí; además de ser un suceso compuesto.

Esto significa que se tiene una diferencia de sucesos:

\[G-Z=G<a\cap \overline{Z}=z\]

En un diagrama de Venn tendríamos:

Operaciones con sucesos Interseccion StudySmarterFig. 5: Intersección de los grupos para el problema.

Estos ejemplos son muy sencillos. En realidad, conforme tu experimento se haga más complejo y mida más variables, tus sucesos y tus diagramas pueden ser más complicados. Pero, esperamos que lo has aprendido siente las bases para tus cursos siguientes.

Operaciones con sucesos - Puntos clave

  • Los tipos de sucesos son:
    • Sucesos seguros: resultados que siempre pasan

    • Sucesos incompatibles: una combinación de resultados que no puede suceder.

    • Sucesos elementales: un simple resultado que sucede en un experimento.

    • Sucesos compuestos: el resultado de dos o más condiciones aplicadas a un resultado en un experimento.

    • Sucesos imposibles: un resultado que no puede suceder en un experimento.

  • Dentro de los sucesos, hay operaciones que se pueden realizar, como:
    • Unión de sucesos: \( A\cup B\)
    • Intersección de sucesos: \( A\cap B\)
    • Diferencia de sucesos: \( A\cap \overline{B}\)

Preguntas frecuentes sobre Operaciones con sucesos

  • Sucesos seguros.
  • Sucesos incompatibles.
  • Sucesos elementales.
  • Sucesos compuestos.
  • Sucesos imposibles.

La unión de dos sucesos es la suma de los sucesos. 


En este caso: si un suceso es el resultado A y el otro es el resultado B, la unión de los sucesos es cualquier resultado A o B; y esto es A+B.

La intersección de dos sucesos es cuando suceden ambos sucesos al mismo tiempo. 


Por ejemplo, se tiene un experimento donde se miden dos variables aleatorias. Un resultado posible de la primera es A y otro resultado posible de la segunda es B.


La intersección sucede solo cuando ambos resultados se muestran al mismo tiempo: se obtiene A y B.

La diferencia de sucesos es cuando debe ocurrir un resultado, pero no el otro al mismo tiempo.


Por ejemplo: si una variable aleatoria tiene un posible resultado A y la segunda variable aleatoria tiene un posible resultado B, la diferencia es que pase A, pero no B; o que pase B, pero no A.

Un suceso incompatible es cuando se combinan dos tipos de sucesos y estos no pueden pasar al mismo tiempo.
Su formula es AB=ø .

Cuestionario final de Operaciones con sucesos

Pregunta

¿Cuál es el espacio muestral de la tirada de un dado?

Mostrar respuesta

Answer

El resultado de una tirada.

Show question

Pregunta

¿Qué es un suceso?

Mostrar respuesta

Answer

Def: Es un subconjunto del espacio muestral.

Show question

Pregunta

Son tipos de operaciones de sucesos.

Mostrar respuesta

Answer

Unión de sucesos, diferencia de sucesos.

Show question

Pregunta

Requerir que los resultados de la tirada de los dados sea igual a 2 o 3, es igual a:

Mostrar respuesta

Answer

Unión de resultados.

Show question

Pregunta

Requerir que los resultados de la tirada de los dados sea igual a 2 y el segundo dado no sea par, es igual a:

Mostrar respuesta

Answer

Intersección de resultados.

Show question

Pregunta

Requerir que los resultados de la tirada de los dados sea igual a 2 o 3, es igual a:

Mostrar respuesta

Answer

Unión de resultados.

Show question

Pregunta

¿Cómo se indica un elemento neutro en grupos?

Mostrar respuesta

Answer

\(\varnothing\).

Show question

Pregunta


Se tienen los resultados de una tirada de dados que es:

\[d1=\{1,3,4\}\]

\[d2=\{5,2,6\}\]

¿Cuál es la intersección de ambos?


Mostrar respuesta

Answer

\(\varnothing\).

Show question

Pregunta

Se tienen los resultados de una tirada de dados que es:

\[d1=\{1,4\}\]

\[d2=\{5,2\}\]

¿Cuál es la unión de ambos?

Mostrar respuesta

Answer

\(\{3, 6\}\).

Show question

Pregunta

Se pide que cierta variable estadística \(A\) medida sea mayor que \(a\), pero al mismo tiempo que esta contenga otra variable estadística \(B\) que debe tener un valor menor \(b\).

Esto es igual a:

Mostrar respuesta

Answer

Una intersección entre los valores de ambas variables.

Show question

Pregunta

Si tira una perinola con números del uno al diez y su resultado es seis. ¿Cuáles son los sucesos complementarios a este resultado?

Mostrar respuesta

Answer

\(\{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10\}\).

Show question

Pregunta

Si se tiene la siguiente operación \(A \cap B\) donde los elementos de \(A\) son \(A=\{1, 4, 7, 23\}\) y los elementos de \(B\) son \(B=\{1, 7, 8, 21\}\), ¿cuál es el resultado de esta operación?

Mostrar respuesta

Answer

\(\{1, 7\}\).

Show question

60%

de los usuarios no aprueban el cuestionario de Operaciones con sucesos... ¿Lo conseguirás tú?

Empezar cuestionario

Scopri i migliori contenuti per le tue materie

No hay necesidad de copiar si tienes todo lo necesario para triunfar. Todo en una sola app.

Plan de estudios

Siempre preparado y a tiempo con planes de estudio individualizados.

Cuestionarios

Pon a prueba tus conocimientos con cuestionarios entretenidos.

Flashcards

Crea y encuentra fichas de repaso en tiempo récord.

Apuntes

Crea apuntes organizados más rápido que nunca.

Sets de estudio

Todos tus materiales de estudio en un solo lugar.

Documentos

Sube todos los documentos que quieras y guárdalos online.

Análisis de estudio

Identifica cuáles son tus puntos fuertes y débiles a la hora de estudiar.

Objetivos semanales

Fíjate objetivos de estudio y gana puntos al alcanzarlos.

Recordatorios

Deja de procrastinar con nuestros recordatorios de estudio.

Premios

Gana puntos, desbloquea insignias y sube de nivel mientras estudias.

Magic Marker

Cree tarjetas didácticas o flashcards de forma automática.

Formato inteligente

Crea apuntes y resúmenes organizados con nuestras plantillas.

Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.