Los diagramas de árbol son una forma de calcular la probabilidad de múltiples sucesos. Estos sucesos pueden ser independientes o dependientes y, en el diagrama, tenemos que ser capaces de enumerar todos los posibles resultados de cada suceso.
Por ejemplo, podríamos hacer que lloviera un lunes o que no lloviera un lunes. Otra posibilidad sería lanzar una moneda y obtener cara o cruz.
En este artículo aprenderemos sobre la probabilidad en los diagramas de árbol.
Después estudiaremos los sucesos y los espacios muestrales.
A continuación, mostraremos un ejemplo de diagrama de árbol y veremos cómo se dibujan.
Luego veremos un caso de aplicación de un diagrama de árbol.
Por último, realizaremos algunos ejercicios de problemas con diagramas de árbol.
Probabilidad: diagramas de árbol
Los diagramas de árbol están relacionados muy de cerca con la probabilidad.
Supongamos que hay un evento \(X\) y este evento tiene tres posibles resultados. En este caso, el resultado es representado por una línea que se divide en tres ramificaciones; cada ramificación corresponde con un resultado específico. Esto lo podemos ver en la imagen siguiente:
Fig. 1. Diagrama de un evento x con tres posibles resultados.
Sin embargo, hay que pensar si el evento pasa dos veces, una u otra, y hay dos resultados posibles: a o b. En este caso, podrías querer saber el resultado final de los dos eventos, el cual podría ser \(aa\), \(bb\), \(ab\) o \(ba\). Esto también se puede representar en un árbol de probabilidades. Para esto se usa un concepto llamado sucesos y otro llamado espacio muestral.
Sucesos y espacio muestral
Si recuerdas el ejemplo anterior, tienes un evento \(X\), que puede tener dos resultados: \(a\) o \(b\). Este evento es el resultado de un experimento aleatorio. En este caso, los resultados tienen un nombre específico:
El espacio muestral es cualquier valor que existe en los posibles resultados de un experimento.
En este caso, si tus posibilidades son \(a\) o \(b\), el espacio muestral es \(a\) o \(b\), ya que no puedes tener otro valor como resultado. Un ejemplo clásico es cuando se lanza una moneda: solo puede caer cara o cruz, cualquier otro resultado es imposible.
SI recuerdas, el evento \(X\) se repite dos veces y su resultado puede ser \(a\) o \(b\), de tal modo que en el primer resultado podría pasar:
Que sea \(a\).
Que sea \(b\).
Pero después, si se tira por segunda vez, podría pasar:
Esto sería:
Si expandimos esto, tenemos:
Primer evento: \(a\); segundo evento: \(a\).
Primer evento: \(a\); segundo evento: \(b\).
Primer evento: \(b\); segundo evento: \(a\).
Primer evento: \(b\); segundo evento: \(b\).
A los resultados de cada evento se les puede llamar sucesos.
A los subgrupos de un espacio muestral, que son el resultado de un experimento aleatorio, se les llama sucesos. Los sucesos pueden ser elementales o compuestos.
- Un suceso elemental es el que está relacionado con un solo resultado, mientras un suceso compuesto relaciona más de un resultado.
Si el espacio muestral de nuestro experimento es \(aa\), \(bb\), \(ab\) o \(ba\), una porción de él (como \(aa\)) es un suceso; en este caso, es un suceso compuesto, ya que para que sea \(aa\) debe ocurrir que primero obtengamos \(a\) y después volvamos a obtener \(a\). En cambio, si tomamos solo el primer experimento y tomamos el posible resultado \(b\), este es un suceso elemental, ya que no hay otro resultado necesario para que se efectúe esta combinación.
Ejemplo de un diagrama de árbol
El diagrama recibe su nombre de las ramas que representan las posibilidades de un evento, donde una división muestra varias posibilidades. A continuación, podemos ver un ejemplo de diagrama de árbol; muestra las posibilidades cuando lanzamos una moneda justo dos veces. La cara se indica con \(H\) y la cruz con \(T\).
Esto es lo mismo que el ejemplo de un evento \(X\), con dos repeticiones sucesivas y posibles resultados \(a\) y \(b\).
Fig. 2. Imagen de un diagrama de árbol aplicado a lanzar una moneda.
Podría suceder que caiga de tal modo que la moneda esté en vertical, lo que se llama parada; pero, este suceso puede ser llamado un suceso altamente improbable (o imposible en el mejor caso), se denota normalmente con el símbolo \(\phi\) y es parte de un conjunto llamado vacío.
¿Cómo se dibujan los diagramas de árbol?
Para dibujar un diagrama de árbol, podemos seguir un método establecido:
Observar el primer suceso y ver cuántas posibilidades distintas podrían darse. A continuación, dibujaremos ese número de líneas con un grado de separación constante.
Etiquetar cada posibilidad al final de la línea. Suele ser útil abreviar cada opción para ahorrar espacio; por ejemplo, \(A\)=Amarillo.
Etiquetamos cada rama con una probabilidad, asegurándonos de que la probabilidad esté en forma decimal o de fracción.
Repetimos los pasos 1 a 3 para tantos eventos como haya, empezando cada vez por el final de cada rama.
Aplicación de un diagrama de árbol
Apliquemos el diagrama de árbol para un ejemplo común y sencillo de la vida real y, después, usemos probabilidad para calcular las posibilidades de cada suceso.
Tomemos un torneo de fútbol, en el que el juego se extiende de forma que las dos únicas posibilidades son ganar o perder. En el primer partido, un equipo tiene un \(60%\) de posibilidades de ganar. Si ganan en el primer partido, las posibilidades de ganar el segundo se extienden al \(80%\); mientras que, si pierden, disminuyen a un \(40%\) las posibilidades de ganar.
Muestra esta información en un diagrama de árbol:
En primer lugar, denotaremos una victoria por \(W\) y una derrota por \(L\). El primer evento es el primer partido.
Paso 1: Hay dos sucesos, por lo que necesitamos dibujar dos líneas.
Paso 2: Denotaremos una de estas líneas con una \(W\) al final y la otra con una \(L\).
Esto se ve así:
Fig. 3: Diagrama de árbol aplicado a un juego de fútbol.
Paso 3: Si hay un \(60%\) de posibilidades de ganar, esto significa que hay un \(40%\) de posibilidades de perder; ya que las dos opciones deben sumar el \(100%\) durante el evento uno, o \(E1\). En términos decimales, esto significa que tenemos \(0,6\) posibilidades de ganar y \(0,4\) de perder.
Si necesitas refrescar este tipo de procedimientos, repasa tus conocimientos sobre la conversión de decimales y porcentajes.
Ahora, podemos añadir esto al diagrama:
Fig. 4. Diagrama de árbol aplicado a un juego (probabilidades).
Paso 4: Ahora tenemos que repetir este proceso para las siguientes ramas al evento dos, o \(E2\). Como hay, de nuevo, dos resultados en el segundo evento, dibujamos dos ramas de cada rama y las etiquetamos como \(W\) y \(L\), para representar la victoria y la derrota.
Fig. 5. Diagrama de árbol aplicado a un juego.
La probabilidad de ganar después de haber ganado es de \(0{,}8\), por lo que la probabilidad de perder después de haber ganado es de \(0{,}2\). La probabilidad de ganar después de perder es de \(0{,}4\), por lo que la probabilidad de perder el segundo partido consecutivo es de \(0{,}6\).
Ahora, podemos rellenar estas probabilidades en nuestro diagrama de árbol.
Para hallar la probabilidad de que se produzca un determinado conjunto de resultados, multiplicamos a través de las ramas que representan los resultados y, si es necesario, sumamos las probabilidades de estas ramas largas.
Siguiendo con el ejemplo anterior, hallemos la probabilidad de que un equipo gane un partido y pierda otro (en cualquier orden).
Lo primero que vamos a hacer es multiplicar a lo largo de cada rama, para obtener la probabilidad de que se produzca cada resultado. Los resultados de esto se encuentran a continuación:
Fig. 6. Diagrama de árbol aplicado a un juego.
Si queremos una victoria y una derrota (independientemente del orden), entonces el equipo puede perder el primer partido y ganar el segundo, o ganar el primero y perder el segundo. Eso significa que tenemos que sumar \(P(W,L)\) y \(P(L,W)\), lo que nos da:
\[0,12+0,16=0,28\]
Ejercicios de problemas con diagramas de árbol
Tengo diez bolas en una bolsa: cinco son verdes, tres amarillas y dos azules. Saco una bola de la bolsa y no la vuelvo a meter. A continuación, saco otra bola:
- Dibuja un diagrama de árbol para representar esta situación.
- Halla la probabilidad de sacar dos bolas de distinto color.
- ¿Cuál es la probabilidad de elegir dos bolas que no sean amarillas?
a) Primero, encontremos la probabilidad de cada bola en la primera extracción de bolas: para el verde tenemos \(\frac{5}{10}\), para el amarillo tenemos \(\frac{3}{10}\) y para el azul tenemos \(\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\).
Podemos representar esta información en un diagrama de árbol, donde utilizamos \(B\) para representar el azul, \(Y\) para el amarillo y \(G\) para el verde.
Fig. 7: Diagrama de árbol aplicado a un juego de pelotas.
- Cuando hemos sacado una bola verde, nos quedan nueve bolas en total: cuatro verdes, tres amarillas y dos azules, por lo que la probabilidad de elegir el verde es \(\frac{4}{9}\), elegir el amarillo tiene probabilidad \(\frac{3}{9}\) y el azul tiene probabilidad \(\frac{2}{9}\).
- Cuando hemos sacado una bola amarilla, nos quedan nueve bolas en total: cinco verdes, dos amarillas y dos azules, por lo que la probabilidad de elegir el verde es \(\frac{5}{9}\), elegir el amarillo tiene probabilidad \(\frac{2}{9}\) y el azul tiene probabilidad \(\frac{2}{9}\).
- Cuando hemos sacado una bola azul, nos quedan nueve bolas en total: cinco verdes, tres amarillas y una azul, por lo que la probabilidad de elegir el verde es \(\frac{5}{9}\), elegir el amarillo tiene probabilidad \(\frac{3}{9}\) y el azul tiene probabilidad \(\frac{1}{9}\).
Esto se muestra en el diagrama de árbol de abajo:
Fig. 8. Diagrama de árbol aplicado a un juego de pelotas.
Ahora, multiplicaremos por las ramas para obtener las probabilidades de cada posibilidad:
Fig. 9. Diagrama de árbol aplicado a un juego de pelotas.
b) Para dos bolas de distinto color, tenemos que sumar las distintas ramas. Esto nos da:
\[P(B,Y)+P(Y,B)+P(G,B)+P(Y,G)+P(G,Y)\]
\[P(Total)=\dfrac{15}{90}+\dfrac{10}{90}+\dfrac{15}{90}+\dfrac{6}{90}+\dfrac{10}{90}=\dfrac{62}{90}=\dfrac{31}{45}\]
c) Para dos bolas, ninguna de ellas amarilla, volvemos a sumar las ramas. Obtenemos:
\[P(G,G)+P(B,B)+P(G,B)+P(B,G)\]
\[P(Total)=\dfrac{20}{90}+\dfrac{2}{90}+\dfrac{10}{90}+\dfrac{10}{90}=\dfrac{42}{90}=\dfrac{7}{15}\]
A continuación, se muestra un diagrama de árbol.
Rellena los huecos y luego úsalo para encontrar la probabilidad de dos \(R\) y una \(B\), y la probabilidad de obtener la misma letra tres veces.
Fig. 10. Diagrama de árbol, ejercicios.
En cada par de ramas correspondientes, la probabilidad debe sumar uno. Cuando hay \(0{,}7\) en una rama, la rama correspondiente debe estar marcada por \(0{,}3\). Lo mismo ocurre con \(0{,}4\) con \(0{,}6; 0{,}2\) con \(0{,}8\) y \(0{,}1\) con \(0{,}9\).
Completando estos datos, obtenemos el resultado siguiente. Una vez hecho esto, podemos multiplicar a lo largo de cada rama para mostrar la probabilidad de esa rama.
Esto también se muestra en el diagrama de abajo:
Fig. 11. Diagrama de árbol, ejercicios.
Para obtener dos \(R\) y una \(B\), podemos ir a \(RRB\), \(RBR\) o \(BRR\); por lo que tenemos que sumar estas probabilidades:
\[P(RRB)+P(RBR)+P(BRR)=0{,}224+0{,}294+0{,}036=0{,}554\]
Para obtener la misma letra tres veces, podemos tener \(BBB\) o \(RRR\). La suma de las probabilidades da como resultado:
\[0{,}056+0{,}021=0{,}077\]
Podemos ver el resto de los cálculos en la siguiente imagen:
Fig, 12. Diagrama de árbol, ejercicios.
Diagrama de árbol - Puntos clave
- Un diagrama de árbol es una forma de encontrar las probabilidades de sucesos consecutivos.
- Para hallar la probabilidad de que se produzcan dos sucesos, hay que multiplicar a lo largo de las ramas del árbol la probabilidad de que esto ocurra.
- La probabilidad de cada rama se muestra al final.
- Es de suma importancia etiquetar las ramas con claridad.
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