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Seguramente has visto a veces un número seguido del símbolo de exclamación, algo como \(4!\). Esto se llama factorial, y el resultado de la operación \(4!=24\). El factorial implica una operación matemática. En este artículo aprenderás un poco acerca de esta operación y algunas de sus aplicaciones.
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Regístrate gratis¿Qué símbolo se usa para indicar el factorial?
¿Qué es el factorial de un número?
¿A qué es igual la expresión del factorial de \(n!\)?
¿En qué áreas se pueden encontrar los factoriales?
¿Cuál es el factorial de 4?
¿Cuál es el factorial de 8?
¿Cuál es la fórmula de los números combinatorios?
¿Cuál es el resultado de \(\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\)?
¿Cuál es el resultado de \(\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}\)?
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Enviar comentariosLos factoriales son funciones matemáticas con el símbolo \(!\).
La letra \(n\) es un número entero, y el signo de exclamación representa la operación factorial. La expresión para calcular el factorial de un número es:
\[n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 1\]
La regla del factorial dice que el factorial de cualquier número es ese número por el factorial del número anterior. Esto se puede expresar en una fórmula como \(n!=n(n-1)!\).
Un caso especial es \(0! = 1\). Lo veremos más adelante.
Los factoriales se pueden encontrar en las permutaciones y combinaciones.
Puedes seguir los pasos que mostraremos a continuación para encontrar el factorial de un número \(n\).
¡Veamos el ejemplo del 6!
1. Escribe la secuencia de números por los que vas a multiplicar utilizando la fórmula del factorial:
\[n!=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)...(n-(n-1))\]
2. Para ampliarla, tendrás que sustituir el número \(n\) por 6, hasta que la última resta sea igual a \(n-(n-1)\); en este caso, 1:
\[6!=6(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)=6(5)(4)(3)(2)(1)\]
3. Opera tus números ahora que los tienes escritos. Resta y multiplica donde sea necesario.
Siguiendo nuestro ejemplo, sería así:
\[6!=6(5)(4)(3)(2)(1)=720\]
Los factoriales se pueden usar para calcular las combinaciones que pueden suceder, veamos algunos ejemplos.
¿Qué combinaciones posibles puedes hacer con los colores azul, rojo y amarillo, en ese orden?
Solución
Tenemos que encontrar el factorial de 3, considerando que hay tres colores y que estamos buscando cuántas combinaciones podría haber en orden:
\[n! = n(n-1)!\]
\[3! = 3 (3-1) (3-2)\]
\[3!=3(2)(1)\]
\[3! = 6\]
Hay seis posibles combinaciones que podrían hacerse, a partir de estos tres colores, en orden:
Azul, rojo y amarillo --- \(1\)
Azul, amarillo y rojo --- \(2\)
Amarillo, azul y rojo --- \(3\)
Amarillo, rojo y azul --- \(4\)
Rojo, azul y amarillo --- \(5\)
Rojo, amarillo y azul --- \(6\)
¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de la palabra "perdonar" sin que se repitan?
Solución
Para resolver un problema como este, se cuenta el número de letras de la palabra "perdonar" y luego se halla el factorial de la misma.
En este caso, el número de letras es 7:
\[n!=n(n-1)!\]
\[7!=7(7-1)(7-2)(7-3)(7-4)(7-5)(7-6)\]
\[7!=7(6)(5)(4)(3)(2)(1)\]
\[7!=5040\]
El número máximo de formas en las que se pueden ordenar las letras de "perdonar", sin que se repitan, es \(5040\).
Como puedes observar, los factoriales son muy útiles para calcular combinaciones. Por eso, el área que los estudia es la combinatoria.
La combinatoria es un área de las matemáticas dedicada a contar. Aunque esta definición suene muy simple, en realidad esta área se encarga de los métodos para poder contar combinaciones que puedan suceder en grupos.
Algunos ejemplos son cuántas combinaciones pueden existir de ciertos objetos. Supongamos que se tienen 12 números y se pueden agrupar en grupos de tres, en cualquier orden. La combinatoria nos podría decir cuántas combinaciones existen y cuáles son repeticiones de estas combinaciones.
Una herramienta muy útil en el área de combinatoria son los coeficientes binomiales o números combinatorios.
Los números combinatorios, también conocidos como coeficientes binomiales, son números que indican cuántas combinaciones puede haber de un grupo \(B\).
Estos se señalan como
\[ C^m_n = \begin{pmatrix} m \\ n \\\end{pmatrix} \]
y se lee como el número de combinaciones de \(n\) elementos en un grupo de \(m\) objetos.
Un ejemplo sería, ¿cuántas combinaciones de 2 números pueden hacerse en el siguiente grupo de números \(x=\{1, 7, 3, 8, 2, 10\}\)?; o, lo que es lo mismo, ¿cuántas combinaciones hay de 2 números en un grupo de 6?
La fórmula para obtener esto es:
\[C^m_n= {{m!}\over{n!(m-n)!}}\]
Ahora, sigamos un ejercicio sencillo que nos ayude a aclarar el proceso:
Se tiran dos dados: ¿cuántas combinaciones de los números que contienen puedes obtener al tirarlos?
Primero, analicemos el problema:
Solución
Apliquemos la fórmula que vimos anteriormente:
\[C^{12}_2= {{12!}\over{2!(12-2)!}}\]
Lo que es igual:
\[C^{12}_2= {{12!}\over{2!(8)!}}\]
Calculamos los factoriales y obtenemos:
\[{{479.001.600}\over{80.640}}\]
\[C^{12}_2=23.760\]
Hay una serie de propiedades de los números combinatorios que te pueden ser muy útiles cuando trabajes con ellos; estas son:
\[ \begin{pmatrix} n \\ 0 \\\end{pmatrix} =1\]
\[ \begin{pmatrix} n \\ n \\\end{pmatrix}=1\]
\[ \begin{pmatrix}n \\1 \\\end{pmatrix}=n\]
Otra propiedad es la división de factoriales:
\[{{m!}\over{n!}}\]
Si \(m<n\), entonces esto se reduce. Pongamos un ejemplo, para que lo veas mejor.
Hagamos la división de: \(6!\) entre \(4!\):
\[{{6(5)(4)(3)(2)(1)!}\over{4(3)(2)(1)}}=6(5)=30\]
Una de las áreas de las matemáticas en las puedes encontrar los coeficientes binomiales es en el desarrollo de un binomio, también conocido como el binomio de Newton.
Esto ya lo has visto cuando desarrollas dos términos elevados al cuadrado, como:
\[(a+b)^2= a^2+2ab+b^2\]
La fórmula del binomio de Newton es:
\[(a±b)^n={ \begin{pmatrix} n \\ 0 \\\end{pmatrix}}a^n± { \begin{pmatrix} n \\ 1 \\\end{pmatrix}}a^{n-1}b±{ \begin{pmatrix} n \\ 2 \\\end{pmatrix}}a^{n-2}b^2...±{ \begin{pmatrix} n \\ n \\\end{pmatrix}}a^{n-n}b^n \]
Esta fórmula se puede usar para resolver cualquier binomio requerido.
Hagamos un ejemplo clásico, el binomio al cuadrado perfecto:
Obtén la expansión de \((a-b)^2\), usando el binomio de Newton.
Usa la fórmula siguiente del binomio de Newton:
\[(a-b)^2={ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\\end{pmatrix}}a^2- { \begin{pmatrix} n \\ 1 \\\end{pmatrix}}a^{2-1}b+{ \begin{pmatrix} n \\ 2 \\\end{pmatrix}}a^{2-2}b^2 \]
Si reduces esto y usas las propiedades de los números combinatorios para \(n\) en \(n\) y \(0\) en \(n\), nos da:
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
Aunque parezca contraintuitivo, el factorial de 0 es 1. Esto viene de la definición formal de un factorial, que es la cantidad de combinaciones que puede haber de \(n\) objetos sin repeticiones. Esto viene de que si no tienes objetos, o el grupo esta vacío, incluso en ese caso solo existe una combinación posible.
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¿Por qué el factorial de 0 es 1?
Esto viene de la definición formal de un factorial: cantidad de combinaciones que puede haber de n objetos sin repeticiones. Esto viene de que, si no tienes objetos o el grupo esta vacío, incluso en ese caso solo existe una combinación posible.
¿Qué es el factorial y cuál puede ser un ejemplo?
Los factoriales son funciones en matemáticas con el símbolo ! . Se define como el producto de todos los números enteros positivos desde el 1 hasta n. Se pueden expresar como n! ; donde n es el número del que se calcula el factorial.
Un ejemplo es 3!=3x2x1=6.
¿Cómo se calcula el factorial de un número?
El factorial de un número se calcula multiplicando el número por cada número que lo precede hasta el 1.
Por ejemplo:
3!=3x2x1=6
4!=4x3x2x1=24
5!=5x4x3x2x1=120.
¿Cuáles son las propiedades de los números combinatorios?
Hay tres propiedades importantes de los números combinatorios:
¿Cómo se resuelve el binomio de Newton?
Para resolver el binomio de Newton, debes expandir los términos dentro del binomio a la potencia dada.
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Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
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Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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