Antes de empezar a explicar el Teorema de Bayes, te recomendamos leer nuestros artículos sobre el teorema de la probabilidad total y los eventos dependientes e independientes, pues son la base para comprender mejor el teorema de Bayes.
Este teorema fue redactado por el matemático británico Thomas Bayes (1702-1761) y se dio a conocer en su publicación póstuma Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances (1764). Bayes fue socio de la Royal Society y a partir de su obra se desarrolló lo que se conoce como inferencia bayesiana, rama de la estadística en la que se utilizan observaciones para inferir la probabilidad de que un teorema (o hipóstesis) sea cierto.
- En este resumen aprenderemos qué es el teorema de Bayes.
- También revisaremos la fórmula del teorema de Bayes y las probabilidades a priori y a posteriori.
- Finalmente, estudiaremos algunos ejemplos del teorema de Bayes.
¿Qué es el teorema de Bayes?
El teorema de Bayes es un método simple para calcular las probabilidades de los sucesos de una partición.
Dada una partición \(A_1, A_2,...\) del espacio muestral, y dado un suceso cualquiera \(B\), el teorema de Bayes expone:
\[P(A_j|B)=\dfrac{P(A_j\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A_j)·P(B|A_j)}{P(A_1)·P(B|A_1)+P(A_2)·P(B|A_2)+....+P(A_k)P(B|A_k)}\]
Vamos a explicar como Thomas Bayes llegó a este resultado. En primer lugar, recordemos brevemente el teorema de la probabilidad total: un espacio muestral \(E\) puede dividirse en particiones \(A_1,A_2,...,A_k\), cuya unión suma el espacio muestral y las probabilidades de cada una de estas particiones es distinta de cero.
Un ejemplo de un espacio muestral y las particiones es el suceso de lanzar un dado con cada una de sus caras: \(E=\{1,2,3,4,5,6\}\).
Podemos dividir este espacio muestral, por ejemplo, en dos particiones: una que sean los sucesos de obtener una cara par \(A_1=\{2,4,6\}\) y otra que sean los sucesos de obtener una cara impar \(A_2=\{1,3,5\}\). Como puedes ver, la unión de las dos particiones da el espacio muestral completo \(A_1\cup A_2=E\).
Dado, entonces, un espacio muestral que puede dividirse en particiones, si \(B\) es un suceso dentro de este espacio muestral, se verifica que: \[P(B)=P(A_1)·P(B|A_1)+P(A_2)·(P(B|A_2)+...+P(A_k)·P(B|A_k)\]
Este es el teorema de la probabilidad total: la probabilidad de un suceso \(B\) en el espacio muestral \(E\) es la suma de la probabilidad de ese suceso en cada una de las particiones.
En una heladería venden helados en tarrina y en cono, siendo la cantidad tarrinas un 60% del total. Cada forma de helado viene en dos sabores: fresa y vainilla. Hay un 20% de tarrinas de fresa y el resto de tarrinas son de vainilla. En los conos, la mitad son de fresa y la otra mitad de vainilla. Si una persona llega a la tienda y coge un helado al azar, calcula la probabilidad de que coja un helado de fresa (ya sea tarrina o cono).
Solución:
Vamos a asignar probabilidades a cada caso:
- Los tipos de helados son dos: tarrina \(T\) y cono \(C\).
- La probabilidad de coger una tarrina es \(P(T)=0{,}6\) y un cono \(P(C)=0{,}4\).
- Ahora, la probabilidad de coger una tarrina de fresa es \(P(F|T)=0{,}2\), una tarrina de vainilla es \(P(V|T)=0{,}8\), un cono de fresa es \(P(F|C)=0{,}5\) y un cono de vainilla es \(P(V|C)=0{,}5\).
Entonces:
- La probabilidad de coger un helado (cono o tarrina) de fresa será:
\[P(F)=P(T)·P(F|T)+P(C)·P(F|C)=0{,}6·0{,}2+0{,}4·0{,}5=0{,}32\]
- Asimismo, La probabilidad de coger un helado cualquiera y que sea de fresa es del \(32\%\).
Teorema de Bayes: fórmula
El teorema de Bayes se apoya en el teorema de la probabilidad total; pero, en este caso, lo que ya sabemos es que el suceso \(B\) se ha producido.
Por ejemplo, sabemos que en la producción de un peluche que se hace en dos colores: rojo \(R\) y verde \(V\). El rojo representa un 70% del total de la producción; además el 5% de los peluches rojos son y el 3% de los peluches verdes son defectuosos. El equipo de calidad coge un peluche y determina que es defectuoso \(D\), pero no nos dice de qué color es.
La pregunta sería ¿qué probabilidad hay de este peluche defectuoso sea de color rojo?
Respuesta:
Por la probabilidad condicionada, sabemos que:
\[P(D)·P(R|D)=P(R)·P(D|R)\]
Esto quiere decir que la probabilidad de que sea defectuoso multiplicada por la probabilidad de que sea rojo, después de ver que es defectuoso, es igual a la probabilidad de ser rojo multiplicada por la probabilidad de ser defectuoso, después de saber que es rojo.
El término \(P(D)\), que es la probabilidad de ser defectuoso, se calcula a través del teorema de la probabilidad total. Nosotros queremos saber la probabilidad de que sea rojo, después de ver que es defectuoso, así que despejamos este término:
\[P(R|D)=\dfrac{P(R)·P(D|R)}{P(D)}=\dfrac{0{,}7·0{,}05 {0{,}05·0{,}7+0{,}03·0{,}3}=0{,}795=79{,}5\%\]
En este ejemplo, hemos aplicado (sin saberlo) el teorema de Bayes. Esto es porque ya sabemos que se ha producido uno de los sucesos; en este caso, que el peluche es defectuoso.
La fórmula del teorema de Bayes es, entonces:
\[P(A_j|B)=\dfrac{P(A_j\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A_j)·P(B|A_j)}{P(A_1)·P(B|A_1)+P(A_2)·P(B|A_2)+....+P(A_k)P(B|A_k)}\]
Probabilidad a priori
Se llama iniciales o a priori a las probabilidades \(P(A_j)\) de los sucesos que forman las particiones del espacio muestral.
En el ejemplo anterior, las probabilidades a priori serían las probabilidades de que el peluche sea rojo o verde, es decir: \(P(R)\) y \(P(V)\).
Probabilidad a posteriori
Se llaman probabilidades finales o a posteriori a las probabilidades \(P(A_j|B)\); es decir, las probabilidades de un suceso cuando ya se conoce que ha ocurrido.
En el ejemplo anterior, la probabilidad a posteriori sería la que queríamos calcular: la probabilidad de que el peluche, que ya sabíamos que era defectuoso, fuera de color rojo.
Verosimilitud
Se denominan verosimilitudes a las probabilidades \(P(B|A_j)\); es decir, las probabilidades de un suceso condicionado por otro.
En el ejemplo anterior, la verosimilitud sería la probabilidad de que el peluche sea defectuoso después de ya saber que es rojo.
Teorema de Bayes: ejemplos
Para que practiques, vamos a resolver un par de ejemplos sobre el teorema de Bayes.
En una piscifactoría hay un tipo de especie pez que puede tener tres colores distintos. Los peces de color verde representan el 20% del total, los de color azul el 50% y el resto son de color rojo. Dentro de cada tipo de color hay peces macho y peces hembra. La proporción de machos verdes es del 60% frente a las hembras verdes. La proporción de hembras azules es del 85% frente a los machos azules. Hay la misma proporción de hembras rojas que de machos verdes. Si pescamos un pez y vemos que es macho, ¿qué probabilidad hay de que sea verde?
Solución:
En primer lugar asignamos probabilidades:
- Probabilidad peces verdes: \(P(V)=0{,}2\).
- Probabilidad peces azules: \(P(A)=0{,}5\).
- Probabilidad peces rojos: \(P(R)=0{,}3\).
- Probabilidad macho de color verde: \(P(M|V)=0{,}6\).
- Probabilidad hembra de color verde: \(P(H|V)=0{,}4\).
- Probabilidad macho de color azul: \(P(M|A)=0{,}15\).
- Probabilidad hembra de color azul: \(P(H|A)=0{,}85\).
- Probabilidad macho de color rojo: \(P(M|R)=0{,}5\).
- Probabilidad hembra de color rojo: \(P(H|R)=0{,}5\).
Sabemos que hemos cogido un macho, así que vamos a calcular la probabilidad total de elegir un macho:
\[\begin{align}\,P(M)&=P(V)·P(M|V)+P(A)·P(M|A)+P(R)·P(M|R)=\\\\&=0{,}2·0{,}6+0{,}5·0{,}15+0{,}3·0{,}5=0{,}345\end{align}\]
Queremos calcular la probabilidad de que el pez que hemos cogido sea verde, condicionado con que ya sabemos que es macho \(P(V|M)\).
Aplicando el teorema de Bayes, llegamos a:
\[P(V|M)=\dfrac{P(V)·P(M|V)}{P(M)}=\dfrac{0{,}2·0{,}6}{0{,}345}=0{,}348=34{,}8%\]
Por tanto, hay un \(34{,}8\%\) de probabilidades de que al coger un macho, este sea verde.
En una investigación farmacológica se está estudiando la incidencia de una enfermedad en la población. Por datos demográficos se sabe que el 20% de la población son niños, un 30% son personas jóvenes y el resto son adultos. Se ha visto que la incidencia de la enfermedad en niños es del 2%, en jóvenes es del 8% y en adultos es del 15%. Se elige un informe médico al azar, ¿qué probabilidad hay de que sea de una persona enferma? y ¿qué probabilidad hay de que el enfermo sea un joven?
Solución:
Como siempre, comenzamos asignando probabilidades:
- Probabilidad de ser niño: \(P(N)=0{,}2\).
- Probabilidad de ser joven: \(P(J)=0{,}3\).
- Probabilidad de ser adulto: \(P(A)=0{,}5\).
- Probabilidad de ser niño y padecer la enfermedad: \(P(E|N)=0{,}02\).
- Probabilidad de ser niño y no padecer la enfermedad: \(P(\bar{E}|N)=0{,}98\).
- Probabilidad de ser joven y padecer la enfermedad: \(P(E|J)=0{,}08\).
- Probabilidad de ser joven y no padecer la enfermedad: \(P(\bar{E}|J)=0{,}92\).
- Probabilidad de ser adulto y padecer la enfermedad: \(P(E|A)=0{,}15\).
- Probabilidad de ser adulto y no padecer la enfermedad: \(P(\bar{E}|A)=0{,}85\).
En primer lugar, lo que nos están pidiendo es la probabilidad de que la persona elegida tenga la enfermedad.
Esto es la probabilidad total de estar enfermo:
\[\begin{align}\,P(E)&=P(N)·P(E|N)+P(J)·P(E|J)+P(A)·P(E|A)=\\\\&=0{,}2·0{,}02+0{,}3·0{,}08+0{,}5·0{,}15=0{,}103\end{align}\]
Por tanto, hay una probabilidad del \(10{,}3\%\) de que el informe médico sea de una persona enferma.
En segundo lugar, nos preguntan por la probabilidad de que ese informe médico que sabemos que es de una persona enferma, además, sea una persona joven.
Esto lo podemos calcular aplicando el teorema de Bayes:
\[P(J|E)=\dfrac{P(J)·P(E|J)}{P(E)}=\dfrac{0{,}3·0{,}08}{0{,}103}=0{,}233\]
La probabilidad de que el informe médico elegido sea de un joven enfermo es del \(23{,}3\%\).
Teorema de Bayes - Puntos clave
- El teorema de Bayes es un método muy útil para calcular probabilidades de una partición, una vez que se conozca un suceso concreto ya ha ocurrido.
- La fórmula del teorema de Bayes es: \[P(A_j|B)=\dfrac{P(A_j\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A_j)·P(B|A_j)}{P(A_1)·P(B|A_1)+P(A_2)·P(B|A_2)+....+P(A_k)P(B|A_k)}\]
- Se llaman probabilidades iniciales o probabilidades a priori a las probabilidades \(P(A_j)\) de los sucesos que forman las particiones del espacio muestral.
- Se llaman probabilidades finales o probabilidades a posteriori a las probabilidades \(P(A_j|B)\); es decir, las probabilidades de un suceso cuando ya se conoce que ha ocurrido.
- Se denominan verosimilitudes a las probabilidades \(P(B|A_j)\); es decir, las probabilidades de un suceso condicionado por otro.
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