Cuando se trata de organizar, puede ser bastante complicado. Imagina un entrenador que intenta hacer la selección de su equipo para un partido de fútbol: ¿De cuántas formas posibles puede conseguirlo? O, tal vez, un profesor que busca la mejor combinación entre chicos y chicas de su clase para hacer un viaje por carretera que requiere solo 7 alumnos: ¿De cuántas maneras puede crear su equipo de viaje de 7?
En este artículo vamos a conocer las formas de resolver preguntas similares a estas, al tiempo que aprendemos sobre las permutaciones y las combinaciones.
¿Qué es la permutación?
La permutación es la disposición de objetos de acuerdo con un orden o patrón determinado: se dice que una selección ordenada está permutada. T
Existen dos tipos de permutaciones: la lineal y la circular.
Permutación lineal
Cuando una disposición con orden se realiza en línea recta, se conoce como permutación lineal.
Por ejemplo, cuando se pide que se encuentre el número de formas en que se deben disponer las siguientes 6 bolas en orden.
Fig. 1. Imagen de bolas dispuestas linealmente para la permutación lineal.
Permutación circular
Sin embargo, cuando una disposición con orden se realiza de forma circular, o curva, se conoce como permutación circular.
Un ejemplo es cuando se quiere ordenar piedras de diferentes colores en una cuenta.
La figura siguiente da una idea de los arreglos circulares:
Fig. 2. Bolas dispuestas de manera circular.
A diferencia de las permutaciones lineales, en las que los elementos se organizan en línea recta, las permutaciones circulares se organizan de forma circular (como se ve arriba).
A continuación, verás más detalles y ejemplos sobre las permutaciones circulares.
¿Cuál es el signo de permutación?
Se utilizan varios signos para representar la permutación. Estos son:
\[P(n,r)\]
\[_nP_r\]
Donde \(n\) es el número total de objetos y \(r\) el número de objetos seleccionados.
Tipos de permutación lineal y fórmulas correspondientes
Hay dos tipos de permutación: con repetición y sin repetición.
Permutación con repetición
En este caso de ordenación o selección, el objeto puede reutilizarse en todos los pasos de la selección. Esto significa que cada componente de un grupo puede utilizarse siempre que se realice la selección.
Si se seleccionan tres letras del alfabeto, de la A a la Z, la letra A puede seleccionarse en esas 3 ocasiones como AAA. El mismo argumento vale para la B, la C y así, sucesivamente.
Como tenemos 26 letras, ¡tenemos 26 opciones cada vez! Por lo tanto, la cantidad de combinaciones que se seleccionan es:
\[26^3=17.576 \text{}\]
Donde la base 26 significa que hay 26 letras y el exponente 3 representa el número de letras que seleccionamos.
Esto significa que para la selección con repetición:
\[\text{Número de posibilidades}=n^r\]
Donde \(n\) es el número de objetos del conjunto y \(r\) es el número de veces que se realiza la selección.
Permutación sin repetición
En este caso, no hay repetición de algún elemento de un conjunto utilizado al hacer las selecciones. Una vez que se utiliza un elemento, no se puede reutilizar y, por tanto, se reducen las posibilidades disponibles.
Si hay que elegir una letra del alfabeto y se elige la Z, una vez que se utilice esta letra, ya no se puede reutilizar. Esto reduce las posibilidades de selección de 26 a 25.
Del mismo modo: si hay que elegir dos letras y se eligen la Z y la Y, una vez que se utilizan la Z y la Y, se reduce aún más la posibilidad. Ahora, de 26 pasa a 24; y, así, sucesivamente.
Por lo tanto, nos queda:
\[26·25·24·23·...·1=26!\]
\[26!=403291461126605635584000000\]
Como puedes ver, diferencia de la permutación con repetición (que permite sustituir y reutilizar los elementos de los conjuntos), la permutación sin repetición no permite sustituir ni utilizar posteriormente ningún elemento que se haya utilizado.
Hagamos unos ejercicios:
¿En qué orden se pueden disponer las letras de la A a la F, sin que se repita ninguna?
Solución:
En este caso, una letra no puede aparecer más de una vez. Por lo tanto, si A comienza el conjunto o toma la primera posición entre las seis posiciones de letras vacantes, entonces A solo debe permanecer en la primera posición, sin volver a aparecer en otra, a menos que se retire de la primera posición y se coloque en otra.
Esta misma regla se aplica a las demás letras del conjunto. Además, una vez que A comienza la secuencia, reduce la siguiente letra en una cadena. De esta manera, A tiene las 6 cadenas de posibilidades; B tiene 5 y C tiene 4; hasta F, que tiene solo una cadena, porque debe haberse repetido ya en todas las demás cadenas.
Por lo tanto, el número de formas de disponer ordenadamente de A a F es:
\[6!=6·5·4·3·2·1=720\text{ posibilidades}\]
En el ejemplo anterior, se seleccionan y ordenan todos los elementos de los números. Ahora, ¿qué ocurre si se seleccionan solo algunos de todos?
Por ejemplo, te dan los números del 1 al 10, y tienes que seleccionar 6.
Recuerda que podemos ordenar los números del 1 al 10 en:
\[10!=10·9·8·7·6·5·4·3·2·1\text{ posibilidades}\]
Sin embargo, como ahora estamos seleccionando solo 6 números, esto significa que tenemos:
\[10·9·8·7·6·5\text{ posibilidades}=\dfrac{10!}{4!}\text{ posibilidades}\]
Pero \(4!=(10-6)!\).
Así, podemos deducir la fórmula de permutación:
\[P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\]
donde \(n\) es el número de objetos, \(r\) es el número de objetos a seleccionar.
Por lo tanto, para resolver la cuestión de nuevo, tenemos:
\[P(10,6)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\]
\[P(10,6)=\dfrac{10!}{4!}\]
\[P(10,6)=\dfrac{10·9·8·7·6·5·4·3·2·1}{4·3·2·1}\]
\[P(10,6)=10·9·8·7·6·5\]
\[P(10,6)=151.200\]
En cuanto a esta fórmula, sugiere que si se van a seleccionar y ordenar todos los elementos del conjunto, \(r\) se hace igual a \(n\). Así, se expresa como \(P(n,n)=\dfrac{n!}{(n-n)!}=\dfrac{n!}{0!}=n!\), ya que \(0!=1\).
Uso de permutaciones en la ordenación de letras
Recordemos que para hacer un arreglo ordenado, sin repetición, que involucre a todos los elementos de un conjunto de \(n\) elementos, tenemos \(P(n,n) = n!\) posibilidades.
Por su parte, si se seleccionan y ordenan algunos elementos \(r\) de un conjunto \(n\), tenemos:
\[P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\text{ posibilidades}\]
Sin embargo, hay casos en los que un elemento de un conjunto se repite dentro de otro.
Por ejemplo, en la palabra GANADOR, A se repite una vez. Por lo tanto, para tener en cuenta la doble A; por eso, se convierte en:
\[\dfrac{P(7,7)}{P(2,2)}=\dfrac{7!}{2!}=\dfrac{7·6·5·4·3·2·1}{2·1}=2520\]
Observa que la permutación de todos los elementos se divide por la permutación de cuántas veces aparece el elemento repetido: en este caso, 2. Así, si aparecieran tres A repetidas, la permutación se habría dividido por P(3,3), ¡que es 3!
Del mismo modo, si se repite más de un elemento de un conjunto, la permutación de todos los elementos se divide por el producto de la permutación de cada elemento.
Por ejemplo, en la palabra SESEOS, tenemos dos E y tres S, con un total de seis letras. Para ordenar esto utilizamos:
\[\dfrac{P(6,6)}{P(2,2)·P(3,3)}=\dfrac{6!}{2!·3!}=\dfrac{6·5·4·3·2·1}{(2·1)(3·2·1)}=60\]
Basándonos en este conocimiento, para ordenar las letras con el mismo alfabeto, se convierte en:
\[\dfrac{n!}{p!q!}\]
donde, \(n\) es el número total de letras, \(p\) y \(q\) son los números de veces que se repite una letra.
Sigamos practicando:
¿De cuántas formas se puede ordenar la palabra MISSISSIPPI?
Solución:
La palabra MISSISSIPPI contiene 11 letras con 4 I repetidas, 4 S repetidas y 2 P repetidas. Por lo tanto, apliquemos la fórmula:
\[\dfrac{n!}{p!q!}\]
Sin embargo, como en este caso tenemos 3 repeticiones, no nos detenemos en la \(q\), sino que añadimos una \(s\). Entonces, nuestra fórmula se ajusta a:
\[\dfrac{n!}{p!q!}\]
Una vez aplicado esto, tenemos:
\[\dfrac{P(11,11)}{P(4,4)P(4,4)P(2,2)}=\dfrac{11!}{4!·4!·2!}=34.650\]
Fórmula de permutación circular
Hemos considerado la permutación de objetos de forma lineal; pero, a veces, la ordenación se hace de forma circular o rotativa, como se ha mencionado anteriormente. Esto requiere un enfoque diferente porque, a diferencia de una línea recta que parte de un punto y termina en otro punto, un círculo comienza en un punto y termina en el mismo punto. Esto significa que para un conjunto \(n\) de números, \(n\) se repite; de manera que tenemos:
\[\dfrac{P(n,n)}{n}=\dfrac{n!}{n}=\dfrac{n(n-1)!}{n}=(n-1)!\]
Así, la permutación en este caso sigue el uso de \((n-1)!\).
A Juan le han pedido que coloque a 5 alumnos en una mesa redonda de comedor. ¿De cuántas formas puede conseguirlo?
Solución:
\[n=5\]
\[(n-1)!=(5-1)!\]
\[(5-1)!=4!\]
\[4!=4·3·2·1\]
\[4·3·2·1=24\text{ posibilidades}\]
¿Qué es la combinación?
La combinación es un método de selección que no sigue un orden.
A diferencia de la permutación, si se eligieran tres letras de la A a la E, ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA serían todos resultados posibles, porque el orden está implicado. Pero, en la combinación (en la que no se necesita el orden), solo un ABC representa al resto, porque todos los demás son repeticiones, al no intervenir el orden.
Los resultados de la combinación son menores que los de la permutación porque, al eliminar el orden, solo un resultado sustituye a los órdenes que son similares.
Por ejemplo, en lugar de escribir estos seis resultados: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA, se escribe solo un ABC. De esta manera, se reduce la opción de esa combinación de 6 a 1.
Para calcular las combinaciones utilizamos:
\[C(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!r!}\]
Donde \(n\) representa el número total de elementos a elegir \(r\) representa el número de elementos elegidos.
¿Cuál es el signo de la combinación?
Se utilizan varios signos para representar la permutación:
\[C(n,r)\]
\[_nC_r\]
De una clase de 8 alumnos, hay que elegir tres para visitar el museo. ¿De cuántas maneras se puede tomar la decisión?
Solución:
\[n=8\]
\[r=3\]
\[C(n,r)=C(8,3)\]
\[C(8,3)=\dfrac{8!}{(8-3)!·3!}=56\]
Por lo tanto, se pueden elegir tres alumnos de una clase de 8 para visitar el museo de 56 maneras posibles.
Combinación de sucesos múltiples
En la combinación de sucesos múltiples se realiza más de una clase de elección de un conjunto que contiene más de un grupo.
Si en una clase de 14 personas hay 8 chicas y 6 chicos, y hay que elegir 4 chicos y 5 chicas, habrá que considerar la elección por género.
Por lo tanto, se convierte en elegir 4 chicos de 6 y 5 chicas de 8. Esto significa que:
\[C(6,4)·C(8,5)\]
\[C(6,4)=\dfrac{6!}{(6-4)4!}=\dfrac{30}{2}=15\]
y
\[C(8,5)=\dfrac{8!}{(8-5)!5!}=56\]
Por lo tanto:
\[C(6,4)·C(8,5)=15·56=840\]
Combinación con repetición
A veces, las selecciones se hacen sin orden, pero con repetición. Tal operación es una combinación con repetición y se aplica la fórmula:
\[\dfrac{(r+n-1)!}{(n-1)!r!}\]
Donde \(n\) es el número total de cosas a elegir, \(r\) es el número de cosas que debemos elegir de \(n\) y se permite la repetición sin orden.
Carla tiene una colección de seis bolas de billar de diferentes colores. Si su amiga Marta debe elegir 4 bolas de entre ellas, repitiendo el color varias veces sin orden, ¿de cuántas maneras se puede conseguir esto?
Solución:
En este caso, no hay orden y se puede repetir la selección de un color determinado. Por tanto, se trata de un problema de combinación con repetición:
\(n\) (número total de bolas) es 6.
\(r\) (número de bolas a seleccionar) es 4.
Por lo tanto:
\[\dfrac{(r+n-1)!}{(n-1)!r!}\]
El número de formas en que Marta podría lograr esto es:
\[\dfrac{(4+6-1)!}{(6-1)!4!}=126\text{ maneras posibles}\]
¿Cuál es la diferencia entre permutación y combinación?
A menudo se confunden las preguntas de permutación con las de combinación. En efecto, son bastante similares en el sentido de que ambas tratan de posibles elementos que se producen. Sin embargo, difieren en los siguientes aspectos principales:
Orden
En la permutación, la disposición implica elementos que están dispuestos en orden. Esto significa que la posición de los elementos es muy importante.
Pero en la combinación, la selección de elementos no tiene orden. Por lo tanto, el orden no es relevante en la combinación.
Por ejemplo, si las letras A,B,C se permutan sin repetirse, entonces tenemos: AB, BA, AC, CA, BC y CB.
Mientras tanto, si A, B y C se combinan sin repetición, tenemos: AB, AC y BC.
Nota que, en la permutación, AB y BA no son lo mismo, porque en AB, A va antes que B; lo mismo ocurre en BA y el resto de resultados.
Esto hace que los resultados de la permutación sean mayores que los de la combinación.
Terminología
Muchas personas se equivocan al utilizar los términos correctos en relación con la permutación y la combinación:
En la permutación, se ordena u organiza.
Pero, en la combinación, se elige o selecciona.
Nunca cometas el error de intercambiar estos términos cuando te dirijas a la permutación o a la combinación.
Fórmula
Muy importante, y se puede observar claramente: la fórmula de la permutación difiere de la de la combinación.
\[P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\]
\[C(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!r!}\]
La diferencia en la fórmula es la \(r!\). Así, podemos crear una relación matemática entre la permutación y la combinación como:
\[\text{Permutación}=\text{Combinación}\times r!\]
Esto confirma, de nuevo, por qué los resultados de la permutación son mayores que los de la combinación: por un factor multiplicativo de \(r!\).
Más ejemplos de permutación y combinación
Deberías intentar hacer muchos más problemas, para tener una idea clara de las distintas formas en que se te puede plantear un examen.
Unos cuantos ejemplos te ayudarán:
¿De cuántas formas se pueden escribir las letras de la palabra MALICE, de manera que todas las letras consonantes queden siempre juntas?
Solución:
La palabra MALICE tiene 6 letras, que incluyen 3 consonantes: M, L y C. Disponer estas consonantes en las letras de manera que todas las letras consonantes queden juntas significa, por ejemplo: MLCAIE.
Para ello, tomemos todas las letras consonantes como una sola letra, ya que aparecen como grupo en varias posiciones. Esto nos deja con 4 posiciones, que incluyen A, I, E y el grupo de consonantes.
A continuación, hallemos el número de maneras en que se puede hacer el arreglo en las cuatro posiciones:
\[P(4,1)=4!=4·3·2·1=24\]
Así que ahora podemos hallar el número de formas en que estas consonantes pueden disponerse, aunque permanezcan cerca unas de otras:
\[P(1,3)=3!=3·2·1=6\]
Esto significa que el número total de formas en que se pueden disponer las letras de la palabra MALICIA de manera que todas las consonantes permanezcan cerca unas de otras es:
\[24·6=144\]
Un juego de cubiertos contiene 5 tenedores, 3 cucharas y 4 cuchillos. Un niño coge 3 cubiertos y debe escoger al menos un cuchillo. ¿De cuántas formas puede conseguirlo?
Solución:
Si el niño debe elegir un cuchillo, hay tres posibles opciones que puede tomar:
1. Elegir los 3 cuchillos: En este caso, las formas en que puede conseguirlo son
\[C(4,3)=\dfrac{4!}{(4-3)!3!}=\dfrac{4·3!}{3!}=4\]
2. Elegir 2 cuchillos y cualquier otro cubierto: En este caso, las formas en que puede lograr esto son
\[C(4,2)·C(8,1)=\dfrac{4!}{(4-2)!2!}·\dfrac{8!}{(8-1)!1!}=48\]
3. Elegir 1 cuchillo y cualquier otros 2 cubiertos. En este caso, las formas en que puede conseguirlo son:
\[C(4,1)·C(8,2)=\dfrac{4!}{(4-1)!1!}·\dfrac{8!}{(8-2)!2!}=112\]
Por lo tanto, el número de formas en que puede elegir al menos un cuchillo entre una selección de 3 cubiertos es la suma de todos los eventos posibles, que es:
\[4+48+112=164\text{ maneras posibles}\]
Permutación y combinación - Puntos clave
- La permutación es la disposición de objetos o personas siguiendo un orden o patrón.
- Las permutaciones pueden ser con o sin repetición.
- Las permutaciones lineales se calculan utilizando \(\dfrac{n!}{(n-r)!}\), mientras que la permutación circular se calcula utilizando \((n-1)!\).
- La combinación es un método de selección que no sigue un orden.
- La combinación se calcula utilizando \(\dfrac{n!}{(n-r)!r!}\)
- La permutación y la combinación difieren en la importancia y la ubicación del orden, la terminología utilizada y la fórmula aplicada.
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