Teorema de la probabilidad total

De una bolsa que tiene 6 pelotas verdes y 8 pelotas amarillas se sacan dos de ellas, una a una y sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera pelota sea verde y la segunda amarilla?

Solución:

Definimos los sucesos:

\(A\) = "La primera pelota es verde".

\(B\) = "La segunda pelota es amarilla".

El número de bolas total es 14. Por tanto:

\[P(A\cap B)=P(A)·P(B|A)=\dfrac{6}{14}·\dfrac{8}{13}=\dfrac{48}{182}\approx 0{,}26\]

Entonces, hay aproximadamente un 26% de probabilidad de que la primera sea verde y la segunda, amarilla.

Los trabajadores de una empresa se dividen en 5 departamentos distintos. Se podría elegir un trabajador al azar y anotar el departamento en el que trabaja.

Los sucesos que llamamos \(A_j\) son "pertenecer al departamento \(j\)" y forman una partición del espacio muestral, puesto que la unión de todos los departamentos \(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4\cup A_5=E\) forman el espacio muestral que sería ser un trabajador de la empresa (todos los departamentos juntos forman la totalidad de la empresa). Además los sucesos son incompatibles entre sí, porque un trabajador no puede ser de dos departamentos a la vez.

Una empresa de fabricación de coches tiene tres fábricas. La primera fábrica produce un \(40%\) del total de coches y la segunda fábrica produce otro \(15%\) del total. Por cada lote de producción se hace un control de calidad en todas las fábricas. En la primera fábrica, un \(0,05%\) de los coches analizados son defectuosos; en la segunda fábrica, esta cantidad asciende al \(0,08%\); mientras que en la tercera fábrica, baja al \(0,04%\).

¿Cuál es la probabilidad de coger un coche al azar y que sea defectuoso?

Solución:

Este problema se resuelve utilizando el teorema de la probabilidad total. Podemos ver que la partición del espacio muestral son cada una de las fábricas:

\(F_1\) = "Producido en la fábrica 1".

\(F_2\) = "Producido en la fábrica 2".

\(F_3\) = "Producido en la fábrica 3".

Como podemos observar, se trata de una partición, puesto que las producciones de las tres fábricas forman la producción de toda la empresa. Además, las producciones en las fábricas son incompatibles entre sí, porque un mismo producto no puede producirse en dos fábricas distintas a la vez.

Ahora, podemos asignar probabilidades para entender los datos que tenemos y lo que nos piden:

Probabilidad de haberse producido en la fábrica 1: \(P(F_1)=0{,}4\)

Probabilidad de haberse producido en la fábrica 2: \(P(F_2)=0{,}15\)

Probabilidad de haberse producido en la fábrica 3: \(P(F_3)=0{,}45\)

Probabilidad de haberse producido en la fábrica 1 y ser defectuoso: \(P(D|F_1)=0{,}05\)

Probabilidad de haberse producido en la fábrica 2 y ser defectuoso: \(P(D|F_2)=0{,}08\)

Probabilidad de haberse producido en la fábrica 3 y ser defectuoso: \(P(D|F_3)=0{,}04\)

Ahora, podemos calcular la probabilidad de escoger un coche de cualquier fábrica y que sea defectuoso, usando la fórmula de la probabilidad total:

\[P(D)=P(F_1)·P(D|F_1)+P(F_2)·P(D|F_2)+P(F_3)·P(D|F_3)\]

\[P(D)=0{,}4·0{,}05+0{,}15·0{,}08+0{,}45·0{,}04=0{,}05\]

Por tanto, la probabilidad de escoger un coche al azar y que sea defectuoso es del 5%.

Una empresa de fabricación de coches tiene tres fábricas; la primera fábrica produce un \(40%\) del total de coches y la segunda fábrica produce otro \(15%\) del total.

Por cada lote de producción, se hace un control de calidad en todas las fábricas. En la primera fábrica, un \(0,05%\) de los coches analizados son defectuosos; en la segunda fábrica, esta cantidad asciende al \(0,08%\); mientras que en la tercera fábrica, baja al \(0,04%\).

Se elige un coche al azar y resulta que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que este coche venga de la primera fábrica?

Solución:

Como puedes observar, la diferencia con el problema anterior es que ya sabemos que el producto es defectuoso; por tanto, lo que queremos encontrar es la probabilidad de que proceda de la primera fábrica.

Primero, asignamos probabilidades (como anteriormente) para hacer todo más claro:

Probabilidad de haberse producido en la fábrica 1: \(P(F_1)=0{,}4\)

Probabilidad de haberse producido en la fábrica 2: \(P(F_2)=0{,}15\)

Probabilidad de haberse producido en la fábrica 3: \(P(F_3)=0{,}45\)

Probabilidad de haberse producido en la fábrica 1 y ser defectuoso: \(P(D|F_1)=0{,}05\)

Probabilidad de haberse producido en la fábrica 2 y ser defectuoso: \(P(D|F_2)=0{,}08\)

Probabilidad de haberse producido en la fábrica 3 y ser defectuoso: \(P(D|F_3)=0{,}04\)

Ahora, lo que buscamos es la probabilidad de que \(F_1\) esté condicionado por \(D\); es decir, que el defecto sea de la primera fábrica:

\[P(F_1|D)=\dfrac{P(F_1)·P(D|F_1)}{P(D)}=\dfrac{P(F_1)·P(D|F_1)}{P(F_1)·P(D|F_1)+P(F_2)·P(D|F_2)+P(F_3)·P(D|F_3)}\]

\[P(F_1|D)=\dfrac{0{,}4·0{,}05}{0{,}4·0{,}05+0{,}15·0{,}08+0{,}45·0{,}04}=\dfrac{0{,}4·0{,}05}{0{,}05}=0{,}4\]

Por tanto, la probabilidad de que el coche defectuoso provenga de la primera fábrica es del \(40%\).

Se tienen tres cajas con bolas negras y blancas. En la primera caja hay 8 bolas negras y 4 bolas blancas; en la segunda caja hay 5 bolas negras y 6 bolas blancas; y en la tercera caja hay 7 bolas negras y 4 bolas blancas. Calcula la probabilidad de sacar una bola al azar de cualquier caja y que sea negra.

Solución:

Primero vamos a aplicar el teorema de la probabilidad total para resolver este problema.

Podemos sumar todas las bolas para saber el total; esto es 34 bolas. Sabiendo la cantidad de bolas que hay en cada caja, podemos asignar las siguientes probabilidades:

• Probabilidad de sacar una bola de la caja 1: \(C_1=\dfrac{12}{34}\)

• Probabilidad de sacar una bola de la caja 2: \(C_2=\dfrac{11}{34}\)

• Probabilidad de sacar una bola de la caja 3: \(C_3=\dfrac{10}{34}\)

• Probabilidad de cada color en la caja 1: \(N=\dfrac{8}{12}\), \(B=\dfrac{4}{12}\)

• Probabilidad de cada color en la caja 2: \(N=\dfrac{5}{11}\), \(B=\dfrac{6}{11}\)

• Probabilidad de cada color en la caja 3: \(N=\dfrac{7}{10}\), \(B=\dfrac{4}{10}\)

Vamos ahora a calcular la probabilidad de sacar una bola negra que sea de cualquier caja:

\[\begin{align} P(N)&=P(B_1)·P(N|B_1)+P(B_2)·P(N|B_2)+P(B_3)·P(N|B_3)=\\&=\dfrac{12}{34}·\dfrac{8}{12}+\dfrac{11}{34}·\dfrac{5}{11}+\dfrac{10}{34}·\dfrac{7}{10}=\dfrac{20}{34}\approx 0{,}56\end{align}\]

Por tanto, hay un 56% de probabilidades de sacar una bola negra.

Hemos calculado esta probabilidad usando el teorema de la probabilidad total. Pero, realmente este problema es mucho más sencillo: como tenemos los números de cuántas bolas hay en cada sitio, y nos da igual de qué caja coger la bola, podríamos haber sumado el número total de bolas negras y ver cuántas hay en proporción al número total de bolas:

\[P(N)=\dfrac{\text{nº de bolas negras}}{\text{nº total de bolas}}=\dfrac{8+5+7}{34}=\dfrac{20}{34}\]

Así, comprobamos que obtenemos el mismo resultado, y puedes ver el teorema de la probabilidad total desde otra perspectiva y entender mejor lo que hace.