Veamos el triángulo de Pascal, cómo construir uno y su relevancia en las expansiones binomiales.
¿Qué es el triángulo de Pascal o Tartaglia?
El triángulo de Pascal es un triángulo que contiene coeficientes binomiales. La parte superior del triángulo comienza con el único número \(1\) y, a medida que bajamos por el triángulo, cada fila aumenta en un número.
El triángulo es también conocido como triángulo de Tartaglia, debido al matemático italiano Nicolo Fontana Tartaglia. Asimismo, se ha conocido por muchas generaciones antes de ellos, tiene diversos nombres en persa, chino, alemán e hindú.
Coeficientes binomiales
Los coeficientes binomiales son relevantes en el contexto de las expansiones binomiales. La fórmula general para una expansión binomial es:
\[(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix} x^{n-k}y^k= \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix} x^ky^{n-k}\]
En este caso, los coeficientes binomiales son los términos constantes que se escriben así:
\[\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\]
Estos coeficientes se pueden encontrar utilizando esta fórmula:
\[\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\]
O utilizando el Triángulo de Pascal:
Fig. 1: Coeficientes del triangulo de pascal.
El diagrama anterior muestra sólo las 8 primeras filas del Triángulo de Pascal, pero se puede continuar hasta el infinito. Cada fila corresponde a un número para \(n\), siendo la primera fila para cuando el binomio está elevado a una potencia \(n=0\).
Construcción del triángulo de Pascal
El triángulo de Pascal tiene un patrón específico que facilita su construcción, en lugar de recordarlo de memoria. Como habrás observado en el diagrama anterior, cada fila empieza y termina con 1 y el número de elementos de cada fila aumenta en 1 cada vez. El número de elementos \(m\) de cada fila viene dado por \(m = n + 1\). Así, la séptima fila \((n = 6)\) tiene 7 elementos \((1, 6, 15, 20, 15, 6, 1)\). Un elemento se puede encontrar sumando los dos elementos que están por encima de él.
Por ejemplo, para la tercera fila \(n = 2\), el \(2\) se obtiene sumando \(1 + 1\) de la fila superior:
Fig 2: Coeficientes del triangulo de pascal.
Para la cuarta fila \(n = 3\), los dos \(3\) provienen de sumar \(1 + 2\) de la fila de arriba:
Fig 3: Coeficientes del triangulo de pascal.
En la cuarta fila \(n = 3\) sumamos \(1 + 3\) para obtener \(4\):
Fig 4: Coeficientes del triangulo de pascal.
Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta llegar a la fila que necesitamos.
Suma de las filas del triángulo de Pascal
En cada fila, el número que se obtiene sumando todos los elementos de la fila viene dado por \(2^n\) .
Por ejemplo, para la fila \(3 (n = 2)\), la suma de los elementos es \(1 + 2 + 1 = 4\) o \(2^2 = 4\).
Esto es útil para ayudarnos a calcular la suma de los elementos para filas muy grandes, sin tener que construir el triángulo de Pascal:
Por ejemplo, sabemos que para la fila \(20 (n = 19)\), la suma sería \(2^{19}=524288\).
La sucesión de Fibonacci en el triángulo de Pascal
La serie de Fibonacci se puede encontrar en el triángulo de Pascal sumando números en diagonal:
Fig 5: Serie de Fibonacci al sumar los coeficientes del triangulo de Pascal.
Realización de la expansión binomial mediante el triángulo de Pascal
Como se ha mencionado anteriormente, el triángulo de Pascal es una forma útil de determinar los coeficientes del binomio en una expansión binomial. Con esto, se puede trabajar desde expresiones básicas al cuadrado hasta largos polinomios a exponentes mayores, como a la quinta.
Triangulo de Pascal: ejemplos
Veamos cómo realizar la expansión de la siguiente expresión: \((3x+1)^5\)
En primer lugar, tenemos que determinar \(n\), que es el exponente. Así que, en este caso: \(n=5\). Esto nos dice que tendremos que construir el triángulo de Pascal hasta la fila 6, donde \(n=5\).
Utilizando el método descrito anteriormente, obtenemos:
Fig 6: Desarrollo de un binomio a la potencia 5.
Esto significa que usaremos los coeficientes binomiales \(1, 5, 10, 10, 5\) y \(1\).
Introduciendo esto en la fórmula binomial, obtenemos:\[(3x+1)^5=1(3x)^5(1)^0+5(3x)^4(1)^1+10(3x)^3(1)^2+10(3x)^2(1)^3+5(3x)^1(1)^4+1(3x)^0(1)^5\]
\[(3x+1)^5=(3x)^5+5(3x)^4+10(3x)^3+10(3x)^2+5(3x)^1+1\]
Que se puede simplificar a:
\[(3x+1)^5=243x^5+405x^4+270x^3+90x^2+15x+1\]
Triángulo de Pascal propiedades
Podemos definir ciertas propiedades del triángulo de Pascal, ya que hemos hecho algunos ejemplos y visto cómo funciona.
El triángulo de Pascal es simétrico.
Los miembros inferiores son el resultado de la suma de los dos números encima de él.
Todos los números que se encuentran al borde del triángulo son iguales a uno.
Cada fila representa los distintos coeficientes binomiales expandidos.
La segunda diagonal del triángulo se corresponde con los números naturales.
Triángulo de Pascal - Puntos clave
- El triángulo de Pascal se puede construir para ayudarnos a encontrar los coeficientes binomiales.
- Comienza en la fila \(1\), con \(n=0\) y un solo elemento, \(1\).
- En cada fila, el número de elementos aumenta en 1 y viene dado por \(m=n+1\), donde \(m\) es el número de elementos.
- Cada fila tiene un \(1\) en ambos extremos y los valores medios se encuentran sumando los números anteriores.
- La suma de cada fila es igual a \(2^n\).
- La secuencia de Fibonacci se puede encontrar sumando los elementos en diagonal.
- Podemos utilizar el Triángulo de Pascal para encontrar los coeficientes binomiales y resolver expansiones binomiales de la forma \((x+y)^n\).
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