Las probabilidades, generalmente, no son las mismas para una variable que puede tomar varios resultados en un intervalo \([a, b]\). La función que define estas probabilidades tiene un nombre específico: función de densidad, también conocida como función de densidad de probabilidad.
- Primero entenderemos qué es la función densidad.
- A continuación, estudiaremos cómo es la función de densidad de una variable continua.
- Seguidamente, hablaremos de la moda de una función densidad.
- Finalmente, veremos algunos ejemplos de la función densidad.
¿Qué es una función de densidad?
La función de densidad o función de densidad de probabilidad es la función de una variable cuyo resultado es la probabilidad de que esta variable obtenga un resultado específico.
Una función de densidad es parecida a una función en análisis o cálculo. La función \(F\) nos dice la probabilidad de que una variable aleatoria \(X\) tenga cierto valor \(Y\). Si lo observas bien, esto es muy parecido al cálculo. En este caso:
\[F(X)=Y\]
Por ejemplo, si la variable \(X\) es la altura de los alumnos de una escuela, que cubre el rango de \([1{,}5\,\mathrm{m}, 2{,}0\,\mathrm{m}]\), \(F(1{,}7\,\mathrm{m})\) nos dará como resultado la probabilidad de que un alumno mida \(1{,}7\,\mathrm{m}\), supongamos.
\(F(1{,}7\,\mathrm{m})=0{,}12\).
Hay algunas características importantes que debes saber:
El área bajo la curva de la función de densidad es uno, ya que la probabilidad total debe ser del \(100\%\).
El resultado de la función de probabilidad es siempre positivo, ya que no existen probabilidades negativas.
Cuando te refieras a estas funciones, por lo general te referirás a distribuciones continuas, como la distribución normal o la normal estándar.
Función de densidad de una variable aleatoria continua
La función de densidad de una variable aleatoria continua es, como su nombre indica, continua. En este punto, cualquier valor en un rango \([a, b]\) tiene siempre la posibilidad de ser un resultado; esto es, resultado de la continuidad.Debido a que la función es continua.
La fórmula que define esto es:
\[P(a \leq X \leq b)= \int_a^b f(x) dx\]
Se tiene una función de probabilidad que describe el peso de cabezas de ganado en una granja. La cabeza menor pesa \(180\, \mathrm{kg}\) y la mayor \(430\, \mathrm{kg}\). ¿Cuáles son los límites de la función de densidad que describen la probabilidad de que al pesar una cabeza de ganado obtengamos un valor de \(300\,\mathrm{kg}\)?
Solución:
Debido a que las cabezas de ganado pesan entre \(180\,\mathrm{kg}\) y \(430\,\mathrm{kg}\), los límites de la integral son:
\[P(a \leq X \leq b)= \int_{180}^{430} f(x) dx\]
También podemos definir la media y la varianza de una distribución de densidad continua como:
\[\mu= \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx\]
\[\sigma^2= \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) dx=\int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x)dx-\mu^2 \]
Generalmente, en tus primeros cursos verás dos tipos de funciones:
Moda de una función de densidad
La moda en probabilidad es el dato que más aparece en un experimento.
Por ejemplo, si se tiene un experimento cuyos valores son \(v=\{1, 4, 5, 8, 2, 3, 5, 6, 7, 1, 3, 8, 9, 3, 7, 2, 8, 3\}\), la moda es \(3\), ya que aparece más veces.
Sin embargo, en este caso lo que se tiene es una distribución discreta, ya que solo se toman valores enteros.
En el caso de una distribución continua, como la distribución normal u otras distribuciones, la moda será el valor \(P(X)\). Esto, porque la probabilidad es más alta; en cierto sentido, este es un máximo de la función de densidad.
Para la distribución normal o la normal estandarizada la moda será, de hecho, la media:
\[\mu= \int_a^b xf(x) dx\]
Esto lo puedes ver en la siguiente imagen, donde el máximo está en la media.
Fig. 1: Imagen de la distribución normal.
Función de densidad ejemplos
Hagamos algunos ejemplos sencillos en los que calcules la media, la desviación estándar y la probabilidad en un rango dado.
Calcula la probabilidad de que una variable aleatoria obtenga valores entre la media y la desviación estándar, si esta es una distribución normal, cuya media es cero y desviación estándar es veinte.
Solución:
Primero, debemos recordar que la función de densidad de una distribución normal es:
\[\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]
La integral de esta nos dará:
\[\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} -2 \sigma^2e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]
Si evaluamos esta integral, sustituyendo \(\mu=0\), \(\sigma=20\) en los límites \([0, \sigma]\), obtendremos:
\[\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} -2 \sigma^2e^{-\frac{(\sigma-0)^2}{2\sigma^2}}\]
\[\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} -2 \sigma^2e^{-\frac{(0-0)^2}{2\sigma^2}}\]
Restando ambos tendremos:
\[0{,}34…\]
Esto significa que entre la media y la desviación estándar vive un \(34%\) de los datos. Si se toma en cuenta cada lado de la media, esto es un \(68%\) de los datos.
Calcula la función que nos da la media de la distribución cuya función es \(f(x)=x^2+3x-2\).
Solución:
Para esto, debemos aplicar la fórmula:
\[\mu= \int_a^b xf(x) dx\]
Lo cual nos da:
\[\mu= \int_a^b x(x^2+3x-2) dx\]
\[\mu= \int_a^b (x^3+3x^2-2x) dx\]
La integral nos da:
\[\mu=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{3x^3}{3}-\dfrac{2x^2}{2} \]
Y, simplificando, esto es:
\[\mu=\dfrac{x^4}{4}+x^3-x^2 \]
Esto habría que evaluarlo entre los límites \(a\) y \(b\).
¿Cuál es el valor de la integral que cubre el rango de valores posibles \([a, b]\) de la distribución normal estandarizada?
Solución:
En este caso, no se nos da la función; pero, por otra parte, sabemos que al área total de la integral debe ser \(100\%\), por lo cual esto es un área igual a uno.
Funciones de densidad - Puntos clave
- La función de densidad es la función de una variable cuyo resultado es la probabilidad que esta variable obtenga un resultado específico.
- El área bajo la curva de la función de densidad es uno, ya que la probabilidad total debe ser \(100\%\).
- El resultado de la función de probabilidad es siempre positivo, ya que no existen probabilidades negativas.
- También podemos definir la media y la varianza de una distribución de densidad continua como:
- \[\mu= \int_a^b xf(x) dx\]
- \[\sigma^2= \int_a^b (x-\mu)^2 f(x) dx\]
- La moda, en probabilidad, es el dato que más aparece en un experimento.
- Para la distribución normal o la normal estandarizada la moda será de hecho la media.
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