Seguramente has visto a veces un número seguido del símbolo de exclamación, algo como \(4!\). Esto se llama factorial, y el resultado de la operación \(4!=24\). El factorial implica una operación matemática. En este artículo aprenderás un poco acerca de esta operación y algunas de sus aplicaciones.
Factorial de un número
Los factoriales son funciones matemáticas con el símbolo \(!\).
- Se definen como el producto de todos los números enteros positivos desde el \(1\) hasta \(n\).
- Se pueden expresar como \(n!\), donde \(n\) es el número del que se calcula el factorial.
La letra \(n\) es un número entero, y el signo de exclamación representa la operación factorial. La expresión para calcular el factorial de un número es: \[n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 1\]
La regla del factorial dice que el factorial de cualquier número es ese número por el factorial del número anterior. Esto se puede expresar en una fórmula como \(n!=n(n-1)!\).
Un caso especial es \(0! = 1\). Lo veremos más adelante.
Los factoriales se pueden encontrar en las permutaciones y combinaciones.
Cómo calcular los factoriales
Puedes seguir los pasos que mostraremos a continuación para encontrar el factorial de un número \(n\).
¡Veamos el ejemplo del 6!
1. Escribe la secuencia de números por los que vas a multiplicar utilizando la fórmula del factorial:
\[n!=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)...(n-(n-1))\]
2. Para ampliarla, tendrás que sustituir el número \(n\) por 6, hasta que la última resta sea igual a \(n-(n-1)\); en este caso, 1: \[6!=6(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)=6(5)(4)(3)(2)(1)\]
3. Opera tus números ahora que los tienes escritos. Resta y multiplica donde sea necesario.
Siguiendo nuestro ejemplo, sería así: \[6!=6(5)(4)(3)(2)(1)=720\]
Los factoriales se pueden usar para calcular las combinaciones que pueden suceder, veamos algunos ejemplos.
Ejemplos de cálculos con factoriales
¿Qué combinaciones posibles puedes hacer con los colores azul, rojo y amarillo, en ese orden?
Solución
Tenemos que encontrar el factorial de 3, considerando que hay tres colores y que estamos buscando cuántas combinaciones podría haber en orden:
\[n! = n(n-1)!\]
\[3! = 3 (3-1) (3-2)\]
\[3!=3(2)(1)\]
\[3! = 6\]
Hay seis posibles combinaciones que podrían hacerse, a partir de estos tres colores, en orden:
Azul, rojo y amarillo --- \(1\)
Azul, amarillo y rojo --- \(2\)
Amarillo, azul y rojo --- \(3\)
Amarillo, rojo y azul --- \(4\)
Rojo, azul y amarillo --- \(5\)
Rojo, amarillo y azul --- \(6\)
¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de la palabra "perdonar" sin que se repitan?
Solución
Para resolver un problema como este, se cuenta el número de letras de la palabra "perdonar" y luego se halla el factorial de la misma.
En este caso, el número de letras es 7:
\[n!=n(n-1)!\]
\[7!=7(7-1)(7-2)(7-3)(7-4)(7-5)(7-6)\]
\[7!=7(6)(5)(4)(3)(2)(1)\]
\[7!=5040\]
El número máximo de formas en las que se pueden ordenar las letras de "perdonar", sin que se repitan, es \(5040\).
Como puedes observar, los factoriales son muy útiles para calcular combinaciones. Por eso, el área que los estudia es la combinatoria.
Combinatoria y números combinatorios
La combinatoria es un área de las matemáticas dedicada a contar. Aunque esta definición suene muy simple, en realidad esta área se encarga de los métodos para poder contar combinaciones que puedan suceder en grupos.
Algunos ejemplos son cuántas combinaciones pueden existir de ciertos objetos. Supongamos que se tienen 12 números y se pueden agrupar en grupos de tres, en cualquier orden. La combinatoria nos podría decir cuántas combinaciones existen y cuáles son repeticiones de estas combinaciones.
Una herramienta muy útil en el área de combinatoria son los coeficientes binomiales o números combinatorios.
Numeros combinatorios
Los números combinatorios, también conocidos como coeficientes binomiales, son números que indican cuántas combinaciones puede haber de un grupo \(B\).
Estos se señalan como \[ C^m_n = \begin{pmatrix} m \\ n \\\end{pmatrix} \] y se lee como el número de combinaciones de \(n\) elementos en un grupo de \(m\) objetos.
Un ejemplo sería, ¿cuántas combinaciones de 2 números pueden hacerse en el siguiente grupo de números \(x=\{1, 7, 3, 8, 2, 10\}\)?; o, lo que es lo mismo, ¿cuántas combinaciones hay de 2 números en un grupo de 6?
La fórmula para obtener esto es:
\[C^m_n= {{m!}\over{n!(m-n)!}}\]
Ahora, sigamos un ejercicio sencillo que nos ayude a aclarar el proceso:
Se tiran dos dados: ¿cuántas combinaciones de los números que contienen puedes obtener al tirarlos?
Primero, analicemos el problema:
- Cada dado contiene 6 números.
- Solo puede haber un resultado.
- Al tener dos dados, se obtienen 2 números de 12 posibles.
Solución
Apliquemos la fórmula que vimos anteriormente: \[C^{12}_2= {{12!}\over{2!(12-2)!}}\]
Lo que es igual: \[C^{12}_2= {{12!}\over{2!(8)!}}\]
Calculamos los factoriales y obtenemos:
\[{{479.001.600}\over{80.640}}\]
\[C^{12}_2=23.760\]
Propiedades de los números combinatorios
Hay una serie de propiedades de los números combinatorios que te pueden ser muy útiles cuando trabajes con ellos; estas son:
\[ \begin{pmatrix} n \\ 0 \\\end{pmatrix} =1\]
\[ \begin{pmatrix} n \\ n \\\end{pmatrix}=1\]
\[ \begin{pmatrix}n \\1 \\\end{pmatrix}=n\]
Otra propiedad es la división de factoriales:
\[{{m!}\over{n!}}\]
Si \(m<n\), entonces esto se reduce. Pongamos un ejemplo, para que lo veas mejor.
Hagamos la división de: \(6!\) entre \(4!\): \[{{6(5)(4)(3)(2)(1)!}\over{4(3)(2)(1)}}=6(5)=30\]
Binomio de Newton
Una de las áreas de las matemáticas en las puedes encontrar los coeficientes binomiales es en el desarrollo de un binomio, también conocido como el binomio de Newton.
Esto ya lo has visto cuando desarrollas dos términos elevados al cuadrado, como: \[(a+b)^2= a^2+2ab+b^2\]
La fórmula del binomio de Newton es:
\[(a±b)^n={ \begin{pmatrix} n \\ 0 \\\end{pmatrix}}a^n± { \begin{pmatrix} n \\ 1 \\\end{pmatrix}}a^{n-1}b±{ \begin{pmatrix} n \\ 2 \\\end{pmatrix}}a^{n-2}b^2...±{ \begin{pmatrix} n \\ n \\\end{pmatrix}}a^{n-n}b^n \]
Esta fórmula se puede usar para resolver cualquier binomio requerido.
Hagamos un ejemplo clásico, el binomio al cuadrado perfecto:
Obtén la expansión de \((a-b)^2\), usando el binomio de Newton.
Usa la fórmula siguiente del binomio de Newton:
\[(a-b)^2={ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\\end{pmatrix}}a^2- { \begin{pmatrix} n \\ 1 \\\end{pmatrix}}a^{2-1}b+{ \begin{pmatrix} n \\ 2 \\\end{pmatrix}}a^{2-2}b^2 \]
Si reduces esto y usas las propiedades de los números combinatorios para \(n\) en \(n\) y \(0\) en \(n\), nos da:
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
Factorial de 0
Aunque parezca contraintuitivo, el factorial de 0 es 1. Esto viene de la definición formal de un factorial, que es la cantidad de combinaciones que puede haber de \(n\) objetos sin repeticiones. Esto viene de que si no tienes objetos, o el grupo esta vacío, incluso en ese caso solo existe una combinación posible.
Factorial - Puntos clave
- Los factoriales son funciones matemáticas que se denominan con el símbolo \(n\). Multiplican un número \(n\) por todos los números que lo preceden.
- La fórmula del factorial puede expresarse como: \(n!=n(n-1)!\).
- Un factorial particular es \(0!=1\)
- Los factoriales se utilizan para encontrar arreglos, permutaciones y combinaciones.
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