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Distribución normal matematicas

Distribución normal matematicas

¿Te has preguntado qué pasa si representas las alturas de los alumnos de un colegio? ¿Tendría alguna forma definida?

Bueno, la respuesta es sí; y lo más probable es que tenga una forma parecida a una campana, como la que sigue:

Distribución normal normal campana StudySmarterFig. 1: Gráfica de una distribución normal.

Aquí, el eje de las \(x\) son las alturas de los alumnos y \(N\) son el número de los alumnos con esas alturas. Pero, si pensamos que tomamos una muestra \(m\) de la población general de los alumnos \(m_n\) y esta (por supuesto) es menor que la población total \(m_n<m_t\), el número \(N\) representaría la probabilidad de que encuentres esa altura \(P(x)\). La curva en este caso es una curva de probabilidad continua y es conocida como la curva de la distribución normal.

Función de densidad de la distribución normal

Debido a que la función describe una campana, esta curva puede definirse por una función que, en este caso sería:

\[f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]

A esta función se le conoce como la función de densidad de probabilidad, porque nos dice el valor de la probabilidad de que un variable aleatoria \(x\) tenga un valor \(y\).

Si lo que se requiere es la probabilidad de que una variable \(x\) obtengan un valor entre \([a, b]\), lo que se tiene es una integral:

\[P(x)=\int^b_a \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\]

En este caso lo que se obtiene es el área bajo la curva entre los dos puntos:

Distribución normal area StudySmarterFig. 2: El área entre los valores de a y b es la probabilidad de obtener un valor entre a y b.

Parámetros de la distribución normal

Debido a que, cualquier distribución normal sigue la fórmula:

\[f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]

y que \(x\) es una variable general solo hay dos parámetros que definen las diferencias entre cada curva:

  • La media \(\mu\).

  • La desviación estándar \(\sigma\).

La desviación estándar

La desviación estándar es la medida que nos dice cómo de dispersos son los datos.

En general, debido a esto:

  • A mayor dispersión, los datos están más separados entre sí y la curva se hace más plana.

  • A menor dispersión, la curva se hace más pequeña y los datos se juntan más entre sí.

La fórmula para obtener la desviación estándar, usando la función de densidad, es:

\[\sigma^2 = \int^{\infty}_{\infty} (x-\mu)^2 f(x)dx\]

Aquí \(f(x)\) es la función de densidad.

La media

Te mencionamos que los datos se apilan o dispersan más, pero no solo entre ellos. En una distribución normal, los datos se apilan alrededor de de la media \(\mu\).

La media en una distribución normal es:

  • El dato que más se repite.

  • Es la misma que la moda y la mediana.

La media es el máximo de la curva; en este caso, la probabilidad de la media \(P(\mu)\) es mayor que la probabilidad de cualquier otro punto.

La media se puede calcular usando la función de densidad como: \[\mu = \int^{\infty}_{\infty} x f(x)dx\]

Probabilidades fuera del rango de la distribución

Habrás visto que definimos la función de la distribución normal en el rango \([a,b]\). Esto significa que la probabilidad fuera de ese rango es cero, por lo que podemos aplicar que la función esté definida de \([-\infty, \infty]\).

Debido a esto, podemos decir que cualquier distribución de probabilidad normal puede definirse usando las fórmulas que te hemos dado.

Distribución normal estándar

Hay una clase especial de distribución: la distribución estándar; también conocida como la distribución \(z\).

Una distribución de este tipo tiene las siguientes características:

  • La media es igual a cero \(\mu=0\).

  • Es simétrica con respecto al origen.

  • Los límites de la distribución se pueden definir como \([-a, a]\).

Una imagen de la distribución normal estándar es la siguiente:

Distribución normal estandar StudymarterFig. 3: Distribución de probabilidad estándar, o de tipo z, con media igual a cero.

Las ventajas de esta distribución son:

  • Que al calcular la probabilidad de un punto \(x=b\), se obtiene la probabilidad de un punto \(-b\).

  • Si la distribución entre los extremos y la media representa el \(50%\) de las probabilidades, entonces en el cálculo de la probabilidad:

    • El cálculo entre la media \(\mu\) y \(b<a\) es igual a la probabilidad acumulada en el rango \([-a, b]\).

    • El cálculo de la probabilidad entre un punto \(b<\mu\) y \(\mu\) es igual a la probabilidad acumulada en el rango \([-a, b]\); esto, si se resta la probabilidad obtenida entre \([b,\mu]\) y el \(50%\).

Propiedades de la desviación estándar de una distribución normal

Recuerda que la desviación estándar \(\sigma\) es una medida que indica cómo de dispersos están los datos en una muestra.

Hay tres puntos importantes con respecto a la desviación estándar:

  • Entre la media y una desviación estándar \([-\sigma^2, \sigma^2]\) se encuentra casi el 66% de la población.

  • Entre la media y dos desviaciones estándar \([-2\sigma^2, 2\sigma^2]\) se encuentra casi el 95% de la población.

  • Entre la media y dos desviaciones estándar \([-3\sigma^2, 3\sigma^2]\) se encuentra más del 99% de la población.

Otra medida de dispersión es la varianza, esta es igual a la raíz cuadrada de la desviación estándar:

\[ \text{Var}=\sqrt{\sigma}\]

Si se tiene una desviación estándar grande, la curva sería la siguiente:

Distribución normal dispersión alta StudySmarterFig. 4: Distribución normal con una alta dispersión.

Si se tiene una desviación estándar pequeña, la curva sería la siguiente.

Fig. 5: Distribución normal baja dispersión StudySmarterFig. 5: Distribución normal con baja dispersión.

Distribución normal - Puntos clave

  • La distribución normal sigue la fórmula: \[\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]
  • Debido a que \(x\) es una variable general, en realidad hay solo dos parámetros que definen las diferencias entre cada curva:
    • La media \(\mu\).
    • La desviación estándar \(\sigma\).
  • Hay una clase especial de distribución; esta es la distribución estándar, también conocida como la distribución \(z\). Sus características son:
    • La media es igual a cero \(\mu=0\).
    • Es simétrica con respecto al origen.
    • Los límites de la distribución se pueden definir como \([-a, a]\).

Preguntas frecuentes sobre Distribución normal matematicas

  • Su media es de μ=0.
  • Su desviacion estandar es σ=1.
  • El 68% de los datos caen dentro de una desviación estándar de la media, lo que hace que la probabilidad sea probable.

La distribución normal estándar es un tipo de distribución normal en la que las medidas centrales y desviación estándar, que son parte de la estadística descriptiva, cumplen ciertos requisitos.

  • Su media es de μ=0.
  • Su desviación estándar es σ=1.

Para estandarizar una distribución normal, debes usar al formula: z=(x-μ)/σ.

Las ventajas de que una distribución de datos sea normal son que:

  • Es simétrica.
  • La media, la moda y la mediana son el mismo punto.
  • El punto con mayor probabilidad es la media.
  • Casi el 66% de la población vive entre la media y la desviación estándar.
  • Casi el 95% de la población vive entre la media y la desviación estándar.
  • Casi el 99% de la población vive entre la media y la desviación estándar.


Cuestionario final de Distribución normal matematicas

Pregunta

¿Cuál es la distribución normal?


Mostrar respuesta

Answer

La distribución normal es una distribución de probabilidad continua, que puede presentarse en un gráfico donde el eje de las y representa el número de eventos y \(x\) el valor de los eventos.


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Pregunta

¿Qué forma tiene la distribución normal?




Mostrar respuesta

Answer

Campana.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el valor de la media en la distribución normal?

Mostrar respuesta

Answer

\(0\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es el valor de la desviación estándar para la distribución normal?

Mostrar respuesta

Answer

\(σ\).

Show question

Pregunta

Calcula la media de la siguiente lista de datos: \(\{1{,}2, 4{,}5, 2{,}3, 5{,}6, 7\}\).

Mostrar respuesta

Answer

\(4{,}12\).

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Pregunta

Calcula la media de la siguiente lista de datos, si estos representan la altura de los alumnos de una clase: dos personas de un metro cincuenta, \(3\) tres personas de un metro con setenta, una persona de un metro con veinte, una persona de un metro con cincuenta y seis, dos personas con un metro con setenta y cuatro.

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Answer

\(1.57\).

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Pregunta

La desviación estándar se usa como una media de confianza. ¿Verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero.

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Pregunta

Al menos el \(90\%\) de la población de una distribución normal vive en un espacio que va desde \(-\sigma\) a \(\sigma\). ¿Verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Falso.

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Pregunta

¿Cuál es la fórmula para convertir una distribución normal a una normal estándar?

Mostrar respuesta

Answer

\( z=\dfrac{x-μ}{σ}\) .

Show question

Pregunta

¿Cuál es el valor de \(z\) en una distribución tipificada, si se desea buscar en una población cuyo valor \(x\) es mayor que \(1.7 m\), con una con una media típica de \(1.6 m\) y una desviación estándar de \(10 cm\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(1\).

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Pregunta


¿Se debe usar una tabla cuando se trabaja en una distribución normal tipificada?



Mostrar respuesta

Answer

Sí.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el valor de \(z\) en una distribución tipificada, si se desea buscar en una población cuyo valor \(x\) es mayor que \(1{,}87\text{ m}\), con una con una media típica de \(1{,}5\text{ m}\) y una desviación estándar de \(3 \text{ cm}\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(12{,}33\).

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Pregunta

¿Se puede convertir una distribución normal a una distribución tipificada?


Mostrar respuesta

Answer

Sí, para ello requieres saber la media y la desviación estándar.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la fórmula para el intervalo de confianza?

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Answer

\(IC=m+z \dfrac{σ}{√n}\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es la fórmula para el intervalo de confianza para una muestra de \(200\) personas, con una media de \(1.65 m\), una desviación estándar de \(3 cm\) y un dato \(z\) de \(1.8 m\).



Mostrar respuesta

Answer

\(1.65\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es la fórmula de una distribución normal?

Mostrar respuesta

Answer

\(f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\).

Show question

Pregunta

Se tiene una distribución normal de tipo \(z\) y se calcula la probabilidad de un punto \(a\) de \(p(a)=10%\). ¿Cuál es la probabilidad de \(-a\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(10\%\).

Show question

Pregunta

Se tiene una distribución normal de tipo \(z\) y se calcula que la probabilidad entre un punto \(b\) y la media \(\mu\), donde \(b<\mu\), es del \(30%\). ¿Cuál es la probabilidad entre el comienzo de la distribución \(-a\) y \(b\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(20\%\).

Show question

Pregunta

Se tiene una distribución normal de tipo \(z\) y se calcula que la probabilidad entre un punto \(b\) y la media \(\mu\), donde \(b>\mu\), es del \(20\%\). ¿Cuál es la probabilidad entre el comienzo de la distribución \(-a\) y \(b\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(70\%\).

Show question

Pregunta

Una distribución normal de tipo de \(z\) es, también, llamada:

Mostrar respuesta

Answer

Estandarizada.

Show question

Pregunta

¿Cuáles son los símbolos de la media y la desviación estándar?

Mostrar respuesta

Answer

\[\sigma^2, \mu\].

Show question

Pregunta

¿Cuál es la fórmula de la varisanza en términos de la desviación estándar?

Mostrar respuesta

Answer

\[Var=\sqrt{\sigma^2}\].

Show question

Pregunta

Si una distribución normal estándar tiene una desviación estándar de \(\sigma^2=24\), ¿cuál es la varianza de esta distribución?

Mostrar respuesta

Answer

\[\sqrt{24}\].

Show question

Pregunta

A mayor dispersión, los datos están más separados entre sí y la curva se hace más______:

Mostrar respuesta

Answer

plana.

Show question

Pregunta

A menor dispersión, los datos están menos separados entre sí y la curva se hace más ______.

Mostrar respuesta

Answer

chata.

Show question

Pregunta

En una distribución normal la media y la moda son el mismo valor: ¿verdadero o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el dato que se refiere al máximo en una distribución normal?


Mostrar respuesta

Answer

La media.

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