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- En este caso, la potencia debe ser entera y positiva.
A esta lista de términos que se suman y que siguen una serie de reglas, se le denomina el teorema del binomio, o el binomio de Newton.
En este artículo te hablaremos de: El binomio de Newton.
La expansión de un binomio.
Las reglas de esta expansión para cualquier potencia.
Algunos ejemplos prácticos.
Seguro conoces el término binomio de Newton; pero, ¿qué te parece si te digo que Newton dio la prueba general de esta fórmula, pero que (de hecho) él no fue el primero? Muchas veces, en el mundo de la ciencia, también pasan cosas como tomar descubrimientos de otros y ponerles tu nombre. Imagina que, incluso, Newton y Robert Hooke nunca fueron buenos amigos.
Pero, a pesar de estos problemas sociales, no tiene importancia el nombre de los descubrimientos, sino su uso. Por eso, aquí nos enfocaremos en cómo utilizar y resolver este binomio.
Seguro has visto el teorema del binomio al cuadrado; dos términos elevados al cuadrado que se transforman en tres términos:
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]
Este es un problema clásico; lo conoces como "el cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, el doble producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término". Esta fórmula, conocida como el binomio al cuadrado, es un caso especial; de hecho, te podríamos decir que este binomio se puede elevar a cualquier potencia:
- Cuando se eleva a una potencia \(n\) —donde \(n\) es cualquier número entero y positivo— esto resulta en muchos términos que se suman.
Potencias de un binomio
Antes de que entremos de lleno a explicarte lo que es la expansión binomial, estudiaremos las potencias de un binomio.
Las potencias de un binomio son los términos a los cuales se encuentran elevados dos números o variables que se están sumando o restando.
Un ejemplo de esto es:
\[(a+b)^2\]
- Aquí, \(a\) y \(b\) son las variables y \(2\) es la potencia.
Otro ejemplo es:
\[(x+y)^3\]
- Aquí, \(x\) y \(y\) son las variables y \(3\) es la potencia.
Estas expresiones se pueden convertir en una suma más larga de términos.
Al proceso de convertir esta suma elevada a una potencia en una seria de sumas se le denomina expansión.
En los siguientes párrafos, te hablaremos sobre la expansión de estos términos, cuando la potencia es un número cualquiera y positivo.
¿Qué es el Binomio de Newton?
A la expansión de un binomio que se encuentra elevado a una potencia entera \((a+b)^n\), se le llama el binomio de Newton.
A continuación, te presentamos las expansiones para las primeras cinco potencias.
- \[(a+b)^1=a+b\]
- \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]
- \[(a+b)^3=a^3+3 a^2 \cdot b + 3 b^2 \cdot a + b^3\]
- \[(a+b)^4= a^4 +4 a^3 \cdot b + 6 a^2 \cdot b^2 + 4 b^3 \cdot a + b^4 \]
- \[(a+b)^5=a^5+ 5 a^4 \cdot b + 10 a^3 \cdot b^2 + 10 b^3 \cdot a^2 + 5 b^4 \cdot a + b^5\]
El primer indicio histórico de una expansión binomial es, de hecho, griega. La primera mención en Grecia fue dada como una prueba geométrica, por el griego Euclides, alrededor del año 300 a. C. En esta mención, se dice que “el área de un cuadrado es igual a la suma de los cuadrados y los rectángulos contenidos en ese cuadrado”.Lo podemos ver en la siguiente imagen, donde un cuadrado formado por los segmentos \(a\) y \(b\) o \(l=a+b\).
Fig. 1: Demostración de Euclides para el binomio al cuadrado.
En este caso, podemos dividir el cuadrado en las siguientes figuras:
Fig. 2: Demostración de Euclides para el binomio al cuadrado.
Y podemos ver que el área de estas figuras es:
- El área del cuadrado \(a\) igual a \(a^2\).
- Dos rectángulos con área \(a \cdot b\).
- El área tiene un pequeño rectángulo \(b\) igual a \(b^2\).
- En total tenemos que \(l^2=a^2+2a \cdot b + b^2\) y \(l^2=(a+b)^2\). Por lo que al final esto es igual a:\[(a+b)^2=a^2+2a \cdot b + b^2\]
El binomio al cuadrado se conoce, también, como expresión notable.
Una expresión notable es una expresión algebraica que nace de un producto conocido.
Una expresión notable, además se puede escribir sin hacer la operación, porque se sabe de antemano las reglas que la producen. Si aún te preguntas "¿por qué el binomio al cuadrado es una expresión notable?", te contamos que es porque \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\).
¿Cómo se calcula la expansión un binomio?
Te hemos dado las primeras expansiones de los binomios para potencias de \(1\) a \(5\); pero, ¿y si requieres una potencia más alta? Veamos cuál es la fórmula para el binomio de Newton.
Fórmula del binomio de Newton
Elevar a un binomio a una potencia mayor que cinco no parece tan trivial. Para cualquier caso puedes aplicar la fórmula del binomio de Newton:
\[(a+b)^n=\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} a^n b^0 + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} a^{n-1} b^1+ \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} a^{n-2} b^2 + … \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} a^{1} b^{n-1}+ \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} a^0 b^n \]
- Aquí, \(n\) es la potencia a la cual elevamos.
Coeficiente binomial
Los términos que consisten en un vector columna, como
\[\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}\]
son las constantes por las cuales los términos se multiplican.
Estas pueden, también, obtenerse usando el triángulo de Pascal:
Fig. 3. Triángulo de Pascal con los coeficientes binomiales
Este vector columna también se conoce como coeficiente binomial y puede ser calculado con la siguiente fórmula:
\[\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}= \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
- Aquí el símbolo \(!\) representa el factorial de un número.
Lo puedes encontrar en nuestro artículo Factorial.
Binomio de Newton: ejercicios
Hagamos algunos ejercicios en los que expandimos las expresiones binomiales. Empecemos de manera sencilla:
Usando el triángulo de Pascal y la expansión del binomio de Newton, encuentra la expansión del siguiente binomio:
\[(a+b)^3\]
Solución:
Primero, debemos usar la formula de la expansión:
\[(a+b)^n=\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} a^n b^0 + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} a^{n-1} b^1+ \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} a^{n-2} b^2 + … \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} a^{1} b^{n-1}+ \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} a^0 b^n \]
Para \(n=3\), pero sin usar los coeficientes binomiales:
\[(a+b)^n= a^n b^0 + a^{n-1} b^1+ a^{n-2} b^2 + … a^{1} b^{n-1}+ a^0 b^n \]
Aquí, el primer exponente debe ser \(n=3\), y para \(b\) sigue siendo \(0\):
\[(a+b)^3= a^3 b^0 + … \]
El siguiente exponente para \(a\) debe ser \(n-1\), que es \(3-1=2\). Para \(b\) el exponente ahora es \(1\):
\[(a+b)^3= a^3 b^0 + a^2+b^1 … \]
El siguiente exponente para \(a\) debe ser \(n-2\) que es \(3-2=1\). Para \(b\) el exponente ahora es \(2\).
\[(a+b)^3= a^3 b^0 + a^2+b^1 + a^1 b^2 + … \]
El siguiente exponente para \(a\) debe ser \(n-3\) que es \(3-3=0\). Para \(b\) el exponente ahora es \(3\).
\[(a+b)^3 = a^3 b^0 + a^2+b^1 + a^1 b^2 + a^0 b^3 \]
Cuando el segundo término alcanza la potencia original y el primero es cero podemos parar.
Lo que nos falta son los términos que multiplican a cada producto de \(a \cdot b\). A estos los llamaremos \(A_1, A_2, A_3, A_4 \).
\[(a+b)^3= A_1 ( a^3 b^0 ) + A_2 ( a^2+b^1 ) + A_3 ( a^1 b^2 ) +A_4 ( a^0 b^3 ) \]
Si miramos al triángulo de Pascal, los coeficientes para \(n=3\) deben ser:
\[A_1=1\]
\[A_2=2\]
\[A_3=2\]
\[A_4=1\]
Si sustituimos esto, tenemos:
\[(a+b)^3= 1 ( a^3 b^0 ) + 2 ( a^2+b^1 ) + 2 ( a^1 b^2 ) + 1 ( a^0 b^3 ) \]
Si reducimos los términos que están elevados a cero, como \(m^0=1\), tenemos:
\[(a+b)^3= a^3 + 2 ( a^2 \cdot b ) + 2 ( a \cdot b^2 ) + b^3 \]
Veamos otro:
Usando la fórmula de los coeficientes binomiales y la expansión del binomio de Newton, encuentra la expansión del siguiente binomio:
\[(x+y)^4\]
Solución:
Ocupamos la fórmula de la expansión binomial, nuevamente, para \(n=4\), que es:
\[(a+b)^4=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} a^4 b^0 + \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} a^{4-1} b^1+ \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} a^{4-2} b^2 +… \begin{pmatrix} 4 \\ 4-1 \end{pmatrix} a^{1} b^{4-1}+ \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} a^0 b^4 \]
Hagamos esto, término por término, para expresar el binomio de Newton.
- En el primer término, para \(a\), \(n=4\) y \(b=0\). El coeficiente binomial es \(\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}\):
\[(a+b)^4=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} a^4 b^0… \]
- Seguimos con el segundo término: Aquí para \(a\), el exponente es \(n-1\), que es \(3\) y \(b=1\). El coeficiente binomial es \(\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\):
\[(a+b)^4=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} a^4 b^0 0 + \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} a^{4-1} b^1+… \]
- Ahora, con el tercer término: Aquí para \(a\) el exponente es \(n-2\) que es \(2\) y \(b=2\). El coeficiente binomial es \(\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\):
\[(a+b)^4=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} a^4 b^0 + \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} a^{4-1} b^1+ \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} a^{4-2} b^2 … \]
- Continuamos con el cuarto término: Aquí, para \(a\) el exponente es \(n-3\) que es \(1\) y \(b=3\). El coeficiente binomial es \(\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\):
\[(a+b)^4=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} a^4 b^0 + \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} a^{4-1} b^1+ \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} a^{4-2} b^2 \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} a^{4-3} b^3… \]
- Por último, el quinto término. Aquí para \(a\) el exponente es \(n-4\) que es \(0\) y \(b=4\). El coeficiente binomial es \(\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). Este es el último término ya que el exponente de \(b\) es igual a \(4\):
\[(a+b)^4=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} a^4 b^0 + \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} a^{4-1} b^1+ \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} a^{4-2} b^2 + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} a^{4-3} b^3+ \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} a^{4-4} b^4 \]
Si reducimos las operaciones en los exponentes y, además, hacemos toda variable elevada a cero un uno:
\[(a+b)^4=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} a^4 + \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} ( a^3 \cdot b^1 )+ \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} ( a^2 \cdot b^2 ) + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} ( a \cdot b^3 )+ \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} b^4 \]
Ahora, haremos las operaciones para obtener los coeficientes binomiales:
\[\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{4!}{0!(4!)}=1\]
\[\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{4!}{1!(3!)}=4\]
\[\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{4!}{2!(2!)}=6\]
\[\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{4!}{3!(1!)}=4\]
\[\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{4!}{4!(0!)}=1\]
Si sustituimos estos valores, obtenemos:
\[(a+b)^4= a^4 + 4 ( a^3 \cdot b^1 )+ 6 ( a^2 \cdot b^2 ) +4 ( a \cdot b^3 )+ b^4 \]
Por último:
Encuentra la expansión del siguiente binomio y, cuando acabes, suma todos los términos.
\[(9+2)^5\]
Solución:
Si aplicamos la fórmula de la expansión binomial con \(n=5\), tenemos:
\[(9+2)^5=\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} 9^5 + \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} ( 9^4 \cdot 2^1 )+ \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} ( 9^3 \cdot 2^2 ) + \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} ( 9^2 \cdot 2^3 )+ \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} 9 \cdot 2^4 + \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} 2^5 \]
Podemos calcular los coeficientes binomiales usando el triángulo de pascal. Hacemos esto porque es más fácil y rápido. El resultado es:
\[(9+2)^5= 1 (9^5) + 5 ( 9^4 \cdot 2^1 )+ 10 ( 9^3 \cdot 2^2 ) + 10 ( 9^2 \cdot 2^3 )+ 5 ( 9 \cdot 2^4 ) + 1 ( 2^5 ) \]
Si elevamos todos los términos al exponente que les corresponde:
\[(9+2)^5= 59.049 + 5 ( 6.561 \cdot 2 )+ 10 ( 729 \cdot 4 ) + 10 ( 81 \cdot 8 )+ 5 ( 9 \cdot 16 ) + 1 ( 32 ) \]
Y si multiplicamos todos los términos:
\[(9+2)^5= 59.049 + 65.610+ 291.600 + 6.480+ 720 + 32 \]
Como paso fina,l sumamos todo:
\[423.491\]
Binomio de Newton - Puntos clave
- Las potencias de un binomio son los exponentes a los cuales se eleva un binomio.
- Por ejemplo, un binomio al cuadrado es \((a+b)^2\).
- Para elevar un binomio a cualquier potencia que no sea uno o dos, se usa la fórmula del binomio de Newton, que es:
\[(a+b)^n=\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} a^n b^0 + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} a^{n-1} b^1+ \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} a^{n-2} b^2 + … \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} a^{1} b^{n-1}+ \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} a^0 b^n \]
Los números que multiplican a las variables –también llamados coeficientes– se pueden calcular usando el triángulo de Pascal.
Los coeficientes se pueden calcular, también, usando la formula del coeficiente binomial:
\[\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}= \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
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Preguntas frecuentes sobre Binomio de Newton
¿Para qué se utiliza el Binomio de Newton?
Se utiliza para calcular un binomio que se eleva a cierta potencia, por ejemplo:
(a+b)2=a2+2ab+b2
¿Cómo se calcula la potencia de un binomio?
Con la fórmula del binomio de Newton podemos calcular la serie de sumas elevadas a las potencias y los coeficientes que les multiplican.
¿Qué relación hay entre el triángulo de Pascal, el binomio de Newton y los productos notables?
El desarrollo de un binomio a cierta potencia n como (a+b)n se puede hacer a través de la fórmula del binomio de Newton; Se debea que esta fórmula nos permite pasar de expresiones como:
(a+b)3=a3+3a2b+3b2a+b3
Sin tener que hacer el producto de los binomios como:
(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)(a2+2ab+b2)=a3+3a2b+3b2a+b3
Debido a que para pasar del binomio a la potencia se usan ciertas reglas sin hacer los productos, estos se llaman productos notables. Y una de estas reglas a seguir es la basada en el triángulo de Pascal.
¿Qué es la potencia de un binomio?
Es el número al cual se eleva un binomio.
¿Cuál es la fórmula del binomio de Newton?
La fórmula del binomio de Newton es la siguiente:
(a+b)n = (n 0)T an b0 + (n 1)T an-1 b1 + (n 2)T an-2 b2 + ... + (n n-1)T a1 bn-1 + (n n)T a0 bn,
donde n es la potencia a la cual elevamos.
¿Qué es el binomio de Newton?
A la expansión de un binomio que se encuentra elevado a una potencia entera (a+b)n, se le llama el binomio de Newton.
¿Qué es el teorema del binomio?
El teorema del binomio o binomio de Newton es un teorema matemático que nos dice cómo se desarrolla un binomio elevado a una potencia \(n\). En este caso, la potencia debe ser entera y positiva
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