Una distribución binomial es una función de distribución de la probabilidad que se utiliza cuando hay exactamente dos resultados posibles de un ensayo que se excluyen mutuamente.
Los resultados se clasifican como éxito y fracaso, y la distribución binomial se utiliza para obtener la probabilidad de observar \(x\) éxitos en \(n\) ensayos.
Intuitivamente, se deduce que, en el caso de una distribución binomial, la variable aleatoria \(x\) puede definirse como el número de éxitos obtenidos en los ensayos.
Esta distribución es muy importante, ya que aparece en muchos tipos de ensayos y experimentos que pueden ser realizados, donde solo hay dos posibles resultados.
Matemáticas y modelado de la distribución binomial
Se puede modelar la variable aleatoria \(x\), con una distribución binomial \(B(n,p)\), si:
Hay un número fijo de ensayos, \(n\).
Hay dos resultados posibles, como éxito o fracaso, cara o cruz, \(0\) o \(1\).
Hay una probabilidad fija de éxito, \(p\), para todos los ensayos.
Los ensayos son independientes.
Si una variable aleatoria \(x\) tiene la distribución binomial \(B(n,p)\), su función de densidad de probabilidad viene dada por:
\[P(x)=^nC_xp^x(1-p)^{n-x}\]
Hay que tener en cuenta algunas cosas sobre la fórmula anterior:
\(^nC_x=\dfrac{n!}{n(n-x)!}\)
En la fórmula de la distribución binomial anterior, a menudo \(n\) se llama índice y \(p\)se llama parámetro.
El número \(x\) representa el número de eventos con un resultado específico; por ejemplo, que sean un éxito o un fallo.
Fórmula de la distribución binomial
La fórmula anterior se puede resumir en la siguiente expresión:
\[P_{(x)}=\begin{pmatrix} n\\x\end{pmatrix} p^xq^{n-x}\]
donde:
\(n\) es la cantidad de eventos o experimentos.
\(x\) es la cantidad de éxitos o aciertos.
\(p\) es la probabilidad de éxito en una prueba.
\(q\) es la probabilidad de fracaso en una prueba.
Ejercicios sobre la distribución binomial
Veamos un ejemplo de distribución binomial, para aclarar las cosas.
Supongamos que la probabilidad de que a una persona seleccionada al azar le guste el helado de caramelo es de \(0,3\). Seleccionamos \(100\) personas al azar y preguntamos a cada una de ellas si le gusta el helado de caramelo.
Solución
Dibujemos la distribución binomial para el escenario anterior.
En este caso:
\[p=0,3\]
\[n=100\]
El siguiente gráfico muestra la distribución binomial para:
\[X\sim B(100,0,3)\]
Fig. 1. Gráfico de la distribución binomial \(X ~ B (100, 0,3)\).
Ahora, analicemos la distribución binomial anterior con un poco más de profundidad.
- Para cualquier \(r(0 \leq r \leq 100)\), \(P(X=r)\) da la probabilidad de que a exactamente \(r\) personas les guste el helado de caramelo, de \(100\) personas seleccionadas al azar.
- A partir de la distribución dada, podemos ver que el resultado más probable es \(r=30\). La probabilidad de que a \(30\) personas seleccionadas al azar les guste el helado de caramelo es de \(0,087\).
- Los siguientes resultados más probables son \(r=29\), con una probabilidad un poco menor que \(r=30\) y \(r=31\), con una probabilidad un poco menor que \(r=29\). La probabilidad de que a \(16\) de cada \(100\) personas les guste el helado de caramelo es extremadamente pequeña. La probabilidad de que a \(40\) de cada \(100\) personas les guste el helado de caramelo es, también, extremadamente pequeña. (Los valores exactos no son, por supuesto, descifrables a partir del gráfico anterior; pero, son los valores que se utilizaron para trazarlo).
Se lanza un dado justo cinco veces. Construye una distribución binomial para encontrar la probabilidad de obtener la misma cara un número determinado de veces.
Solución:
Aquí podemos definir un éxito como el evento de obtener una cara determinada en el ensayo. La probabilidad de sacar una cara concreta (éxito) es:
\[p=\dfrac{1}{6}\]
Tenemos que construir la función de distribución binomial para:
\[X~B(5, \frac{1}{6})\]
Para este ejemplo, vamos a construir la distribución binomial calculando el valor de \(P(r=x)\), para cada \(r\), aplicando la fórmula de la función de masa de probabilidad.
Comenzamos con: \(r=0\)
\[P(X=0)=^nC_rp^r(1-p)^{n-r}\]
\[P(X=0)=^5C_0\frac{1}{6}(1-\frac{1}{6})^{5-0}\]
\[P(X=0)=\frac{5!}{0!5!}\frac{1^0}{6}(1-\frac{5}{6})^{5}\]
\[P(X=0)=0,4818\]
ahora, \(r=1\)
\[P(X=1)=^nC_rp^r(1-p)^{n-r}\]
\[P(X=1)=^5C_1 \left( \frac{1}{6} \right)^1 \left( 1-\frac{1}{6}\right)^{5-1}\]
\[P(X=1)=\frac{5!}{1!4!} \left( \frac{1}{6} \right)^1 \left( 1-\frac{5}{6}\right)^{4} \]
\[P(X=1)=0,4019\]
Luego, \(r=2\)
\[P(X=2)=^nC_rp^r(1-p)^{n-r}\]
\[P(X=2)=^5C_2 \left( \frac{1}{6} \right)^2 \left( 1-\frac{1}{6}\right)^{5-2}\]
\[P(X=2)=\frac{5!}{2!3!} \left( \frac{1}{6} \right)^2 \left( 1-\frac{5}{6}\right)^{3} \]
\[P(X=2)=0,1608\]
ahora, \(r=3\)
\[P(X=3)=^nC_rp^r(1-p)^{n-r}\]
\[P(X=3)=^5C_3 \left( \frac{1}{6} \right)^3 \left( 1-\frac{1}{6}\right)^{5-3}\]
\[P(X=3)=\frac{5!}{3!2!} \left( \frac{1}{6} \right)^3 \left( 1-\frac{5}{6}\right)^{2} \]
\[P(X=3)=0,0322\]
Luego, \(r=4\)
\[P(X=4)=^nC_rp^r(1-p)^{n-r}\]
\[P(X=4)=^5C_4 \left( \frac{1}{6} \right)^4 \left( 1-\frac{1}{6}\right)^{5-4}\]
\[P(X=4)=\frac{5!}{4!1!} \left( \frac{1}{6} \right)^4 \left( 1-\frac{5}{6}\right)^{1} \]
\[P(X=4)=0,0322\]
Ahora, \(r=5\)
\[P(X=5)=^nC_rp^r(1-p)^{n-r}\]
\[P(X=5)=^5C_5 \left( \frac{1}{6} \right)^5 \left( 1-\frac{1}{6}\right)^{5-5}\]
\[P(X=5)=\frac{5!}{5!0!} \left( \frac{1}{6} \right)^5 \left( 1-\frac{5}{6}\right)^{0} \]
\[P(X=5)=0,0001\]
Como podemos observar, la función de probabilidad no es simétrica, porque la probabilidad de obtener una cara no es 0,5 sino 1/6.
Para la variable aleatoria que presenta una distribución binomial: \(X~B(8; 0,4)\)
Encuentra:
\[P(X=3)\]
\[P(X=0)\]
Solución:
\[P(X=3)=^nC_rp^r(1-p)^{n-r}=^8C_3(0,4)^3(1-(0,4))^{8-3}\]
\[P(X=3)=\dfrac{8!}{3!5!}(0,4)^3(0,6)^5=0,279\]
\[P(X=0)=^nC_rp^r(1-p)^{n-r}=^8C_0(0,4)^0(1-(0,4))^{8-0}\]
\[P(X=0)=\dfrac{8!}{0!8!}(0,4)^0(0,6)^8=0,017\]
La distribución binomial acumulada
Una función de distribución de probabilidad acumulada para una distribución binomial \(X¬B(n,p)\) te da la suma de todas las probabilidades individuales hasta el punto \(x\); inclusive, para el cálculo de \(P(X \leq x)\) . Esto implica que la probabilidad acumulada en un punto \(r\) de una distribución binomial dará la probabilidad de que el número de aciertos sea menor o igual a \(r\).
La fórmula de la función de probabilidad binomial acumulada es:
\[\sum^x _{i=0}= ^nC_i p^i (1-p)^{n-i}\]
Volvamos a un ejemplo anterior, pero esta vez dibujaremos la función de distribución binomial acumulativa.
Supongamos que la probabilidad de que a una persona seleccionada al azar le guste el helado de caramelo es de \(0,3\). Seleccionamos \(100\) personas al azar y preguntamos a cada una de ellas si le gusta el helado de caramelo.
Soluciones:
Dibujemos la función de distribución binomial acumulativa para el escenario anterior.
En este caso:
\[p=0,3\]
\[n=100\]
El siguiente gráfico muestra la distribución binomial acumulada para:
\[X\sim B(100; 0,3)\]
Fig. 2. Distribución binomial acumulada para \(X ~ B (100, 0,3)\).
Analicemos la anterior distribución binomial acumulativa con un poco más de profundidad.
Para cualquier \(r(0 \leq r \leq 100)\), \(P(X=r)\) da la probabilidad de que a un número o menos personas les guste el helado de caramelo, de entre \(100\) personas seleccionadas al azar.
La probabilidad de que a \(20\) o menos personas les guste el helado de caramelo de cada \(100\) es del \(1,65%\).
La probabilidad de que a \(30\) o menos personas les guste el helado de caramelo de \(100\) es del \(54,91%\) .
La probabilidad de que a \(40\) o menos personas les guste el helado de caramelo de cada\(100\)es del \(98.75%\).
(Los valores exactos son, por supuesto, difíciles de descifrar en el gráfico anterior, pero estos son los valores que se utilizaron para trazarlo).
Se lanza una moneda justo cinco veces. Crea una tabla que muestre la distribución binomial acumulativa para hallar la probabilidad de obtener menos o igual que un determinado número de caras.
Solución:
Aquí podemos definir un éxito como el suceso de obtener una cara en el ensayo. Y la probabilidad de éxito es: \(p=0,5\).
Número de caras, \(r\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| \(P(X=r)\) | 0,03125 | 0,15625 | 0,3125 | 0,3125 | 0,15625 | 0,03125 |
Probabilidad acumulada \(P(X \leq r)\) | 0,03125 | 0,1875 | 0,5 | 0,8125 | 0,96875 | 1 |
Por tanto, para hallar la probabilidad de una distribución acumulada, pueden calcularse las probabilidades individuales y luego sumarlas; o también se pueden utilizar tablas de distribución binomial acumulada, en las cuales se recogen los valores para cada valor de \(p\), \(x\) y \(n\).
Distribución binomial - Puntos clave
- Se utiliza una distribución binomial cuando hay exactamente dos resultados posibles de un ensayo que se excluyen mutuamente. Los resultados se clasifican como éxito y fracaso, y la distribución binomial se utiliza para obtener la probabilidad de observar \(x\) éxitos en n ensayos.
- Si una variable aleatoria \(X\) tiene la distribución binomial \(B(n,p)\), su función de masa de probabilidad viene dada por: \(^nC_rp^r(1-p)^{n-r}\)
- Una función de distribución de probabilidad acumulada para una distribución binomial \(X~B(n,p)\) da la suma de todas las probabilidades individuales hasta e, incluyendo el punto \(x\) para el cálculo de \(P(X\leq x)\).
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