Seguro que has leído el ejemplo de tirar una moneda miles de veces. Sí, tal vez se vuelve repetitivo, pero es la mejor manera de explicar probabilidad y algo llamado sucesos. Así que, empecemos, nuevamente:
Tiras una moneda al aire, y esta moneda tiene dos posibles resultados (o espacio muestral), ¿no es así?: cara o cruz.
El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se llama el espacio muestral del experimento.
En el caso que estamos siguiendo, el espacio muestral solo puede ser cara y cruz. Pero, podemos lanzar la moneda muchas veces, así que tenemos muchas posibles series diferentes de resultados.
\[R=\{C, X, C, X, X, C, C, X, X\}\]
Pero, hay una manera de agrupar estos resultados en partes más pequeñas: los sucesos.
Ahora que ya conoces qué es un suceso y que hacen parte de un experimento aleatorio, debes saber que también se pueden hacer operaciones con ellos. Veamos un poco sobre las operaciones con sucesos.
- En primer lugar, veremos las operaciones con sucesos que podemos realizar.
- A continuación pasaremos a las leyes básicas de los sucesos y elementos:
- Ley de conmutatividad
- Ley de asociatividad
- Ley de distribución
- Leyes de Morgan
- Elemento neutro
- Contrario complementario
- Después pasaremos a ver la unión de sucesos, la intersección de sucesos y la diferencia de sucesos.
- Por último, veremos algunos ejercicios resueltos sobre operaciones con sucesos.
Operaciones con sucesos
Algunas de las operaciones que se pueden realizar con los sucesos son:
- Unión de sucesos
- Intersección de sucesos
- Diferencia de sucesos
Como sus nombres indican, cada caso significa la combinación o exclusión de resultados en un experimento. Si seguimos con nuestro ejemplo sencillo: supongamos que tenemos dos dados, por lo que hay seis resultados posibles en cada tirada para cada dado.
Si queremos los resultados que solo contienen un número cinco, solo debemos contar esos. Pero, ¿si queremos los resultados en los que el dado uno \(D_1\) tiene un seis y el dado dos \(D_2\) tiene un cuatro? En ese caso debemos tener una intersección de sucesos, en la que la unión son los resultados del dado uno y del dado dos.
Esto se denota de la siguiente manera:
\[D_1=6 \cap D_2=4\]
Leyes básicas de los sucesos
Los sucesos también tienen ciertas leyes:
Conmutatividad: \(A \cup B= B \cup A\).
Asociatividad: \( (A\cup B) \cup C = (A\cup C) \cup B\).
Distribución: \(A\cup (B \cap C)= (A \cup B) \cap (A \cup C)\) y \(A\cap (B \cup C)= (A \cap B) \cup (A \cap C)\).
Leyes de Morgan.
Y, también, tienen elementos importantes como:
Explicaremos un poco sobre estas a continuación:
Ley de conmutatividad
En este caso, la unión de sucesos de \(A\) y los sucesos de \(B\) son iguales a la unión de los sucesos de \(B\) y los sucesos de \(A\). Esto se puede explicar de la siguiente manera:
Supongamos que tiramos un par de dados:
El primer dado tiene los resultados:
\[d_1=\{1, 3, 5\}\]
El segundo dado tiene los resultados:
\[d_2=\{2, 3, 6\}\]
La unión de los resultados, en este caso, es la suma de ambos, o:
\[d_1+d_2=\{1, 2, 3, 5, 6\}\]
Esta suma es la misma, si se hace \(d_1+d_2\) o \(d_2+d_1\).
Ley de asociatividad
Esta ley es muy parecida a la de asociatividad del álgebra. En esta ley, la unión de sucesos de tres objetos es igual, independientemente del orden en el que se relacionan.
Veamos un ejemplo:
Se tienen tres dados; los tres se lanzan dos veces y se obtienen los resultados:
\[d_1=\{1,3\}\]
\[d_2=\{1,5\}\]
\[d_3=\{1,2\}\]
La ley de asociatividad nos dice que la unión de los tres debe ser la misma, independientemente del orden; veamos si es así:
\[d_1 \cup d_2=\{1\}=a\]
\[a\cup d_3=\{1\}\]
Si cambiamos el orden, esto sería:
\[d_1 \cup d_3=\{1\}=a\]
\[a \cup d_2=1\]
Como puedes ver, el orden no alteró el resultado, ya que los tres solo comparten el elemento \(1\).
Ley de distribución
Esta ley es también muy parecida a la ley de distribución del álgebra.
Se tienen tres tiradas de dados, cuyos resultados son:
\[d_1= \{1, 2, 3\}\]
\[d_2= \{2, 4, 6\}\]
\[d_3= \{1, 3, 6\}\]
Se pide que se tenga lo siguiente:
\[d_1 \cap (d_2 \cup d_3)\]
La unión de los resultados de \(d_2\) y \(d_3\) son:
\[d_2+d_3=1, 2, 3, 4, 6=a\]
Si ahora hacemos la intersección, que es solo los resultados que se muestran tanto en \(a\) como en \(d_1\):
\[d_3 \cap a=1, 2, 3\]
Hagamos ahora lo mismo usando la fórmula:
\[d_1 \cap (d_2 \cup d_3)= (d_1 \cap d_2) \cup (d_1 \cap d_3) \]
Primero, la intersección de los resultados que son los mismos en \(d_1\) y \(d_2\) es:
\[d_1 \cap d_2 = 2=a\]
Segundo, la intersección de los resultados que son los mismos en \(d_1\) y \(d_3\) es:
\[d_1 \cap d_2 = 1, 3=b\]
Tercero, la unión de los resultados en \(a\) y \(b\) es:
\[a \cup b= 1, 2, 3\]
Leyes de Morgan
Las leyes de Morgan nos dicen que la negación de una operación sobre los resultados de \(A\) y \(B\) es igual a la operación contraria, negando \(A\) y \(B\):
\[\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\]
\[\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}\]
Se tienen dos tiradas de dados:
\[d_1=1, 2, 6\]
\[d_2=3, 5, 6\]
Y se pide: \(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\).
Veamos el primer caso:
Primero, hacemos la intersección de los resultados de \(A\) con \(B\):
\[d_1 \cap d_2= 6\]
Esto es porque el único resultado que comparten es seis. Ahora queremos los resultados que no son donde estos se intersectan. En este caso es:
\[\overline{d_1 \cap d_2}= 1, 2, 3, 4, 5\]
Veamos ahora el segundo caso:
Primero, negamos los resultados de \(d_1\) y de \(d_2\); es decir, queremos los resultados que no obtuvimos al lanzar los dados:
\[\overline{d_1}=3, 4, 5=a\]
\[\overline{d_2}=1, 2, 4=b\]
Ahora, la unión de ambos es:
\[a \cup b= 1, 2, 3, 4, 5\]
Como puedes ver, son iguales.
Elemento neutro
Otro elemento importante es el elemento neutro, que no añade nada; en este caso es:
\[A+\varnothing = A\]
Contrario complementario
Son los sucesos o resultados que no corresponden con los que se tienen en \(A\).
Veamos un ejemplo:
Se tiene una dado y se tira dos veces; sus resultados son:
\[d_1=3, 4\]
Su contrario son los resultados posibles que no se corresponden con los obtenidos:
\[\overline{d_1}=1, 2, 5, 6\]
Una propiedad importante de esto es que la suma de los elementos de \(A\) con \(overline{A}\) nos da el elemento neutro:
\[A+\overline{A}=\varnothing\]
Unión de sucesos
La unión de sucesos es el resultado de que suceda \(A\) o \(B\); esto puede leerse como una suma. Por ejemplo, si se tiran dos dados, los resultados de ambos en cada tirada son la unión de los resultados.
Esto se representa con la siguiente notación:
\[ A\cup B\]
Si usamos un diagrama de Veen tenemos:
Fig. 1: La unión de dos sucesos es igual a la suma de los sucesos; en este caso, todos los resultados obtenidos.
Intersección de sucesos
La intersección de sucesos se da cuando se cumplen dos resultados al mismo tiempo; en este caso, en \(A=a\) y \(B=b\). Esto será una intersección solo cuando en un experimento ambas variables tengan estos valores específicos.
Regresando al ejemplo de los dados: si los tiramos cien veces, y queremos la unión de los resultados donde \(D_1=1\) y \(D_2=2\), esta unión solo será posible si en la misma tirada obtenemos un uno en el dado uno y un dos en el dado dos.
Esto se representa con la siguiente notación:
\[ A\cap B\]
Si usamos un diagrama de Veen tenemos:
Fig. 2: La Intersección de dos sucesos es igual a los sucesos que se sobreponen; en este caso, todos los resultados obtenidos que pertenecen a ambos conjuntos.
Diferencia de sucesos
La diferencia de sucesos es la operación en la que debe ocurrir un resultado como \(A=a\), pero no el otro: \(B=b\). Siguiendo con la analogía de los dados, esto sería como requerir que el dado uno obtenga un seis \(D_1=6\), pero que en la misma tirada no obtengamos dos en el dado dos \(D_2 \neq 2\).
Esto se representa como:
\[ A\cap \overline{B}\]
Si usamos un diagrama de Venn tenemos:
Fig. 3: La diferencia de dos sucesos es igual a los sucesos de un set menos los de otro; en este caso, todos los resultados obtenido del set \(A\), sin contar los del set \(B\) (incluyendo cualquier superposición).
Operaciones con sucesos: ejercicios resueltos
Hagamos algunos ejemplos de esto para que te sea más familiar.
Se dice que hay dos dados, que son especiales, y tienen 12 caras. Se tiran los dados mil veces, y se requieren resultados en los que el dado uno \(D_1\) sea igual siete y el dado dos \(D_2\) sea igual a uno.
¿Cómo representamos esto en notación de sucesos?
En primer lugar, debemos decir que necesitamos obtener lo siguiente:
\[D_1=7\]
\[D_2=1\]
Debido a que se requiere que ambos sucedan al mismo tiempo (que sea la suma de ambos), se trata de una intersección de resultados.
Por lo tanto, se tiene:
\[D_1=7 \cup D_2=1\]
En una universidad, los doctores quieren averiguar el peso y estatura de los estudiantes. En este caso, se quieren centrar en grupos que tengan más de dieciocho años y midan más de un metro con cincuenta.
¿Qué clase de suceso es este?
Y, si el primer suceso es \(E>18\) y \(A>1,5\), ¿cómo lo representamos en un diagrama de Venn?
En primer lugar, debido a que se tiene una combinación de resultados, se trata de un tipo de suceso compuesto. En cuanto a los estudiantes, se requiere que tengan más de dieciocho años y midan más de un metro con cincuenta.
Además, la primera condición es un suceso seguro, ya que los alumnos tienen, casi siempre, más de 18 años en la universidad.
Debido a que se requiere que ambos se cumplan, podríamos interpretarlo como:
\[E>18\cap \overline{A} \leq 1,5\]
O, también:
\[E>18\cap A> 1,5\]
La diferencia entre ambos es que en la primera fórmula requerimos que tengan más de 18 años y no midan menos o igual que un metro cincuenta, mientras en la segunda pedimos que tengan más de 18 años y midan más de un metro con cincuenta.
El diagram de Venn sería el siguiente:
Fig. 4: Intersección de los grupos para el problema.
Se hace un censo de población y se pretende encontrar un sector que requiera ciertas inversiones del estado. Este sector debe tener ganancias por debajo de \(G<a\) y que no viva en cierta zona \(Z\ne z\). ¿Cómo se representa esto con la notación de unión, intersección y diferencia? y ¿cómo podrías verlo en un diagrama de Venn?
En primer lugar, se requiere que la población tenga una ganancia por debajo de cierta cantidad; pero, que al mismo tiempo, no viva en cierta zona. Por tanto, estos sucesos se excluyen entre sí; además de ser un suceso compuesto.
Esto significa que se tiene una diferencia de sucesos:
\[G-Z=G<a\cap \overline{Z}=z\]
En un diagrama de Venn tendríamos:
Fig. 5: Intersección de los grupos para el problema.
Estos ejemplos son muy sencillos. En realidad, conforme tu experimento se haga más complejo y mida más variables, tus sucesos y tus diagramas pueden ser más complicados. Pero, esperamos que lo has aprendido siente las bases para tus cursos siguientes.
Operaciones con sucesos - Puntos clave
- Los tipos de sucesos son:
Sucesos seguros: resultados que siempre pasan
Sucesos incompatibles: una combinación de resultados que no puede suceder.
Sucesos elementales: un simple resultado que sucede en un experimento.
Sucesos compuestos: el resultado de dos o más condiciones aplicadas a un resultado en un experimento.
Sucesos imposibles: un resultado que no puede suceder en un experimento.
- Dentro de los sucesos, hay operaciones que se pueden realizar, como:
- Unión de sucesos: \( A\cup B\)
- Intersección de sucesos: \( A\cap B\)
- Diferencia de sucesos: \( A\cap \overline{B}\)
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