Supongamos que tienes un grupo \(M\), con varios subgrupos (\(A\), \(B\) y \(C\)) y objetos en estos grupos que pertenecen a otros grupos (\(a\), \(b\) y \(c\)). Por supuesto, no todos los objetos en \(A\) pertenecen a \(a\), algunos pertenecen a \(b\) u \(c\). Lo mismo ocurre con los demás grupos.
En este caso, ¿qué tal si escoges un objeto al azar, sin saber si es de \(A\), \(B\) o \(C\)? Además, una vez que lo eliges quieres saber cuál es la probabilidad de que este objeto —de un grupo que no conoces hasta que lo escoges— pertenezca a otro grupo \(a\), \(b\) o \(c\).
Suena algo difícil, ¿no es cierto? En primer lugar, no sabes si escoges \(A\), \(B\) o \(C\) y, además, cada objeto en ellos tiene ciertas probabilidades de ser parte de \(a\), \(b\) o \(c\):
\[\text{decisión} \rightarrow \text{escoger} \rightarrow M\]
En cierto modo, tienes una combinación de probabilidades de escoger \(A\), \(B\) o \(C\); además, como cada uno pertenece en diferentes proporciones a otros grupos, también existe la otra probabilidad de que cuando escojas, por ejemplo \(A\), este sea parte de \(a\).
En los problemas donde tienes esta clase de encadenamiento existe una herramienta muy útil: las tablas de contingencia. En este artículo te hablaremos de ellas.
- En primer lugar veremos qué es una tabla de contingencia.
- Aprenderemos cómo construir una tabla de contingencia para mostrar probabilidades. Además, veremos cómo se calcula el gran total.
- Después, calcularemos frecuencias marginales y relativas.
- También veremos la frecuencia relativa conjunta y la asociación entre variables.
- Por último, revisaremos la prueba de chi cuadrado.
¿Qué es una tabla de contingencia?
En una tabla de contingencia se organizan los datos de grupos que están relacionados entre sí. Este tipo de tabla nos permite organizar fácilmente la información, para obtener las probabilidades de que al escoger un objeto \(x\), este pertenezca a alguno de los grupos pertinentes.
Tablas de contingencia: probabilidad
Las tablas de contingencia muestran, por tanto, las distintas probabilidades que tienen cada elemento de una manera organizada.
Veamos un ejemplo.
1. Se tiene un objeto \(x\), cuya cantidad es \(n\): este puede tener un valor de \(A\) o \(B\); además, puede tener las propiedades \(a\) y \(b\). Desarrolla su tabla de contingencia.
Solución:
De acuerdo a nuestros datos, esto significa que hay cuatro posibilidades:
\[x=(A,a)\]
\[x=(A,b)\]
\[x=(B,a)\]
\[x=(B,b)\]
- Cada vez que escogemos un objeto de \(x\), este puede ser parte de \(A\) y \(a\), parte de \(B\) y \(a\), parte de \(B\) y \(a\) o parte de \(B\) y \(b\).
Si has leído nuestros artículos de probabilidades, esto seguramente te recordará las operaciones con sucesos. Aquí, un suceso \(A\) se une contro suceso \(a\) —por ejemplo— para darte un resultado que es \(A,a\) o la unión de dos sucesos.
2. Ahora, organizaremos una tabla. Esta tendrá, en la primera columna y primera fila, las propiedades que puede tener el objeto \(x\). Entonces, escogemos que las propiedades \(A\) y \(B\) vayan en la primera fila y las propiedades \(a\) y \(b\) vayan en la primera columna.
| \(A\) | \(B\) | Totales |
\(a\) | | | |
\(b\) | | | |
totales | | | |
Tabla 1: Categorías que pueden obtener la variable \(x\).
3. En la tabla llenaremos los datos que nos dicen qué cantidad de objetos pertenecen a cada grupo; por ejemplo, el número de objetos que pertenecen a \(A\) y \(a\) van donde se interceptan ambos valores:
| \(A\) | \(B\) | Totales |
\(a\) | \(n(A, a)\) | | |
\(b\) | | | |
totales | | | |
Tabla 2: Categorías que pueden obtener la variable \(x\), en este caso, la combinación de \(A\) y \(a\).
4. Como paso siguiente, llenamos la tabla con los valores para cada unión de grupos:
| \(A\) | \(B\) | Totales |
\(a\) | \(n(A, a)\) | \(n(B, a)\) | \(n_t(A+B, a)\) |
\(b\) | \(n(A, b)\) | \(n(B, b)\) | \(n_t(A+B, b)\) |
totales | \(n_t(A, a+b)\) | \(n_t(B, a+b)\) | \(n_t(x)\) |
Tabla 3: Categorías que pueden obtener la variable \(x\).
5. Ya que tenemos todos los números, cada vez que queramos obtener las probabilidades de que un objeto que escogemos al azar tenga una combinación de propiedades, debemos hacer siguiente:
Se quiere saber si al escoger un objeto \(x\) este tiene las propiedades \(A\) y \(a\).
Se quiere saber la probabilidad de escoger un objeto \(x\) que pertenezca solo a un grupo \(B\) y tenga las propiedades de \(b\).
Ahora, que ya has seguido el ejemplo, podemos avanzar. Veamos los conceptos principales relacionados con la elaboración de una tabla de contingencia:
Gran total
Cuando se tiene un objeto o variable aleatoria que puede obtener los valores \(a\), \(b\) o \(c\) y esta variable se mide \(n\) veces, la suma de todos los resultados es el gran total.
Por ejemplo, si se mide \(x=a\) veinte veces y \(x=b\) diez veces, el gran total será treinta.
Por lo tanto,
El gran total es el número total de experimentos, mediciones o datos en una la muestra.
En el caso de la tabla de nuestra contingencia, el gran total está en la esquina inferior derecha:
| \(A\) | \(B\) | Totales |
\(a\) | | | |
\(b\) | | | |
totales | | | \(nt(x)\) |
Tabla 4: el gran total es la suma de todos los eventos o mediciones y va en la esquina inferior derecha de la tabla.
\[nt(x)=\text{gran total}\]
Los totales de las variables \(A\), \(B\), \(a\), \(b\) divididos entre el gran total te darán la probabilidad de obtener un objeto o medición con un valor determinado.
Por ejemplo \(\frac{nt(B, a-b)}{nt(x)}\) es la probabilidad de obtener una medición u objeto que pertenezca al grupo \(B\); esto, independientemente de su otro valor \((a, b)\).
Frecuencias marginales y relativas
Las frecuencias nos dicen cómo de frecuente es cierto valor en el total de los datos recabados, o mediciones hechas.
Frecuencias relativa marginales
La frecuencia relativa marginal es la frecuencia de que la variable pertenezca a cierto grupo que no sea la combinación de ningún grupo.
Por ejemplo, la población total que tiene características \(A\) sería una frecuencia total.
Entonces, si quieres averiguar la probabilidad de este valor en la población, debes dividir la frecuencia total de \(A\) entre el gran total:
\[FT(A)=\dfrac{nt(A, a-b)}{nt(x)}\]
Frecuencia relativa conjunta
La frecuencia relativa conujnta se refiere a la frecuencia de que la variable \(x\) obtenga dos valores específicos; es, de hecho, una intersección.
Por ejemplo, la frecuencia de que la variable \(x\) tenga el valor de \(A\) y pertenezca al grupo \(a\) es:
\[FRC(x)=\dfrac{n(A, a)}{nt(x)}\]
Asociación entre variables
En cierto sentido, lo que miden las frecuencias relativas es la asociación entre dos grupos; dos resultados cuyos valores se intersectan en un grupo \(x\).
Prueba de chi cuadrado
Cuando se tienen datos y probabilidades, una manera de intentar observar si los cambios en los datos se dan por azar, o debido a algún fenómeno que los afecte, es usar la prueba chi cuadrada. Esta prueba, por su contenido, está fuera del nivel usual de bachillerato; pero, te podemos explicar lo básico sobre esta, para que comprendas mejor el tema:
La prueba chi cuadrada nos permite comprobar si las observaciones en los datos obtenidos son los mismos que los calculados. Es decir: si se hace un experimento y se espera que los resultados caigan en ciertas categorías, se puede saber si estos resultados caen en las categorías o proporción esperada.
También, esta pa prueba nos permite saber si los cambios o resultados son causados por azar, o si hay una relación entre las variables que afecta estos resultados obtenidos y explica la diferencia con los resultados esperados.
Tablas de contingencia - Puntos clave
Una tabla de contingencia es una tabla en la que se organizan los datos de grupos que están relacionados entre sí.
La tabla nos permite calcular más fácilmente las frecuencias relativas entre variables categóricas.
La frecuencia relativa conjunta es el valor total de la frecuencia de que cierta variable aleatoria \(x\) tome un valor \(a\), independientemente de si este pertenece a otros dos conjuntos dentro de los resultados obtenidos. En este sentido, es una suma de los sucesos.
La frecuencia relativa marginal es el valor total de la frecuencia de que cierta variable aleatoria \(x\) tome valores que forman parte de dos conjuntos \(a\) y \(b\). En este sentido, es la intersección de los sucesos.
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