Diagrama de árbol

Tomemos un torneo de fútbol, en el que el juego se extiende de forma que las dos únicas posibilidades son ganar o perder. En el primer partido, un equipo tiene un \(60%\) de posibilidades de ganar. Si ganan en el primer partido, las posibilidades de ganar el segundo se extienden al \(80%\); mientras que, si pierden, disminuyen a un \(40%\) las posibilidades de ganar.

Muestra esta información en un diagrama de árbol:

En primer lugar, denotaremos una victoria por \(W\) y una derrota por \(L\). El primer evento es el primer partido.

Paso 1: Hay dos sucesos, por lo que necesitamos dibujar dos líneas.

Paso 2: Denotaremos una de estas líneas con una \(W\) al final y la otra con una \(L\).

Esto se ve así:

Fig. 3: Diagrama de árbol aplicado a un juego de fútbol.

Paso 3: Si hay un \(60%\) de posibilidades de ganar, esto significa que hay un \(40%\) de posibilidades de perder; ya que las dos opciones deben sumar el \(100%\) durante el evento uno, o \(E1\). En términos decimales, esto significa que tenemos \(0,6\) posibilidades de ganar y \(0,4\) de perder.

Ahora, podemos añadir esto al diagrama:

Fig. 4. Diagrama de árbol aplicado a un juego (probabilidades).

Paso 4: Ahora tenemos que repetir este proceso para las siguientes ramas al evento dos, o \(E2\). Como hay, de nuevo, dos resultados en el segundo evento, dibujamos dos ramas de cada rama y las etiquetamos como \(W\) y \(L\), para representar la victoria y la derrota.

Fig. 5. Diagrama de árbol aplicado a un juego.

La probabilidad de ganar después de haber ganado es de \(0{,}8\), por lo que la probabilidad de perder después de haber ganado es de \(0{,}2\). La probabilidad de ganar después de perder es de \(0{,}4\), por lo que la probabilidad de perder el segundo partido consecutivo es de \(0{,}6\).

Ahora, podemos rellenar estas probabilidades en nuestro diagrama de árbol.

Siguiendo con el ejemplo anterior, hallemos la probabilidad de que un equipo gane un partido y pierda otro (en cualquier orden).

Lo primero que vamos a hacer es multiplicar a lo largo de cada rama, para obtener la probabilidad de que se produzca cada resultado. Los resultados de esto se encuentran a continuación:

Fig. 6. Diagrama de árbol aplicado a un juego.

Si queremos una victoria y una derrota (independientemente del orden), entonces el equipo puede perder el primer partido y ganar el segundo, o ganar el primero y perder el segundo. Eso significa que tenemos que sumar \(P(W,L)\) y \(P(L,W)\), lo que nos da:

\[0,12+0,16=0,28\]

Tengo diez bolas en una bolsa: cinco son verdes, tres amarillas y dos azules. Saco una bola de la bolsa y no la vuelvo a meter. A continuación, saco otra bola:

1. Dibuja un diagrama de árbol para representar esta situación.
2. Halla la probabilidad de sacar dos bolas de distinto color.
3. ¿Cuál es la probabilidad de elegir dos bolas que no sean amarillas?

a) Primero, encontremos la probabilidad de cada bola en la primera extracción de bolas: para el verde tenemos \(\frac{5}{10}\), para el amarillo tenemos \(\frac{3}{10}\) y para el azul tenemos \(\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\).

Podemos representar esta información en un diagrama de árbol, donde utilizamos \(B\) para representar el azul, \(Y\) para el amarillo y \(G\) para el verde.

Fig. 7: Diagrama de árbol aplicado a un juego de pelotas.

• Cuando hemos sacado una bola verde, nos quedan nueve bolas en total: cuatro verdes, tres amarillas y dos azules, por lo que la probabilidad de elegir el verde es \(\frac{4}{9}\), elegir el amarillo tiene probabilidad \(\frac{3}{9}\) y el azul tiene probabilidad \(\frac{2}{9}\).

• Cuando hemos sacado una bola amarilla, nos quedan nueve bolas en total: cinco verdes, dos amarillas y dos azules, por lo que la probabilidad de elegir el verde es \(\frac{5}{9}\), elegir el amarillo tiene probabilidad \(\frac{2}{9}\) y el azul tiene probabilidad \(\frac{2}{9}\).

• Cuando hemos sacado una bola azul, nos quedan nueve bolas en total: cinco verdes, tres amarillas y una azul, por lo que la probabilidad de elegir el verde es \(\frac{5}{9}\), elegir el amarillo tiene probabilidad \(\frac{3}{9}\) y el azul tiene probabilidad \(\frac{1}{9}\).

Esto se muestra en el diagrama de árbol de abajo:

Fig. 8. Diagrama de árbol aplicado a un juego de pelotas.

Ahora, multiplicaremos por las ramas para obtener las probabilidades de cada posibilidad:

Fig. 9. Diagrama de árbol aplicado a un juego de pelotas.

b) Para dos bolas de distinto color, tenemos que sumar las distintas ramas. Esto nos da:

\[P(B,Y)+P(Y,B)+P(G,B)+P(Y,G)+P(G,Y)\]

\[P(Total)=\dfrac{15}{90}+\dfrac{10}{90}+\dfrac{15}{90}+\dfrac{6}{90}+\dfrac{10}{90}=\dfrac{62}{90}=\dfrac{31}{45}\]

c) Para dos bolas, ninguna de ellas amarilla, volvemos a sumar las ramas. Obtenemos:

\[P(G,G)+P(B,B)+P(G,B)+P(B,G)\]

\[P(Total)=\dfrac{20}{90}+\dfrac{2}{90}+\dfrac{10}{90}+\dfrac{10}{90}=\dfrac{42}{90}=\dfrac{7}{15}\]

A continuación, se muestra un diagrama de árbol.

Rellena los huecos y luego úsalo para encontrar la probabilidad de dos \(R\) y una \(B\), y la probabilidad de obtener la misma letra tres veces.

Fig. 10. Diagrama de árbol, ejercicios.

En cada par de ramas correspondientes, la probabilidad debe sumar uno. Cuando hay \(0{,}7\) en una rama, la rama correspondiente debe estar marcada por \(0{,}3\). Lo mismo ocurre con \(0{,}4\) con \(0{,}6; 0{,}2\) con \(0{,}8\) y \(0{,}1\) con \(0{,}9\).

Completando estos datos, obtenemos el resultado siguiente. Una vez hecho esto, podemos multiplicar a lo largo de cada rama para mostrar la probabilidad de esa rama.

Esto también se muestra en el diagrama de abajo:

Fig. 11. Diagrama de árbol, ejercicios.

Para obtener dos \(R\) y una \(B\), podemos ir a \(RRB\), \(RBR\) o \(BRR\); por lo que tenemos que sumar estas probabilidades:

\[P(RRB)+P(RBR)+P(BRR)=0{,}224+0{,}294+0{,}036=0{,}554\]

Para obtener la misma letra tres veces, podemos tener \(BBB\) o \(RRR\). La suma de las probabilidades da como resultado:

\[0{,}056+0{,}021=0{,}077\]

Podemos ver el resto de los cálculos en la siguiente imagen:

Fig, 12. Diagrama de árbol, ejercicios.