¿Qué ocurre si vas a tu clase y empiezas a medir la estatura de tus compañeros? Las medidas deberían ir entre un valor mínimo (que es lo que mide tu compañero más pequeño) y un valor máximo (que es lo que mide el más alto).
Ahora, divide este rango entre un número. Digamos que este número es \(13\); es decir, en este caso, las alturas de la persona más pequeña a la más alta están agrupadas en \(13\) secciones como:
\[\Delta = \dfrac{a-b}{13}\]
donde,
\(a\) = más alto
\(b\) = más pequeño
Así tendrías grupos en los que la gente entra según su altura, como, por ejemplo:
\[1: a + \dfrac{a-b}{13}\]
\[2: a +2 \dfrac{a-b}{13}\]
\[3: a + 3 \dfrac{a-b}{13}\]
\[...\]
\[1: a +13 \dfrac{a-b}{13}\]
- En este artículo, en primer lugar revisaremos qué son los histogramas y su utilidad.
- Después aprenderemos sobre la distribución normal de probabilidad.
- A continuación, veremos la desviación estándar y los intervalos de confianza.
- Luego aprenderemos otra manera de llamar a esta distribución: la distribución normal tipificada.
- Veremos cómo convertir una distribución normal en normal estándar.
- Por último, realizaremos algunos ejercicios para convertir una distribución normal en normal estándar.
Los histogramas y su utilidad
Supongamos, ahora, que usas una gráfica de barras (es decir, un histograma) en la que la altura de la barra corresponde a cuántas personas están en ese grupo. En ese caso, tendrías lo siguiente: donde \(V\) es el número de personas en cierto grupo de cada barra \(N\), \( N\) crece de izquierda a derecha, siendo la gente con menor altura el grupo de la barra \(1\) y la barra con símbolo \(13\) muestra la gente con mayor altura:
Fig 1. Distribución normal de un conjunto de datos: se puede observar una forma de campana, aunque no sea bien definida.
¿Ves la forma que siguen las barras? Esta forma es conocida como distribución normal.
Usamos un histograma para este ejemplo. Pero, una distribución normal es continua; es decir, es una línea que sigue la forma de la campana que verás en la figura 2.
Distribución normal de probabilidad
La distribución normal es una distribución de probabilidad continua, que puede presentarse en un gráfico donde el eje de la \(y\) representa el número de eventos y \(x\) representa el valor de los eventos.
Fig. 2. La distribución normal sigue una forma de campana invertida, su media que es m divide los datos a la mitad, la desviación estándar σ nos sirve para obtener cuántos datos existen entre la media de la población y cierto valor de la desviación.
En el caso de la distribución normal estándar, esta es una variante de la distribución normal que depende de la media y la desviación típica. La distribución comparte las mismas características que una distribución normal, como su simetría y su forma característica, pero requiere dos condiciones:
- La media es \(0\).
- La desviación típica o estándar es igual a \(1\).
La desviación estándar
Para poder hablar de los intervalos de confianza, primero debemos hablar de la desviación estándar y la media.
La media de una población es el valor medio.
Veamos un ejemplo:
Si tienes \(5\) personas con las siguientes estaturas:
\[Estaturas={1.4, 1.43, 1.56, 1.8, 1.7}\]
La media es la división de los \(5\) valores entre el número total de valores. Así que esto es:
\[m=\dfrac{suma}{5}=\dfrac{(1.4+1.43+1.56+1.8+1.7)}{5}=1.578\]
De la misma manera, si tienes una muestra más grande —digamos \(100\) personas—, tu media cambiaría. Pero, hay un valor que te puede decir la estatura por debajo de la media y por encima de la media, situación de alrededor de dos tercios de su población. Es decir, alrededor de \(66\) personas de las \(100\) están por encima de este mínimo y por debajo de este máximo.
Esto lo puedes ver en la imagen siguiente:
Fig. 3. Intervalos dentro de la desviación estándar.
Este valor es la desviación estándar y se usa como una medida de confianza: es decir, tu confías en que el \(66%\) de tus datos viva entre este valor mínimo y máximo alrededor de la media.
Si quieres saber cómo calcular la desviación estándar y saber más acerca de la media, no olvides leer nuestros otros artículos acerca de las medidas de tendencia central.
Intervalos de confianza
El intervalo de confianza es parecido a la desviación estándar; es un intervalo que nos dice la cantidad de datos que vive alrededor de la media. Para calcularlo se usa esta fórmula:
\[IC=m+z \dfrac{\sigma}{\sqrt{2}}\]
Aquí \(n\) es el tamaño de la muestra o la población. Por ejemplo, de las \(100\) personas a las cuales se les mide su estatura, este valor sería \(100\). Por su parte, el valor \(z\) es el intervalo de confianza que deseas; por ejemplo, si quieres un \(70%\).
Hay otro valor importante conocido como la varianza; esta es, simplemente, el cuadrado de la desviación estándar. Este valor es —al igual que la desviación estándar— una medida de dispersión; o, es decir, una medida que nos dice cómo se distribuyen los datos alrededor de la media. También existe el intervalo de confianza para la varianza: este es el intervalo para el cual estamos seguros —usando la varianza— de que cierto porcentaje de la población vive alrededor de la media.
Distribución normal tipificada
Otro nombre para la distribución normal estándar es distribución normal tipificada. Una gran ventaja de esto es que está estandarizada y existe una tabla que nos indica los valores que la probabilidad acumulada tiene en cada punto de la curva para los valores positivos de la curva. Esto hace más fácil cualquier cálculo, ya que solo debes leer la tabla.
| z | 0,00 | 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,04 | 0,05 | 0,06 | 0,07 | 0,08 | 0,09 |
| 0,00 | 0,5 | 0,5040 | 0,5080 | 0,5120 | 0,5160 | 0,5199 | 0,5239 | 0,5279 | 0,5319 | 0,5359 |
| 0,10 | 0,5398 | 0,5438 | 0,5478 | 0,5517 | 0,5557 | 0,596 | 0,5636 | 0,5675 | 0,5714 | 0,5753 |
| 0,20 | ... | | | | | | | | | |
Tabla 1. La tabla de la distribución normal tipificada.
Esta sigue con filas hasta el valor de 0,9, aquí la hemos acortado porque sería demasiado larga para mostrar.
La tabla se sigue de modo que la probabilidad acumulada, que es al área bajo la curva, debe de leerse de las líneas a columnas. Si queremos obtener la probabilidad acumulada para los valores entre \(x=0\) y \(x=0.1\), debemos ir a la columna de la extrema izquierda, que tiene el valor de \(0.1\); debido a que no tenemos decimales, tenemos ahora que leer la columna superior que tiene el valor de \(0.0\).
Esto lo podemos ver en detalle en la tabla inferior:
| z | 0,00 | 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,04 | 0,05 | 0,06 | 0,07 | 0,08 | 0,09 |
| 0,00 | 0,5 | 0,5040 | 0,5080 | 0,5120 | 0,5160 | 0,5199 | 0,5239 | 0,5279 | 0,5319 | 0,5359 |
| 0,10 | 0,5398 | 0,5438 | 0,5478 | 0,5517 | 0,5557 | 0,596 | 0,5636 | 0,5675 | 0,5714 | 0,5753 |
| 0,20 | | | | | | | |
Tabla 2. La tabla de la distribución normal tipificada.
Esta sigue con filas hasta el valor de 0,9, aquí encontramos que el valor requerido está en la columna 0,01 y renglones 0,00 y 0,10.
El resultado es, entonces:![]()
Si quisiéramos medir la probabilidad acumulada en![]()
, tendríamos que leer los valores de:
| z | 0,00 | 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,04 | 0,05 | 0,06 | 0,07 | 0,08 | 0,09 |
| 0,00 | 0,5 | 0,5040 | 0,5080 | 0,5120 | 0,5160 | 0,5199 | 0,5239 | 0,5279 | 0,5319 | 0,5359 |
| 0,10 | 0,5398 | 0,543 | 0,5478 | 0,5517 | 0,5557 | 0,5596 | 0,5636 | 0,5675 | 0,5714 | 0,5753 |
| 0,20 | ... | | | | | | |
Tabla 3. La tabla de la distribución normal tipificada. Esta sigue con filas hasta el valor de 0,9,
aquí encontramos que el valor requerido está en la columna 0,01 y renglón 0.10.
El resultado es, entonces: ![]()
Cómo convertir una distribución normal a normal estándar
Como existe una tabla para poder calcular la probabilidad bajo la curva fácilmente, muchas veces es mejor convertir una distribución normal a una normal estándar. Para ello se hace algo llamado tipificar la variable. Para tipificar la variable se debe usar la siguiente fórmula:
\[z = \dfrac{x-\mu}{\sigma}\]
Esta fórmula transforma la variable anterior \(x\) a \(z\) y, con esto, puedes calcular la probabilidad más fácilmente.
Ejercicios para convertir distribución normal a normal estándar
Veamos un ejemplo para usar conversiones entre una distribución normal a una tipificada.
En un salón de clases la estatura de los alumnos sigue una distribución normal \((1{,}42; 0{,}02)\), donde el primer dato es la media y el segundo es la desviación típica. Si queremos usar la tabla de probabilidades para facilitar nuestro trabajo, debemos convertir esto para poder obtener el porcentaje de personas que tiene otra estatura. ¿Qué porcentaje de esa población mide más de \(1{,}5\,\mathrm{m}\)?
Solución
En este caso, la media es igual a \(1{,}42\,\mathrm{m}\) y la desviación típica es \(0{,}02\,\mathrm{m}\).
Para poder convertir este valor y usar la distribución tipificada, usamos la fórmula:
\[z = \dfrac{x-\mu}{\sigma}\]
donde:
\[x=1{,}5\,\mathrm{m}\]
\[\mu=1{,}42\,\mathrm{m}\]
\[\sigma=0{,}02\,\mathrm{m}\]
Usando la fórmula, se tiene:
\[z = \dfrac{1{,}5-1{,}42}{0{,}02}=4\]
Esto significa que en la tabla tipificada tendríamos que buscar los valores en la columna izquierda de \(4{,}0\) y en la fila superior de \(0{,}00\).
Como nota, cabe decir que cuanto más lejos nos encontramos de \(1\) y la desviación estándar es pequeña, significa que nos acercamos al \(100%\).
Distribución normal estándar - Puntos clave
- La distribución normal estándar es un tipo de distribución normal que tiene como características que su media es \(0\) y su desviación típica es igual a \(1\).
- Se puede convertir una distribución normal a una distribución normal estándar tipificando la variable.
- Cuando se tiene una distribución normal tipificada o estándar, la probabilidad acumulada en cierto punto se puede calcular usando una tabla de datos. Para leer la tabla se requiere leer la columna del extremo izquierdo y la del extremo superior. También, debes saber la variable \(z\) que deseas calcular de la tabla, esta variable es la desviación típica.
- La variable nos dice la cantidad de eventos o resultados que caen aproximadamente dentro de cierto valor de la desviación típica. Supongamos que deseas leer cuántos datos caen a un valor de mitad de la desviación típica. En este caso, lo que debes hacer es buscar en la columna extrema izquierda el valor de \(0{,}5\) y, después, buscar en la fila del extremo superior el valor de \(0{,}00\). Donde ambos valores se cruzan, será el valor de la probabilidad hasta ese valor de \(z\).
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