Distribución binomial

Veamos un ejemplo de distribución binomial, para aclarar las cosas.

Supongamos que la probabilidad de que a una persona seleccionada al azar le guste el helado de caramelo es de \(0,3\). Seleccionamos \(100\) personas al azar y preguntamos a cada una de ellas si le gusta el helado de caramelo.

Solución

Dibujemos la distribución binomial para el escenario anterior.

En este caso:

\[p=0,3\]

\[n=100\]

El siguiente gráfico muestra la distribución binomial para:

\[X\sim B(100,0,3)\]

Fig. 1. Gráfico de la distribución binomial \(X ~ B (100, 0,3)\).

Ahora, analicemos la distribución binomial anterior con un poco más de profundidad.

• Para cualquier \(r(0 \leq r \leq 100)\), \(P(X=r)\) da la probabilidad de que a exactamente \(r\) personas les guste el helado de caramelo, de \(100\) personas seleccionadas al azar.
• A partir de la distribución dada, podemos ver que el resultado más probable es \(r=30\). La probabilidad de que a \(30\) personas seleccionadas al azar les guste el helado de caramelo es de \(0,087\).
• Los siguientes resultados más probables son \(r=29\), con una probabilidad un poco menor que \(r=30\) y \(r=31\), con una probabilidad un poco menor que \(r=29\). La probabilidad de que a \(16\) de cada \(100\) personas les guste el helado de caramelo es extremadamente pequeña. La probabilidad de que a \(40\) de cada \(100\) personas les guste el helado de caramelo es, también, extremadamente pequeña. (Los valores exactos no son, por supuesto, descifrables a partir del gráfico anterior; pero, son los valores que se utilizaron para trazarlo).

Se lanza un dado justo cinco veces. Construye una distribución binomial para encontrar la probabilidad de obtener la misma cara un número determinado de veces.

Solución:

Aquí podemos definir un éxito como el evento de obtener una cara determinada en el ensayo. La probabilidad de sacar una cara concreta (éxito) es:

\[p=\dfrac{1}{6}\]

Tenemos que construir la función de distribución binomial para:

\[X~B(5, \frac{1}{6})\]

Para este ejemplo, vamos a construir la distribución binomial calculando el valor de \(P(r=x)\), para cada \(r\), aplicando la fórmula de la función de masa de probabilidad.

Comenzamos con: \(r=0\)

\[P(X=0)=^nC_rp^r(1-p)^{n-r}\]

\[P(X=0)=^5C_0\frac{1}{6}(1-\frac{1}{6})^{5-0}\]

\[P(X=0)=\frac{5!}{0!5!}\frac{1^0}{6}(1-\frac{5}{6})^{5}\]

\[P(X=0)=0,4818\]

ahora, \(r=1\)

\[P(X=1)=^nC_rp^r(1-p)^{n-r}\]

\[P(X=1)=^5C_1 \left( \frac{1}{6} \right)^1 \left( 1-\frac{1}{6}\right)^{5-1}\]

\[P(X=1)=\frac{5!}{1!4!} \left( \frac{1}{6} \right)^1 \left( 1-\frac{5}{6}\right)^{4} \]

\[P(X=1)=0,4019\]

Luego, \(r=2\)

\[P(X=2)=^nC_rp^r(1-p)^{n-r}\]

\[P(X=2)=^5C_2 \left( \frac{1}{6} \right)^2 \left( 1-\frac{1}{6}\right)^{5-2}\]

\[P(X=2)=\frac{5!}{2!3!} \left( \frac{1}{6} \right)^2 \left( 1-\frac{5}{6}\right)^{3} \]

\[P(X=2)=0,1608\]

ahora, \(r=3\)

\[P(X=3)=^nC_rp^r(1-p)^{n-r}\]

\[P(X=3)=^5C_3 \left( \frac{1}{6} \right)^3 \left( 1-\frac{1}{6}\right)^{5-3}\]

\[P(X=3)=\frac{5!}{3!2!} \left( \frac{1}{6} \right)^3 \left( 1-\frac{5}{6}\right)^{2} \]

\[P(X=3)=0,0322\]

Luego, \(r=4\)

\[P(X=4)=^nC_rp^r(1-p)^{n-r}\]

\[P(X=4)=^5C_4 \left( \frac{1}{6} \right)^4 \left( 1-\frac{1}{6}\right)^{5-4}\]

\[P(X=4)=\frac{5!}{4!1!} \left( \frac{1}{6} \right)^4 \left( 1-\frac{5}{6}\right)^{1} \]

\[P(X=4)=0,0322\]

Ahora, \(r=5\)

\[P(X=5)=^nC_rp^r(1-p)^{n-r}\]

\[P(X=5)=^5C_5 \left( \frac{1}{6} \right)^5 \left( 1-\frac{1}{6}\right)^{5-5}\]

\[P(X=5)=\frac{5!}{5!0!} \left( \frac{1}{6} \right)^5 \left( 1-\frac{5}{6}\right)^{0} \]

\[P(X=5)=0,0001\]

Como podemos observar, la función de probabilidad no es simétrica, porque la probabilidad de obtener una cara no es 0,5 sino 1/6.

Para la variable aleatoria que presenta una distribución binomial: \(X~B(8; 0,4)\)

Encuentra:

\[P(X=3)\]

\[P(X=0)\]

Solución:

\[P(X=3)=^nC_rp^r(1-p)^{n-r}=^8C_3(0,4)^3(1-(0,4))^{8-3}\]

\[P(X=3)=\dfrac{8!}{3!5!}(0,4)^3(0,6)^5=0,279\]

\[P(X=0)=^nC_rp^r(1-p)^{n-r}=^8C_0(0,4)^0(1-(0,4))^{8-0}\]

\[P(X=0)=\dfrac{8!}{0!8!}(0,4)^0(0,6)^8=0,017\]

Volvamos a un ejemplo anterior, pero esta vez dibujaremos la función de distribución binomial acumulativa.

Supongamos que la probabilidad de que a una persona seleccionada al azar le guste el helado de caramelo es de \(0,3\). Seleccionamos \(100\) personas al azar y preguntamos a cada una de ellas si le gusta el helado de caramelo.

Soluciones:

Dibujemos la función de distribución binomial acumulativa para el escenario anterior.

En este caso:

\[p=0,3\]

\[n=100\]

El siguiente gráfico muestra la distribución binomial acumulada para:

\[X\sim B(100; 0,3)\]

Fig. 2. Distribución binomial acumulada para \(X ~ B (100, 0,3)\).

Analicemos la anterior distribución binomial acumulativa con un poco más de profundidad.

Para cualquier \(r(0 \leq r \leq 100)\), \(P(X=r)\) da la probabilidad de que a un número o menos personas les guste el helado de caramelo, de entre \(100\) personas seleccionadas al azar.

• La probabilidad de que a \(20\) o menos personas les guste el helado de caramelo de cada \(100\) es del \(1,65%\).

• La probabilidad de que a \(30\) o menos personas les guste el helado de caramelo de \(100\) es del \(54,91%\) .

• La probabilidad de que a \(40\) o menos personas les guste el helado de caramelo de cada\(100\)es del \(98.75%\).

(Los valores exactos son, por supuesto, difíciles de descifrar en el gráfico anterior, pero estos son los valores que se utilizaron para trazarlo).

Se lanza una moneda justo cinco veces. Crea una tabla que muestre la distribución binomial acumulativa para hallar la probabilidad de obtener menos o igual que un determinado número de caras.

Solución:

Aquí podemos definir un éxito como el suceso de obtener una cara en el ensayo. Y la probabilidad de éxito es: \(p=0,5\).