Teoría de la Probabilidad

¿Alguna vez te has preguntado cómo se calcula la probabilidad de ganar la lotería? Y, si te preguntamos cuántas opciones hay para combinar tres sabores en un cono de helado, si en la heladería tienen 10 sabores distintos, ¿sabrías calcularlas? Pues, todo esto es lo que estudia la probabilidad y la combinatoria. En este artículo veremos conceptos como la frecuencia relativa y absoluta —que son muy importantes para llegar al concepto de probabilidad—, junto con otros como los espacios muestrales y los sucesos.

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    Si quieres saber más sobre lo que es un suceso seguro, un suceso incompatible, el espacio muestral de un experimento y muchos más conceptos de probabilidad, consulta nuestro artículo Experimento aleatorio, donde te explicamos todo esto con ejemplos, para que lo entiendas mejor. Además, en el tema de Permutación y combinación encontrarás todo lo necesario sobre permutaciones, con y sin repetición, así como combinaciones y sus diferentes tipos.

    Frecuencia y probabilidad

    La probabilidad se ha definido a partir del concepto de frecuencia relativa. Estos dos conceptos están íntimamente relacionados porque, a partir de la frecuencia relativa, podemos intuir lo que significa la probabilidad. Para definir la frecuencia debemos realizar un experimento \(n\) veces.

    Frecuencia absoluta

    La frecuencia absoluta de un suceso \(A\), escrita como \(f(A)\), es el número de veces que se obtiene el resultado de \(A\).

    Si lanzamos una moneda al aire 10 veces y obtenemos 6 caras, la frecuencia absoluta de obtener cara es 6.

    En estos casos, realmente no importa cuántas veces se haya realizado el experimento, solo cuántas veces se ha obtenido el resultado que estamos contabilizando.

    Frecuencia relativa

    La frecuencia relativa de un suceso \(A\), escrita como \(h(A)\), es el cociente entre la frecuencia absoluta del suceso y el número de veces \(n\) que se ha realizado el experimento. La frecuencia relativa tiene la fórmula:

    \[h(A)=\dfrac{f(A)}{n}\]

    Siguiendo con el ejemplo anterior, la frecuencia relativa de obtener cara sería: \[h(A)=\dfrac{f(A)}{n}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\]

    Propiedades de la frecuencia relativa

    A partir de su definición, podemos observar algunas propiedades de la frecuencia relativa:

    • Como la frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de veces que se realiza el experimento, esto implica que la frecuencia relativa está comprendida entre el \(0\) cuando no se ha obtenido el resultado esperado ninguna de las veces que se ha realizado el experimento y \(1\) cuando se ha obtenido el resultado esperado todas las veces que se ha realizado el experimento—: \[0\leq h(A)\leq 1\]

    • Como ya hemos mencionado: si un suceso se obtiene siempre, su frecuencia relativa es \(f(A)=1\).

    • Si obtener el suceso \(A\) implica que no puede obtenerse el suceso \(B\) es decir, son sucesos incompatibles, sus frecuencias \(h(A\cup B)=h(A)+h(B)\).

    Probabilidad de un suceso

    Con lo que hemos mencionado anteriormente, podemos decir que si realizamos un experimento un número de veces suficientemente grande, veremos cómo la frecuencia de un suceso concreto \(A\) se estabiliza y se mantiene alrededor de un número determinado. Esto es lo que se conoce como regularidad estadística.

    A partir de la regularidad estadística se puede dar la siguiente definición frecuentista de la probabilidad de un suceso.

    La probabilidad de un suceso \(A\) se define como el límite de la frecuencia relativa de ese suceso, cuando el experimento se realiza infinitas veces. Su fórmula es:

    \[P(A)=\lim_{n\to \infty} h(A)\]

    Dicho esto, podemos describir la probabilidad de un suceso como el límite al que tiende la frecuencia relativa cuando el experimento se repite infinitas veces.

    Por ejemplo, si se lanza una moneda al aire y se cuenta cuántas veces sale cara, la frecuencia relativa tiende a \(0{,}5\) cuantas más veces se lanza la moneda. Por tanto, la probabilidad de que salga cara es de \(0{,}5\).

    Definición axiomática de la probabilidad

    Como puedes estar pensando, la definición anterior es realmente complicada de aplicar para la mayoría de experimentos. No es posible reproducir un experimento infinitas veces y, por tanto, la probabilidad no queda determinada de manera exacta. Por esto, se definió la probabilidad a partir de unos axiomas: enunciados que se dan por válidos y que no hace falta demostrar.

    Esto axiomas son:

    • La probabilidad está comprendida en el intervalo \([0,1]\).

    • La probabilidad de un suceso que siempre se cumple, denominado suceso seguro, es \(P(E)=1\).

    • Si los sucesos en un experimento son incompatibles \(A_1,A_2,...,A_n\), entonces podemos definir la probabilidad como: \[P(A_1\cup A_2 \cup ... \cup A_n)=\sum_j^n P(A_j)\]

    Estas propiedades son como las de la frecuencia relativa. Sin embargo, la frecuencia relativa es un resultado experimental, mientras que la probabilidad es un resultado teórico que se conoce antes de realizar el experimento.

    Con esta definición, cualquier función que cumpla estos tres axiomas se considera una función de probabilidad.

    Propiedades de la probabilidad

    Tal como hemos explicado, la probabilidad es una función y, por tanto, tiene unas propiedades que se cumplen. Estas son:

    • La probabilidad del suceso contrario \(\bar{A}\) de un suceso dado \(A\) es \(P(\bar{A})=1-P(A)\). Como estos dos sucesos son incompatibles, podemos aplicar el tercer axioma para demostrar esto: \(P(A\cup \bar{A})=P(A)+P(\bar{A})=1\Rightarrow P(\bar{A})=1-P(A)\).

    • La probabilidad del suceso que nunca se obtiene es decir, el suceso imposible es \(P(\varnothing)=0\).

    • Si el suceso \(B\) es un subconjunto del suceso \(A\) es decir, \(B\) está contenido en \(A\), entonces \(P(B)\leq P(A)\).

    • Cualquier suceso que es un subconjunto del espacio muestral cumple con que \(0\leq P(A)\leq 1\).

    • Si \(A\) y \(B\) son sucesos cualesquiera, entonces: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).

      • Esto significa que la probabilidad de que los dos sucesos ocurran es la suma de las probabilidades de cada suceso menos la probabilidad de la intersección de \(A\) con \(B\). Como la intersección está contenida tanto en la probabilidad de \(A\) como de \(B\) hay que restar esta intersección para que no esté duplicada en la probabilidad final.

    Vamos a ver un ejemplo, para dejar esto más claro.

    Un estudiante que termina su grado universitario tiene una probabilidad de \(0{,}7\) de entrar en el mercado laboral. A su vez, tiene una probabilidad de \(0{,}5\) de entrar a un programa de máster. La probabilidad de que no siga ninguna de las opciones anteriores es de \(0{,}2\). De manera aleatoria, se elige uno de estos estudiantes.

    Calcula la probabilidad de que:

    a) Siga una de las dos opciones.

    b) Haga un máster y a la vez se ponga a trabajar.

    c) Solo haga un máster.

    Solución:

    En primer lugar, definimos los dos sucesos:

    Suceso \(T\): que el estudiante se ponga a trabajar.

    Suceso \(M\): que el estudiante estudie un máster.

    \[P(T)=0{,}7\]

    \[P(M)=0{,}5\]

    \[P(\bar{T}\cap\bar{M})=0{,}2\]

    a) La probabilidad de que siga una de las dos opciones es decir, que trabaje o que entre en un máster será la unión de los dos sucesos:

    \[P(T\cup M)=1-P(\overline{T\cup M})=1-P(\bar{T}\cap\bar{M})=1-0{,}2=0{,}8\]

    b) La probabilidad de que a la vez trabaje y haga un máster es la intersección entre los dos sucesos:

    \[P(T\cap M)=P(T)+P(M)-P(T\cup M)=0{,}7+0{,}5-0{,}8=0{,}4\]

    c) La probabilidad de que solo haga un máster es el suceso \(M-T\):

    \[\begin{align} P(M-T)&=P(M\cap \bar{T})=\\&=P(M)-P(M\cap T)=\\&=P(M)-P(T\cap M)=\\&=0{,}5-0{,}4=0{,}1\end{align}\]

    Teoría de la probabilidad - Puntos clave

    • La frecuencia absoluta de un suceso \(A\), escrita como \(f(A)\), es el número de veces que se obtiene el resultado de \(A\).
    • La frecuencia relativa de un suceso \(A\), escrita como \(h(A)\), es el cociente entre la frecuencia absoluta del suceso y el número de veces \(n\) que se ha realizado el experimento.
    • La frecuencia relativa tiene la fórmula:

      \[h(A)=\dfrac{f(A)}{n}\]

    • La probabilidad de un suceso \(A\) se define como el límite de la frecuencia relativa de ese suceso cuando el experimento se realiza infinitas veces: \[P(A)=\lim_{n\to \infty} h(A)\]

    Preguntas frecuentes sobre Teoría de la Probabilidad

    ¿Qué es la teoría de la probabilidad?

    La teoría de la probabilidad trata sobre la asignación de probabilidades a cada resultado posible. En ella se estudian conceptos como frecuencia absoluta, frecuencia relativa y probabilidad de un suceso, entre muchos otros.

    ¿Qué es el desarrollo axiomático de la probabilidad?

    La probabilidad se definió en función de la frecuencia relativa. Al tomar el límite de la frecuencia relativa, cuando el experimento se repite infinitas veces, se llega a la probabilidad. El problema de esto es que en la práctica es imposible realizar un experimento infinitas veces, por lo que se llegó a la definición axiomática de la probabilidad. Según esta definición, la probabilidad es un valor teórico que se conoce antes de que se realice siquiera el experimento.

    ¿Cuándo se aplica la teoría de la probabilidad?

    La probabilidad es una rama muy amplia que se aplica a muchos campos, como la física, la biología, la economía y muchas otras ciencias.

    ¿Qué es el espacio de sucesos?

    El espacio de sucesos (o espacio muestral) es el conjunto de todos los resultados posibles que pueden surgir al realizar un experimento.

    ¿Qué son los sucesos incompatibles?

    Se dice que dos sucesos son incompatibles cuando no pueden ocurrir a la vez; es decir, cuando la intersección entre ambos es el conjunto vacío.

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