Contenidos de aprendizaje
Funciones
Descubra
En las empresas de fabricación de coches, muchas veces ocurren fallos en la producción. Por esto mismo, se hacen controles de calidad por cada lote de producto. Pero, una misma empresa puede tener varias fábricas y cada fábrica producir cantidades distintas de coches. Entonces, si de un lote al azar de todas las fábricas se elige un coche, ¿cuál sería la probabilidad de que el coche elegido tenga un fallo?
Millones de tarjetas didácticas para ayudarte a sobresalir en tus estudios.
Regístrate gratisLos sucesos que forman una partición de un espacio muestral cumplen:\(A_i\cup A_j=\varnothing\).
Con el teorema de la probabilidad total calculamos la probabilidad de que ocurra el suceso B en una partición concreta.
En la fórmula del teorema de Bayes se encuentra la fórmula del teorema de la probabilidad total, ¿dónde?
Con el teorema de la probabilidad total calculamos la probabilidad de las particiones.
¿A partir de qué concepto se extrae el teorema de la probabilidad total?
La fórmula de la probabilidad condicionada es:
¿Cuál es la fórmula del teorema de la probabilidad total?
Una las condiciones que cumple una partición de un espacio muestral es:
Una de las condiciones que cumple una partición de un espacio muestral es:
Los sucesos que forman una partición de un espacio muestral cumplen:\(A_i\cup A_j=\varnothing\).
Con el teorema de la probabilidad total calculamos la probabilidad de que ocurra el suceso B en una partición concreta.
En la fórmula del teorema de Bayes se encuentra la fórmula del teorema de la probabilidad total, ¿dónde?
Con el teorema de la probabilidad total calculamos la probabilidad de las particiones.
¿A partir de qué concepto se extrae el teorema de la probabilidad total?
La fórmula de la probabilidad condicionada es:
¿Cuál es la fórmula del teorema de la probabilidad total?
Una las condiciones que cumple una partición de un espacio muestral es:
Una de las condiciones que cumple una partición de un espacio muestral es:
Achieve better grades quicker with Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Did you know that StudySmarter supports you beyond learning?
Review generated flashcards
Comienza a aprender o crea tus propias tarjetas de aprendizaje con IA
Equipo de profesores de Teorema de la probabilidad total
¡Gracias por su interés en las preferencias de aprendizaje!
¿Qué modo de aprendizaje prefiere? (por ejemplo, « Audio », « Video », « Texto », « Sin preferencia ») (opcional)
Enviar comentariosEste es un problema típico sobre el teorema de la probabilidad total. Cuando tienes un suceso (que un coche tenga un fallo) que puede producirse en distintas particiones (cada una de las fábricas), hay que tener en cuenta la probabilidad de que el coche sea de una fábrica en concreto y la probabilidad de obtener un coche con fallo.
En este artículo te enseñaremos cómo resolver este problema. También introduciremos en el tema de diagramas de árbol, puesto que ésta es una herramienta muy útil para entender el problema que tenemos delante. Así que, ¡empecemos!
El teorema de la probabilidad total nos da la probabilidad de un suceso que puede darse en cualquiera de las particiones, que es la suma de la probabilidad de tener esa partición multiplicada por la probabilidad de tener ese suceso en esa partición en concreto.
Para entender el teorema de la probabilidad total tienes que tener claro el concepto de la probabilidad condicionada y el de partición. Por eso, daremos un ligero repaso.
Si \(A\) y \(B\) son dos sucesos dentro de un experimento aleatorio, la probabilidad de \(A\) condicionada por \(B\) es:
\[P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\]
Por supuesto, podemos operar con esta fórmula para llegar a:
\[P(A\cap B)=P(B)·P(A|B)\]
Que, a su vez, es lo mismo que:
\[P(A\cap B)=P(A)·P(B|A)\]
Esto se lee como: la probabilidad de que ocurran a la vez los sucesos \(A\) y \(B\) es la probabilidad de que ocurra \(A\) multiplicada por la probabilidad de que ocurra \(B\), que está condicionada por la ocurrencia de \(A\).
De una bolsa que tiene 6 pelotas verdes y 8 pelotas amarillas se sacan dos de ellas, una a una y sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera pelota sea verde y la segunda amarilla?
Solución:
Definimos los sucesos:
\(A\) = "La primera pelota es verde".
\(B\) = "La segunda pelota es amarilla".
El número de bolas total es 14. Por tanto:
\[P(A\cap B)=P(A)·P(B|A)=\dfrac{6}{14}·\dfrac{8}{13}=\dfrac{48}{182}\approx 0{,}26\]
Entonces, hay aproximadamente un 26% de probabilidad de que la primera sea verde y la segunda, amarilla.
Una vez que hemos entendido la probabilidad condicionada, podemos explicar lo que es la partición del espacio muestral.
Los sucesos \(A_1\), \(A_2\), ..., \(A_n\) forman una partición del espacio muestral \(E\), si cumplen con que:
Viendo un ejemplo, lo entenderás fácilmente.
Los trabajadores de una empresa se dividen en 5 departamentos distintos. Se podría elegir un trabajador al azar y anotar el departamento en el que trabaja.
Los sucesos que llamamos \(A_j\) son "pertenecer al departamento \(j\)" y forman una partición del espacio muestral, puesto que la unión de todos los departamentos \(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4\cup A_5=E\) forman el espacio muestral que sería ser un trabajador de la empresa (todos los departamentos juntos forman la totalidad de la empresa). Además los sucesos son incompatibles entre sí, porque un trabajador no puede ser de dos departamentos a la vez.
Una vez que tenemos los conceptos anteriores ya entendidos, podemos pasar al teorema de la probabilidad total.
Se tienen los sucesos \(A_1, A_2, ..., A_n\), que forman una partición del espacio muestral \(E\); todos estos sucesos con probabilidad distinta de cero. Se tiene \(B\), que es un suceso cualquiera del espacio muestral; entonces, la probabilidad de \(B\) es:
\[P(B)=P(A_1)·P(B|A_1)+P(A_2)·P(B|A_2)+...+P(A_n)·P(B|A_n)\]
Esta es la regla o teorema de la probabilidad total.
Esto quiere decir que la probabilidad de un suceso que puede darse en cualquiera de las particiones es la suma de la probabilidad de tener esa partición, multiplicada por la probabilidad de tener ese suceso en esa partición en concreto.
Vamos a solucionar el problema del principio de este artículo para que entiendas mejor el teorema.
Una empresa de fabricación de coches tiene tres fábricas. La primera fábrica produce un \(40%\) del total de coches y la segunda fábrica produce otro \(15%\) del total. Por cada lote de producción se hace un control de calidad en todas las fábricas. En la primera fábrica, un \(0,05%\) de los coches analizados son defectuosos; en la segunda fábrica, esta cantidad asciende al \(0,08%\); mientras que en la tercera fábrica, baja al \(0,04%\).
¿Cuál es la probabilidad de coger un coche al azar y que sea defectuoso?
Solución:
Este problema se resuelve utilizando el teorema de la probabilidad total. Podemos ver que la partición del espacio muestral son cada una de las fábricas:
\(F_1\) = "Producido en la fábrica 1".
\(F_2\) = "Producido en la fábrica 2".
\(F_3\) = "Producido en la fábrica 3".
Como podemos observar, se trata de una partición, puesto que las producciones de las tres fábricas forman la producción de toda la empresa. Además, las producciones en las fábricas son incompatibles entre sí, porque un mismo producto no puede producirse en dos fábricas distintas a la vez.
Ahora, podemos asignar probabilidades para entender los datos que tenemos y lo que nos piden:
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 1: \(P(F_1)=0{,}4\)
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 2: \(P(F_2)=0{,}15\)
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 3: \(P(F_3)=0{,}45\)
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 1 y ser defectuoso: \(P(D|F_1)=0{,}05\)
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 2 y ser defectuoso: \(P(D|F_2)=0{,}08\)
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 3 y ser defectuoso: \(P(D|F_3)=0{,}04\)
Ahora, podemos calcular la probabilidad de escoger un coche de cualquier fábrica y que sea defectuoso, usando la fórmula de la probabilidad total:
\[P(D)=P(F_1)·P(D|F_1)+P(F_2)·P(D|F_2)+P(F_3)·P(D|F_3)\]
\[P(D)=0{,}4·0{,}05+0{,}15·0{,}08+0{,}45·0{,}04=0{,}05\]
Por tanto, la probabilidad de escoger un coche al azar y que sea defectuoso es del 5%.
Encontrarás el teorema de Bayes explicado en nuestro artículo del mismo nombre. Sin embargo, al ser un teorema muy importante y estar íntimamente relacionado con el teorema de la probabilidad total, lo explicaremos aquí brevemente.
Realmente, el teorema de Bayes se basa en el teorema de la probabilidad total, pero de manera inversa. Usamos la probabilidad de algo que ya sabemos para calcular la probabilidad del suceso del cual procede.
Si \(A_1\), \(A_2\), ..., \(A_n\) son los sucesos de una partición del espacio muestral \(E\) y se conoce la probabilidad de un suceso \(B\), la probabilidad del suceso \(A_j\) condicionada por el suceso \(B\) viene dada por:
\[P(A_i|B)=\dfrac{P(A_i\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A_i)·P(B|A_i)}{P(A_1)·P(B|A_1)+P(A_2)·P(B|A_2)+...+P(A_n)·P(B|A_n)}\]
Como puedes ver en la fórmula anterior, el teorema de la probabilidad total se aplica en el denominador.
Vamos a hacer un ejemplo muy parecido al anterior, para que veas la diferencia.
Una empresa de fabricación de coches tiene tres fábricas; la primera fábrica produce un \(40%\) del total de coches y la segunda fábrica produce otro \(15%\) del total.
Por cada lote de producción, se hace un control de calidad en todas las fábricas. En la primera fábrica, un \(0,05%\) de los coches analizados son defectuosos; en la segunda fábrica, esta cantidad asciende al \(0,08%\); mientras que en la tercera fábrica, baja al \(0,04%\).
Se elige un coche al azar y resulta que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que este coche venga de la primera fábrica?
Solución:
Como puedes observar, la diferencia con el problema anterior es que ya sabemos que el producto es defectuoso; por tanto, lo que queremos encontrar es la probabilidad de que proceda de la primera fábrica.
Primero, asignamos probabilidades (como anteriormente) para hacer todo más claro:
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 1: \(P(F_1)=0{,}4\)
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 2: \(P(F_2)=0{,}15\)
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 3: \(P(F_3)=0{,}45\)
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 1 y ser defectuoso: \(P(D|F_1)=0{,}05\)
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 2 y ser defectuoso: \(P(D|F_2)=0{,}08\)
Probabilidad de haberse producido en la fábrica 3 y ser defectuoso: \(P(D|F_3)=0{,}04\)
Ahora, lo que buscamos es la probabilidad de que \(F_1\) esté condicionado por \(D\); es decir, que el defecto sea de la primera fábrica:
\[P(F_1|D)=\dfrac{P(F_1)·P(D|F_1)}{P(D)}=\dfrac{P(F_1)·P(D|F_1)}{P(F_1)·P(D|F_1)+P(F_2)·P(D|F_2)+P(F_3)·P(D|F_3)}\]
\[P(F_1|D)=\dfrac{0{,}4·0{,}05}{0{,}4·0{,}05+0{,}15·0{,}08+0{,}45·0{,}04}=\dfrac{0{,}4·0{,}05}{0{,}05}=0{,}4\]
Por tanto, la probabilidad de que el coche defectuoso provenga de la primera fábrica es del \(40%\).
Vamos a hacer un ejercicio más sobre el teorema de la probabilidad total, para que practiques este concepto.
Se tienen tres cajas con bolas negras y blancas. En la primera caja hay 8 bolas negras y 4 bolas blancas; en la segunda caja hay 5 bolas negras y 6 bolas blancas; y en la tercera caja hay 7 bolas negras y 4 bolas blancas. Calcula la probabilidad de sacar una bola al azar de cualquier caja y que sea negra.
Solución:
Primero vamos a aplicar el teorema de la probabilidad total para resolver este problema.
Podemos sumar todas las bolas para saber el total; esto es 34 bolas. Sabiendo la cantidad de bolas que hay en cada caja, podemos asignar las siguientes probabilidades:
Vamos ahora a calcular la probabilidad de sacar una bola negra que sea de cualquier caja:
\[\begin{align} P(N)&=P(B_1)·P(N|B_1)+P(B_2)·P(N|B_2)+P(B_3)·P(N|B_3)=\\&=\dfrac{12}{34}·\dfrac{8}{12}+\dfrac{11}{34}·\dfrac{5}{11}+\dfrac{10}{34}·\dfrac{7}{10}=\dfrac{20}{34}\approx 0{,}56\end{align}\]
Por tanto, hay un 56% de probabilidades de sacar una bola negra.
Hemos calculado esta probabilidad usando el teorema de la probabilidad total. Pero, realmente este problema es mucho más sencillo: como tenemos los números de cuántas bolas hay en cada sitio, y nos da igual de qué caja coger la bola, podríamos haber sumado el número total de bolas negras y ver cuántas hay en proporción al número total de bolas:
\[P(N)=\dfrac{\text{nº de bolas negras}}{\text{nº total de bolas}}=\dfrac{8+5+7}{34}=\dfrac{20}{34}\]
Así, comprobamos que obtenemos el mismo resultado, y puedes ver el teorema de la probabilidad total desde otra perspectiva y entender mejor lo que hace.
\[P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\]
Los sucesos \(A_1\), \(A_2\), ..., \(A_n\) forman una partición del espacio muestral \(E\), si cumplen con que:
Son incompatibles entre sí: \(A_i\cap A_j=\varnothing\), para todo \(i\neq j\).
Todos suman el espacio muestral: \(A_1\cup A_2\,\cup\, ... \cup \,A_n=E\).
Se tienen los sucesos \(A_1, A_2, ..., A_n\), que forman una partición del espacio muestral \(E\); todos estos sucesos con probabilidad distinta de cero. Se tiene \(B\), que es un suceso cualquiera del espacio muestral; entonces, la probabilidad de \(B\) es:
\[P(B)=P(A_1)·P(B|A_1)+P(A_2)·P(B|A_2)+...+P(A_n)·P(B|A_n)\]
Esta es la regla o teorema de la probabilidad total.
El teorema de Bayes nos dice que si \(A_1\), \(A_2\), ..., \(A_n\) son los sucesos de una partición del espacio muestral \(E\) y se conoce la probabilidad de un suceso \(B\), la probabilidad del suceso \(A_j\) condicionada por el suceso \(B\) viene dada por:
\[P(A_i|B)=\dfrac{P(A_i\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A_i)·P(B|A_i)}{P(A_1)·P(B|A_1)+P(A_2)·P(B|A_2)+...+P(A_n)·P(B|A_n)}\]
Regístrate gratis para acceder a todas nuestras tarjetas.
¿Qué es el Teorema de la probabilidad total?
El teorema de la probabilidad total nos da la probabilidad de un suceso que puede darse en cualquiera de las particiones, que es la suma de la probabilidad de tener esa partición multiplicada por la probabilidad de tener ese suceso en esa partición en concreto.
¿Cómo encontrar la probabilidad total?
Para encontrar la probabilidad total del suceso B:
P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+...+P(An)·P(B|An)
¿Qué es el Teorema de Bayes y cómo se aplica?
El teorema de Bayes nos da la probabilidad de de los sucesos de una partición, ya sabiendo que el suceso B ha ocurrido.
¿Cómo calcular la probabilidad total de un evento?
Para encontrar la probabilidad total del suceso B:
P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+...+P(An)·P(B|An)
¿Cuál es la fórmula de la probabilidad total?
La fórmula de la probabilidad total es:
P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+...+P(An)·P(B|An),
siendo B el suceso del cual queremos encontrar la probabilidad y A1,A2,A3... los sucesos que forman una partición del espacio muestral E.
¿Cuál es la fórmula de la probabilidad condicionada?
La fórmula de la probabilidad condicionada para dos sucesos A y B es:
P(A|B)=P(A∩B) / P(B).
Esta probabilidad es la probabilidad de A condicionada por el suceso B.
En StudySmarter, has creado una plataforma de aprendizaje que atiende a millones de estudiantes. Conoce a las personas que trabajan arduamente para ofrecer contenido basado en hechos y garantizar que esté verificado.
Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
Conoce a Lily
Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
Conoce a Gabriel Gabriel
StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.
Aprende másGuarda las explicaciones en tu espacio personalizado y accede a ellas en cualquier momento y lugar.
Regístrate con email Regístrate con AppleAl registrarte aceptas los Términos y condiciones y la Política de privacidad de StudySmarter.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.
La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
La primera plataforma de aprendizaje con todas las herramientas y materiales de estudio que necesitas.
Resumenes 
Flashcards 
StudySmarter AI 
Apuntes 
Plan de estudios 
Sets de estudio 
Repeticion espaciada 
Exámenes 
Magazine 
Hacer carrera 
Formacion Profesional 
Mobile App 
