Binomio de Newton

\[(a+b)^2\]

• Aquí, \(a\) y \(b\) son las variables y \(2\) es la potencia.

\[(x+y)^3\]

• Aquí, \(x\) y \(y\) son las variables y \(3\) es la potencia.

Usando el triángulo de Pascal y la expansión del binomio de Newton, encuentra la expansión del siguiente binomio:

\[(a+b)^3\]

Solución:

Primero, debemos usar la formula de la expansión:

\[(a+b)^n=\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} a^n b^0 + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} a^{n-1} b^1+ \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} a^{n-2} b^2 + … \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} a^{1} b^{n-1}+ \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} a^0 b^n \]

Para \(n=3\), pero sin usar los coeficientes binomiales:

\[(a+b)^n= a^n b^0 + a^{n-1} b^1+ a^{n-2} b^2 + … a^{1} b^{n-1}+ a^0 b^n \]

Aquí, el primer exponente debe ser \(n=3\), y para \(b\) sigue siendo \(0\):

\[(a+b)^3= a^3 b^0 + … \]

El siguiente exponente para \(a\) debe ser \(n-1\), que es \(3-1=2\). Para \(b\) el exponente ahora es \(1\):

\[(a+b)^3= a^3 b^0 + a^2+b^1 … \]

El siguiente exponente para \(a\) debe ser \(n-2\) que es \(3-2=1\). Para \(b\) el exponente ahora es \(2\).

\[(a+b)^3= a^3 b^0 + a^2+b^1 + a^1 b^2 + … \]

El siguiente exponente para \(a\) debe ser \(n-3\) que es \(3-3=0\). Para \(b\) el exponente ahora es \(3\).

\[(a+b)^3 = a^3 b^0 + a^2+b^1 + a^1 b^2 + a^0 b^3 \]

Cuando el segundo término alcanza la potencia original y el primero es cero podemos parar.

Lo que nos falta son los términos que multiplican a cada producto de \(a \cdot b\). A estos los llamaremos \(A_1, A_2, A_3, A_4 \).

\[(a+b)^3= A_1 ( a^3 b^0 ) + A_2 ( a^2+b^1 ) + A_3 ( a^1 b^2 ) +A_4 ( a^0 b^3 ) \]

Si miramos al triángulo de Pascal, los coeficientes para \(n=3\) deben ser:

\[A_1=1\]

\[A_2=2\]

\[A_3=2\]

\[A_4=1\]

Si sustituimos esto, tenemos:

\[(a+b)^3= 1 ( a^3 b^0 ) + 2 ( a^2+b^1 ) + 2 ( a^1 b^2 ) + 1 ( a^0 b^3 ) \]

Si reducimos los términos que están elevados a cero, como \(m^0=1\), tenemos:

\[(a+b)^3= a^3 + 2 ( a^2 \cdot b ) + 2 ( a \cdot b^2 ) + b^3 \]

Usando la fórmula de los coeficientes binomiales y la expansión del binomio de Newton, encuentra la expansión del siguiente binomio:

\[(x+y)^4\]

Solución:

Ocupamos la fórmula de la expansión binomial, nuevamente, para \(n=4\), que es:

\[(a+b)^4=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} a^4 b^0 + \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} a^{4-1} b^1+ \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} a^{4-2} b^2 +… \begin{pmatrix} 4 \\ 4-1 \end{pmatrix} a^{1} b^{4-1}+ \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} a^0 b^4 \]

Hagamos esto, término por término, para expresar el binomio de Newton.

• En el primer término, para \(a\), \(n=4\) y \(b=0\). El coeficiente binomial es \(\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}\):

\[(a+b)^4=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} a^4 b^0… \]

• Seguimos con el segundo término: Aquí para \(a\), el exponente es \(n-1\), que es \(3\) y \(b=1\). El coeficiente binomial es \(\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\):

\[(a+b)^4=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} a^4 b^0 0 + \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} a^{4-1} b^1+… \]

• Ahora, con el tercer término: Aquí para \(a\) el exponente es \(n-2\) que es \(2\) y \(b=2\). El coeficiente binomial es \(\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\):

\[(a+b)^4=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} a^4 b^0 + \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} a^{4-1} b^1+ \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} a^{4-2} b^2 … \]

• Continuamos con el cuarto término: Aquí, para \(a\) el exponente es \(n-3\) que es \(1\) y \(b=3\). El coeficiente binomial es \(\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\):

\[(a+b)^4=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} a^4 b^0 + \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} a^{4-1} b^1+ \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} a^{4-2} b^2 \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} a^{4-3} b^3… \]

• Por último, el quinto término. Aquí para \(a\) el exponente es \(n-4\) que es \(0\) y \(b=4\). El coeficiente binomial es \(\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). Este es el último término ya que el exponente de \(b\) es igual a \(4\):

\[(a+b)^4=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} a^4 b^0 + \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} a^{4-1} b^1+ \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} a^{4-2} b^2 + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} a^{4-3} b^3+ \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} a^{4-4} b^4 \]

Si reducimos las operaciones en los exponentes y, además, hacemos toda variable elevada a cero un uno:

\[(a+b)^4=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} a^4 + \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} ( a^3 \cdot b^1 )+ \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} ( a^2 \cdot b^2 ) + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} ( a \cdot b^3 )+ \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} b^4 \]

Ahora, haremos las operaciones para obtener los coeficientes binomiales:

\[\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{4!}{0!(4!)}=1\]

\[\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{4!}{1!(3!)}=4\]

\[\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{4!}{2!(2!)}=6\]

\[\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{4!}{3!(1!)}=4\]

\[\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{4!}{4!(0!)}=1\]

Si sustituimos estos valores, obtenemos:

\[(a+b)^4= a^4 + 4 ( a^3 \cdot b^1 )+ 6 ( a^2 \cdot b^2 ) +4 ( a \cdot b^3 )+ b^4 \]

Encuentra la expansión del siguiente binomio y, cuando acabes, suma todos los términos.

\[(9+2)^5\]

Solución:

Si aplicamos la fórmula de la expansión binomial con \(n=5\), tenemos:

\[(9+2)^5=\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} 9^5 + \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} ( 9^4 \cdot 2^1 )+ \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} ( 9^3 \cdot 2^2 ) + \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} ( 9^2 \cdot 2^3 )+ \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} 9 \cdot 2^4 + \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} 2^5 \]

Podemos calcular los coeficientes binomiales usando el triángulo de pascal. Hacemos esto porque es más fácil y rápido. El resultado es:

\[(9+2)^5= 1 (9^5) + 5 ( 9^4 \cdot 2^1 )+ 10 ( 9^3 \cdot 2^2 ) + 10 ( 9^2 \cdot 2^3 )+ 5 ( 9 \cdot 2^4 ) + 1 ( 2^5 ) \]

Si elevamos todos los términos al exponente que les corresponde:

\[(9+2)^5= 59.049 + 5 ( 6.561 \cdot 2 )+ 10 ( 729 \cdot 4 ) + 10 ( 81 \cdot 8 )+ 5 ( 9 \cdot 16 ) + 1 ( 32 ) \]

Y si multiplicamos todos los términos:

\[(9+2)^5= 59.049 + 65.610+ 291.600 + 6.480+ 720 + 32 \]

Como paso fina,l sumamos todo:

\[423.491\]