¿Cómo saber si la ocurrencia de un suceso afecta o no a la probabilidad de que ocurra otro suceso? ¿Cómo se resuelven los problemas de probabilidad en función de cómo se afectan mutuamente dos sucesos? En este artículo responderemos a estas preguntas y te mostraremos ejemplos prácticos, para ayudarte a entender la diferencia entre sucesos independientes y dependientes, en probabilidad.
En probabilidad, un suceso es el resultado o conjunto de resultados de un experimento.
Un experimento es un proceso que puede repetirse muchas veces y que produce un conjunto de resultados específicos. El conjunto de todos los resultados posibles se conoce como espacio muestral. Por lo tanto, un suceso también se conoce como un subconjunto del espacio muestral.
Por ejemplo: obtener una cruz al lanzar una moneda es un suceso, y obtener un 4 al lanzar un dado también es un suceso.
Probabilidad de los sucesos
La probabilidad de los sucesos oscila entre 0 y 1, y mide la probabilidad de que se produzca un suceso:
- Si la probabilidad de un suceso es 0 (cero), se considera imposible.
- Si la probabilidad de un suceso es 1, es seguro que se producirá.
- Si la probabilidad de un suceso es 0,5, entonces es tan probable que ocurra como que no ocurra.
- Cualquier suceso con una probabilidad entre 0 y 0,5 se considera poco probable.
- Cualquier suceso con una probabilidad entre 0,5 y 1 se considera probable.
Veamos esto con más claridad, a continuación:
Fig. 1. Probabilidad entre cero y uno.
Las probabilidades pueden expresarse en fracciones, decimales o porcentajes.
Por ejemplo, si un suceso tiene una probabilidad de \(\frac{1}{2}\), es lo mismo que decir 0,5 o 50%.
\[\text{Probabilidad de un suceso}=\dfrac{\text{Número de resultados que cumplen un requisito}}{\text{Número total de resultados posibles}}\]
Si tienes una bolsa con 6 bolas rojas y 4 azules, y sacas una bola de la bolsa, ¿cuál es la probabilidad de que esa bola sea azul?
Solución:
\[P(\text{de que la pelota sea azul})=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}=0,4=40%\]
¿Qué son los sucesos independientes?
Dos sucesos (\(A\) y \(B\)) son independientes si el hecho de que \(A\) haya ocurrido no afecta a la probabilidad de que \(B\) ocurra, y viceversa.
Por ejemplo, al lanzar una moneda dos veces, el resultado del primer suceso no afecta a la probabilidad del segundo. La probabilidad de obtener cara la primera vez es \(\frac{1}{2}\), y la probabilidad de obtener cara la segunda vez también es \(\frac{1}{2}\).
Siguiendo la lógica del ejemplo, el resultado del suceso anterior no afecta al siguiente.
Probabilidad de sucesos independientes
Cuando dos sucesos son independientes, se puede utilizar la siguiente regla de multiplicación:
\[P(A\cap B)=P(A)·P(B)\]
- Donde el símbolo \(\cap\) indica que tratamos con la intersección entre el conjunto \(A\) y el conjunto \(B\); es decir, los eventos que pertenecen a \(A\) y a \(B\) a la vez.
Esta regla puede leerse como que la probabilidad de que \(A\) y \(B\) ocurran juntos es igual a la probabilidad de \(A\) por la probabilidad de \(B\).
Fig. 2: El lanzamiento de dos dados son sucesos independientes. Por tanto, la probabilidad de que en dos dados salga el número uno será la probabilidad de que en uno de los dados salga el 1 por la probabilidad de que en el otro dado también salga el 1.
A continuación hay algunos ejemplos:
Sucesos independientes: ejemplos
Dado que \(P(A)=0,6\), \(P(B)=0,5\) y \(P(A\cap B)=0,4\), demuestre que \(A\) y \(B\) no son sucesos independientes.
Solución:
\(P(A\cap B)=P(A)·P(B)=0,6·0,5=0,3\neq 0,4\)
Por lo tanto, \(A\) y \(B\) no son sucesos independientes.
Los diagramas de árbol son especialmente útiles para representar todos los resultados posibles, cuando hay dos o más sucesos que se suceden. Para crear un diagrama de árbol, dibuja una rama para cada resultado de un suceso; cada rama debe apuntar a su resultado correspondiente e incluir la probabilidad de que se produzca cada resultado.
Tienes una bolsa con \(12\) bolas: \(6\) rosas, \(4\) azules y \(2\) amarillas, y sacas \(2\) bolas de la bolsa, sustituyendo la bola cada vez. ¿Cuál es la probabilidad de elegir una bola azul y una amarilla?
Solución:
Veamos esto, más claramente, en un diagrama de árbol:
Fig. 3: Diagrama de árbol del ejemplo para las pelotas.
El hecho de que la pelota vuelva a meterse en la bolsa cada vez significa que los sucesos son independientes, por lo que podemos utilizar la regla de la multiplicación para hallar la probabilidad de que ambos sucesos ocurran juntos.
Observando el diagrama de árbol, podemos ver que hay dos posibles caminos a seguir:
- Conseguir primero una bola azul y después una amarilla.
- Conseguir primero una bola amarilla y después una azul.
Utilizando la regla de la multiplicación \(P(A\cap B)=P(A)·P(B)\), ambos caminos dan la misma probabilidad \(\frac{8}{144}\).
Como puedes ver en el diagrama de árbol, ahora tienes que sumarlos para calcular la probabilidad de que cualquiera de los resultados sea 1 o 2:
\[P(1 o 2)=\dfrac{8}{144}+\dfrac{8}{144}=\dfrac{16}{144}=\dfrac{1}{9}=0,11111=11,1%\]
La regla de la multiplicación para sucesos independientes puede ampliarse para calcular la probabilidad de que ocurran \(n\) sucesos independientes. Por ejemplo, si tienes 3 sucesos \(A\), \(B\) y \(C\), entonces: \(P(A\cap B\cap C)=P(A)·P(B)·P(C)\).
Hay tres sorteos diferentes, cada uno con un total de 50 números. Si compras 1 boleto para la rifa 1, 5 boletos para la rifa 2 y 10 boletos para la rifa 3. ¿Cuál es la probabilidad de que ganes las tres rifas?
Solución:
A = ganar la rifa 1
B = ganar la rifa 2
C = ganar la rifa 3
Los tres sucesos son independientes, ya que la ocurrencia de cada suceso no afecta a la probabilidad de ninguno de los otros sucesos. Por lo tanto, podemos utilizar la fórmula de la regla de multiplicación expandida de la siguiente manera:
\[P(A\cap B\cap C)=P(A)·P(B)·P(C)\]
\[P(A\cap B\cap C)=\dfrac{1}{50}·\dfrac{2}{50}·\dfrac{10}{50}=0,00016=0,016%\]
La probabilidad de ganar las tres rifas es del \(0,016%\).
¿Qué son los sucesos dependientes?
Dos sucesos (\(A\) y \(B\)) son dependientes si el hecho de que \(A\) haya ocurrido afecta a la probabilidad de que \(B\) ocurra, y viceversa. A esta probabilidad se le llama probabilidad condicionada.
Si eliges dos cartas de una baraja de póker, sin devolver la carta después de elegirla, la probabilidad de obtener un as en el primer suceso es \(\frac{4}{52}\). Sin embargo, la probabilidad de obtener un as en la segunda carta cambiará, en función de lo que haya ocurrido en el primer suceso:
- Si la primera carta era un as, entonces la probabilidad de obtener otro as será \(\frac{3}{51}\); porque ya se ha elegido un as y tenemos una carta menos en la baraja.
- Si la primera carta no era un as, entonces la probabilidad de obtener un as en el segundo suceso es \(\frac{4}{51}\).
Probabilidad de los sucesos dependientes
La regla de multiplicación de los sucesos dependientes es la siguiente:
\[P(A\cap B)=P(A)·P(A|B)\]
Esta regla puede leerse como que la probabilidad de que \(A\) y \(B\) ocurran juntos es igual a la probabilidad de \(A\) por la probabilidad de \(B\), después de que ocurra \(A\). Vamos a hacer unos ejemplos de esto.
Sucesos dependientes ejemplos
Volviendo al ejemplo anterior, la probabilidad de obtener dos ases de una baraja, sin reemplazar cartas es la siguiente:
A= obtener un as en el primer evento
B= obtener un as en el segundo evento
\[P(A\cap B)=P(A)·P(B|A)\]
\[P(A\cap B)=\dfrac{4}{52}·\dfrac{3}{51}=\dfrac{12}{2652}=0,004=0,4%\]
Observa que si sustituyes las cartas, ¡los sucesos se vuelven independientes!
La regla de multiplicación de los sucesos dependientes también puede ampliarse para incluir más de dos sucesos dependientes.
Tres amigos van a la heladería. Pueden elegir entre 12 sabores diferentes. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres amigos pidan un helado de distinto sabor?
Solución:
Si pensamos en el escenario planteado, podemos observar que:
- El primer amigo podrá elegir entre los 12 sabores.
- El segundo amigo podrá elegir entre 11 sabores, de modo que sea diferente a la primera elección.
- Y el tercer amigo podrá elegir entre 10 sabores.
Por lo tanto, la ocurrencia de un evento afecta la probabilidad del siguiente, por lo que los eventos son dependientes.
A = El primer amigo pide un sabor de helado.
B = El segundo amigo pide un sabor de helado diferente al primero.
C = El tercer amigo pide un sabor de helado diferente al del primero y al del segundo.
\[P(A\cap B\cap C)=P(A)·P(B|A)·P(C|A\cap B)\]
\[P(A\cap B\cap C)=\dfrac{12}{12}·\dfrac{11}{12}·\dfrac{10}{12}=\dfrac{1320}{1728}=0,7638=76,38%\]
La probabilidad de que los tres amigos pidan sabores diferentes es del \(76,38%\).
Sucesos dependientes e independientes - Puntos clave
- Un suceso en probabilidad es el resultado o conjunto de resultados que se producen en un experimento.
- La probabilidad de los sucesos oscila entre 0 y 1, y mide la probabilidad de que un suceso ocurra.
- Dos sucesos (\(A\) y \(B\)) son independientes si el hecho de que \(A\) haya ocurrido no afecta a la probabilidad de que \(B\) ocurra, y viceversa.
- Dos sucesos (\(A\) y \(B\)) son dependientes si el hecho de que \(A\) haya ocurrido afecta a la probabilidad de que \(B\) ocurra, y viceversa.
- Las fórmulas de probabilidad para sucesos independientes y dependientes pueden ampliarse para calcular la probabilidad de que ocurran más de dos sucesos.
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