Triángulo de Pascal

Coeficientes binomiales

Los coeficientes binomiales son relevantes en el contexto de las expansiones binomiales. La fórmula general para una expansión binomial es:

\[(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix} x^{n-k}y^k= \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix} x^ky^{n-k}\]

En este caso, los coeficientes binomiales son los términos constantes que se escriben así:

\[\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\]

Estos coeficientes se pueden encontrar utilizando esta fórmula:

\[\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\]

O utilizando el Triángulo de Pascal:

Fig. 1: Coeficientes del triangulo de pascal.

El diagrama anterior muestra sólo las 8 primeras filas del Triángulo de Pascal, pero se puede continuar hasta el infinito. Cada fila corresponde a un número para \(n\), siendo la primera fila para cuando el binomio está elevado a una potencia \(n=0\).

Construcción del triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal tiene un patrón específico que facilita su construcción, en lugar de recordarlo de memoria. Como habrás observado en el diagrama anterior, cada fila empieza y termina con 1 y el número de elementos de cada fila aumenta en 1 cada vez. El número de elementos \(m\) de cada fila viene dado por \(m = n + 1\). Así, la séptima fila \((n = 6)\) tiene 7 elementos \((1, 6, 15, 20, 15, 6, 1)\). Un elemento se puede encontrar sumando los dos elementos que están por encima de él.

Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta llegar a la fila que necesitamos.

Suma de las filas del triángulo de Pascal

En cada fila, el número que se obtiene sumando todos los elementos de la fila viene dado por \(2^n\) .

Esto es útil para ayudarnos a calcular la suma de los elementos para filas muy grandes, sin tener que construir el triángulo de Pascal:

La sucesión de Fibonacci en el triángulo de Pascal

La serie de Fibonacci se puede encontrar en el triángulo de Pascal sumando números en diagonal:

Fig 5: Serie de Fibonacci al sumar los coeficientes del triangulo de Pascal.

Realización de la expansión binomial mediante el triángulo de Pascal

Como se ha mencionado anteriormente, el triángulo de Pascal es una forma útil de determinar los coeficientes del binomio en una expansión binomial. Con esto, se puede trabajar desde expresiones básicas al cuadrado hasta largos polinomios a exponentes mayores, como a la quinta.

Triangulo de Pascal: ejemplos

Veamos cómo realizar la expansión de la siguiente expresión: \((3x+1)^5\)

En primer lugar, tenemos que determinar \(n\), que es el exponente. Así que, en este caso: \(n=5\). Esto nos dice que tendremos que construir el triángulo de Pascal hasta la fila 6, donde \(n=5\).

Utilizando el método descrito anteriormente, obtenemos:

Fig 6: Desarrollo de un binomio a la potencia 5.

Esto significa que usaremos los coeficientes binomiales \(1, 5, 10, 10, 5\) y \(1\).

Introduciendo esto en la fórmula binomial, obtenemos:\[(3x+1)^5=1(3x)^5(1)^0+5(3x)^4(1)^1+10(3x)^3(1)^2+10(3x)^2(1)^3+5(3x)^1(1)^4+1(3x)^0(1)^5\]

\[(3x+1)^5=(3x)^5+5(3x)^4+10(3x)^3+10(3x)^2+5(3x)^1+1\]

Que se puede simplificar a:

\[(3x+1)^5=243x^5+405x^4+270x^3+90x^2+15x+1\]

Triángulo de Pascal propiedades

Podemos definir ciertas propiedades del triángulo de Pascal, ya que hemos hecho algunos ejemplos y visto cómo funciona.

• El triángulo de Pascal es simétrico.

• Los miembros inferiores son el resultado de la suma de los dos números encima de él.

• Todos los números que se encuentran al borde del triángulo son iguales a uno.

• Cada fila representa los distintos coeficientes binomiales expandidos.

• La segunda diagonal del triángulo se corresponde con los números naturales.