Iniciar sesión Empieza a estudiar
La app de estudio todo en uno
4.8 • +11 mil reviews
Más de 3 millones de descargas
Free
|
|

Triángulo de Pascal

Triángulo de Pascal

Veamos el triángulo de Pascal, cómo construir uno y su relevancia en las expansiones binomiales.

¿Qué es el triángulo de Pascal o Tartaglia?

El triángulo de Pascal es un triángulo que contiene coeficientes binomiales. La parte superior del triángulo comienza con el único número \(1\) y, a medida que bajamos por el triángulo, cada fila aumenta en un número.

El triángulo es también conocido como triángulo de Tartaglia, debido al matemático italiano Nicolo Fontana Tartaglia. Asimismo, se ha conocido por muchas generaciones antes de ellos, tiene diversos nombres en persa, chino, alemán e hindú.

Coeficientes binomiales

Los coeficientes binomiales son relevantes en el contexto de las expansiones binomiales. La fórmula general para una expansión binomial es:

\[(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix} x^{n-k}y^k= \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix} x^ky^{n-k}\]

En este caso, los coeficientes binomiales son los términos constantes que se escriben así:

\[\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\]

Estos coeficientes se pueden encontrar utilizando esta fórmula:

\[\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\]

O utilizando el Triángulo de Pascal:

Triángulo de Pascal coeficientes StudySmarterFig. 1: Coeficientes del triangulo de pascal.

El diagrama anterior muestra sólo las 8 primeras filas del Triángulo de Pascal, pero se puede continuar hasta el infinito. Cada fila corresponde a un número para \(n\), siendo la primera fila para cuando el binomio está elevado a una potencia \(n=0\).

Construcción del triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal tiene un patrón específico que facilita su construcción, en lugar de recordarlo de memoria. Como habrás observado en el diagrama anterior, cada fila empieza y termina con 1 y el número de elementos de cada fila aumenta en 1 cada vez. El número de elementos \(m\) de cada fila viene dado por \(m = n + 1\). Así, la séptima fila \((n = 6)\) tiene 7 elementos \((1, 6, 15, 20, 15, 6, 1)\). Un elemento se puede encontrar sumando los dos elementos que están por encima de él.

Por ejemplo, para la tercera fila \(n = 2\), el \(2\) se obtiene sumando \(1 + 1\) de la fila superior:

Triángulo de Pascal suma coeficientes StudySmarterFig 2: Coeficientes del triangulo de pascal.

Para la cuarta fila \(n = 3\), los dos \(3\) provienen de sumar \(1 + 2\) de la fila de arriba:

Triángulo de Pascal suma coeficientes StudySmarterFig 3: Coeficientes del triangulo de pascal.

En la cuarta fila \(n = 3\) sumamos \(1 + 3\) para obtener \(4\):

Triángulo de Pascal suma coeficientes StudySmarterFig 4: Coeficientes del triangulo de pascal.

Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta llegar a la fila que necesitamos.

Suma de las filas del triángulo de Pascal

En cada fila, el número que se obtiene sumando todos los elementos de la fila viene dado por \(2^n\) .

Por ejemplo, para la fila \(3 (n = 2)\), la suma de los elementos es \(1 + 2 + 1 = 4\) o \(2^2 = 4\).

Esto es útil para ayudarnos a calcular la suma de los elementos para filas muy grandes, sin tener que construir el triángulo de Pascal:

Por ejemplo, sabemos que para la fila \(20 (n = 19)\), la suma sería \(2^{19}=524288\).

La sucesión de Fibonacci en el triángulo de Pascal

La serie de Fibonacci se puede encontrar en el triángulo de Pascal sumando números en diagonal:

Triángulo de Pascal Fibonacci coeficientes StudySmarterFig 5: Serie de Fibonacci al sumar los coeficientes del triangulo de Pascal.

Realización de la expansión binomial mediante el triángulo de Pascal

Como se ha mencionado anteriormente, el triángulo de Pascal es una forma útil de determinar los coeficientes del binomio en una expansión binomial. Con esto, se puede trabajar desde expresiones básicas al cuadrado hasta largos polinomios a exponentes mayores, como a la quinta.

Triangulo de Pascal: ejemplos

Veamos cómo realizar la expansión de la siguiente expresión: \((3x+1)^5\)

En primer lugar, tenemos que determinar \(n\), que es el exponente. Así que, en este caso: \(n=5\). Esto nos dice que tendremos que construir el triángulo de Pascal hasta la fila 6, donde \(n=5\).

Utilizando el método descrito anteriormente, obtenemos:

Triángulo de Pascal desarrolló StudySmarter Fig 6: Desarrollo de un binomio a la potencia 5.

Esto significa que usaremos los coeficientes binomiales \(1, 5, 10, 10, 5\) y \(1\).

Introduciendo esto en la fórmula binomial, obtenemos:\[(3x+1)^5=1(3x)^5(1)^0+5(3x)^4(1)^1+10(3x)^3(1)^2+10(3x)^2(1)^3+5(3x)^1(1)^4+1(3x)^0(1)^5\]

\[(3x+1)^5=(3x)^5+5(3x)^4+10(3x)^3+10(3x)^2+5(3x)^1+1\]

Que se puede simplificar a:

\[(3x+1)^5=243x^5+405x^4+270x^3+90x^2+15x+1\]

Triángulo de Pascal propiedades

Podemos definir ciertas propiedades del triángulo de Pascal, ya que hemos hecho algunos ejemplos y visto cómo funciona.

  • El triángulo de Pascal es simétrico.

  • Los miembros inferiores son el resultado de la suma de los dos números encima de él.

  • Todos los números que se encuentran al borde del triángulo son iguales a uno.

  • Cada fila representa los distintos coeficientes binomiales expandidos.

  • La segunda diagonal del triángulo se corresponde con los números naturales.

Triángulo de Pascal - Puntos clave

  • El triángulo de Pascal se puede construir para ayudarnos a encontrar los coeficientes binomiales.
  • Comienza en la fila \(1\), con \(n=0\) y un solo elemento, \(1\).
  • En cada fila, el número de elementos aumenta en 1 y viene dado por \(m=n+1\), donde \(m\) es el número de elementos.
  • Cada fila tiene un \(1\) en ambos extremos y los valores medios se encuentran sumando los números anteriores.
  • La suma de cada fila es igual a \(2^n\).
  • La secuencia de Fibonacci se puede encontrar sumando los elementos en diagonal.
  • Podemos utilizar el Triángulo de Pascal para encontrar los coeficientes binomiales y resolver expansiones binomiales de la forma \((x+y)^n\).

Preguntas frecuentes sobre Triángulo de Pascal

No existe un inventor del triángulo de Pascal propiamente, pues este triángulo ya era conocido por chinos griegos e hindúes; sin embargo, fue Blaise Pascal el que introdujo su notación y desarrolló aplicaciones a las matemáticas con este objeto.

En cada fila hay una cantidad de números igual a la suma del exponente “n” más uno. Por esto, cuando hay un binomio al cuadrado, se obtienen tres términos.

Se deben multiplicar los términos a y b entre sí, por el coeficiente del triángulo; excepto, si este coeficiente está en la diagonal, pues en este caso solo se debe elevar a o b a la potencia n. Los términos se deben elevar a la potencia n hasta n=1, conforme se mueve de la parte externa del triángulo a la parte interna del mismo.

El triángulo de Pascal tiene un patrón específico que facilita su construcción, en lugar de recordarlo de memoria: 

  • Como habrás observado en el diagrama anterior, cada fila empieza y termina con 1 y el número de elementos de cada fila aumenta en 1 cada vez. 
  • El número de elementos (m) de cada fila viene dado por m = n + 1. 
  • Así, la séptima fila (n = 6) tiene 7 elementos (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1). 
  • Un elemento se puede encontrar sumando los dos elementos que están por encima de él.

Cuestionario final de Triángulo de Pascal

Pregunta

¿Qué es el triángulo de Pascal?

Mostrar respuesta

Answer

El triángulo de Pascal es un triángulo que contiene coeficientes binomiales.

Show question

Pregunta

¿Con qué otro nombre se conoce al triángulo de Pascal?

Mostrar respuesta

Answer

El triángulo es también conocido como triángulo de Tartaglia, debido al matemático italiano Nicolo Fontana Tartaglia.

Show question

Pregunta

La siguiente expresión \((x+y)^n\), ¿de qué expansión forma parte?

Mostrar respuesta

Answer

Binomial.

Show question

Pregunta

En el caso de las expresiones binomiales, ¿a qué es igual el término \((a+b)^2\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(a^2+2ab+b^2\).

Show question

Pregunta

En el triángulo de Pascal, el primer coeficiente es igual a 1. ¿A qué se debe esto?

Mostrar respuesta

Answer

(a+b)^0=1.

Show question

Pregunta

Si tienes el triángulo de Pascal con la expresión \((a+b)^1\), ¿cuál es el resultado de esta expansión?

Mostrar respuesta

Answer

\(a+b\).

Show question

Pregunta

El binomio cuadrado perfecto es un caso del triángulo de Pascal. En este caso, el coeficiente \(n\) en \((a+b)^n\) ¿a qué debe ser igual?

Mostrar respuesta

Answer

2.

Show question

Pregunta

¿Cuál de las siguientes fórmulas es la fórmula de la expansión binomial \((a+b)^n\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(\sum_{k=0}^{n} {\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}} x^{n-k}y^{k}\).

Show question

Pregunta

¿Qué representa el término \({\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix}}\)?

Mostrar respuesta

Answer

Los coeficientes binomiales.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la fórmula para los coeficientes binomiales?

Mostrar respuesta

Answer

\({n!}\over{k!(n-k)!}\).

Show question

Pregunta

Usando la fórmula \({n!}\over{k!(n-k)!}\), obtén los coeficientes para el triángulo de Pascal cuando n=0.

Mostrar respuesta

Answer

1.

Show question

Pregunta

Usando la fórmula \({n!}\over{k!(n-k)!}\), obtén los coeficientes para el triángulo de Pascal cuando n=1.

Mostrar respuesta

Answer

1-1.

Show question

Pregunta

Usando la fórmula \({n!}\over{k!(n-k)!}\), obtén los coeficientes para el triángulo de Pascal cuando n=2.

Mostrar respuesta

Answer

1-2-1.

Show question

Pregunta

Usando la fórmula \({n!}\over{k!(n-k)!}\), obtén los coeficientes para el triángulo de Pascal cuando n=5.

Mostrar respuesta

Answer

1-5-10-10-5-1.

Show question

Pregunta

¿Cuáles de las siguientes son propiedades del triángulo de Pascal?

Mostrar respuesta

Answer

Es simétrico.

Show question

Pregunta

¿Cuál de las siguientes no es una propiedad de triángulo de Pascal?

Mostrar respuesta

Answer

Sus potencias son la suma de las anteriores entre sí.

Show question

60%

de los usuarios no aprueban el cuestionario de Triángulo de Pascal... ¿Lo conseguirás tú?

Empezar cuestionario

Scopri i migliori contenuti per le tue materie

No hay necesidad de copiar si tienes todo lo necesario para triunfar. Todo en una sola app.

Plan de estudios

Siempre preparado y a tiempo con planes de estudio individualizados.

Cuestionarios

Pon a prueba tus conocimientos con cuestionarios entretenidos.

Flashcards

Crea y encuentra fichas de repaso en tiempo récord.

Apuntes

Crea apuntes organizados más rápido que nunca.

Sets de estudio

Todos tus materiales de estudio en un solo lugar.

Documentos

Sube todos los documentos que quieras y guárdalos online.

Análisis de estudio

Identifica cuáles son tus puntos fuertes y débiles a la hora de estudiar.

Objetivos semanales

Fíjate objetivos de estudio y gana puntos al alcanzarlos.

Recordatorios

Deja de procrastinar con nuestros recordatorios de estudio.

Premios

Gana puntos, desbloquea insignias y sube de nivel mientras estudias.

Magic Marker

Cree tarjetas didácticas o flashcards de forma automática.

Formato inteligente

Crea apuntes y resúmenes organizados con nuestras plantillas.

Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.