Iniciar sesión Empieza a estudiar
La app de estudio todo en uno
4.8 • +11 mil reviews
Más de 3 millones de descargas
Free
|
|

All-in-one learning app

  • Flashcards
  • NotesNotes
  • ExplanationsExplanations
  • Study Planner
  • Textbook solutions
Start studying

Teoría de la Probabilidad

Teoría de la Probabilidad

¿Alguna vez te has preguntado cómo se calcula la probabilidad de ganar la lotería? Y, si te preguntamos cuántas opciones hay para combinar tres sabores en un cono de helado, si en la heladería tienen 10 sabores distintos, ¿sabrías calcularlas? Pues, todo esto es lo que estudia la probabilidad y la combinatoria. En este artículo veremos conceptos como la frecuencia relativa y absoluta —que son muy importantes para llegar al concepto de probabilidad—, junto con otros como los espacios muestrales y los sucesos.

Si quieres saber más sobre lo que es un suceso seguro, un suceso incompatible, el espacio muestral de un experimento y muchos más conceptos de probabilidad, consulta nuestro artículo Experimento aleatorio, donde te explicamos todo esto con ejemplos, para que lo entiendas mejor. Además, en el tema de Permutación y combinación encontrarás todo lo necesario sobre permutaciones, con y sin repetición, así como combinaciones y sus diferentes tipos.

Frecuencia y probabilidad

La probabilidad se ha definido a partir del concepto de frecuencia relativa. Estos dos conceptos están íntimamente relacionados porque, a partir de la frecuencia relativa, podemos intuir lo que significa la probabilidad. Para definir la frecuencia debemos realizar un experimento \(n\) veces.

Frecuencia absoluta

La frecuencia absoluta de un suceso \(A\), escrita como \(f(A)\), es el número de veces que se obtiene el resultado de \(A\).

Si lanzamos una moneda al aire 10 veces y obtenemos 6 caras, la frecuencia absoluta de obtener cara es 6.

En estos casos, realmente no importa cuántas veces se haya realizado el experimento, solo cuántas veces se ha obtenido el resultado que estamos contabilizando.

Frecuencia relativa

La frecuencia relativa de un suceso \(A\), escrita como \(h(A)\), es el cociente entre la frecuencia absoluta del suceso y el número de veces \(n\) que se ha realizado el experimento. La frecuencia relativa tiene la fórmula:

\[h(A)=\dfrac{f(A)}{n}\]

Siguiendo con el ejemplo anterior, la frecuencia relativa de obtener cara sería: \[h(A)=\dfrac{f(A)}{n}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\]

Propiedades de la frecuencia relativa

A partir de su definición, podemos observar algunas propiedades de la frecuencia relativa:

  • Como la frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de veces que se realiza el experimento, esto implica que la frecuencia relativa está comprendida entre el \(0\) cuando no se ha obtenido el resultado esperado ninguna de las veces que se ha realizado el experimento y \(1\) cuando se ha obtenido el resultado esperado todas las veces que se ha realizado el experimento—: \[0\leq h(A)\leq 1\]

  • Como ya hemos mencionado: si un suceso se obtiene siempre, su frecuencia relativa es \(f(A)=1\).

  • Si obtener el suceso \(A\) implica que no puede obtenerse el suceso \(B\) es decir, son sucesos incompatibles, sus frecuencias \(h(A\cup B)=h(A)+h(B)\).

Probabilidad de un suceso

Con lo que hemos mencionado anteriormente, podemos decir que si realizamos un experimento un número de veces suficientemente grande, veremos cómo la frecuencia de un suceso concreto \(A\) se estabiliza y se mantiene alrededor de un número determinado. Esto es lo que se conoce como regularidad estadística.

A partir de la regularidad estadística se puede dar la siguiente definición frecuentista de la probabilidad de un suceso.

La probabilidad de un suceso \(A\) se define como el límite de la frecuencia relativa de ese suceso, cuando el experimento se realiza infinitas veces. Su fórmula es:

\[P(A)=\lim_{n\to \infty} h(A)\]

Dicho esto, podemos describir la probabilidad de un suceso como el límite al que tiende la frecuencia relativa cuando el experimento se repite infinitas veces.

Por ejemplo, si se lanza una moneda al aire y se cuenta cuántas veces sale cara, la frecuencia relativa tiende a \(0{,}5\) cuantas más veces se lanza la moneda. Por tanto, la probabilidad de que salga cara es de \(0{,}5\).

Definición axiomática de la probabilidad

Como puedes estar pensando, la definición anterior es realmente complicada de aplicar para la mayoría de experimentos. No es posible reproducir un experimento infinitas veces y, por tanto, la probabilidad no queda determinada de manera exacta. Por esto, se definió la probabilidad a partir de unos axiomas: enunciados que se dan por válidos y que no hace falta demostrar.

Esto axiomas son:

  • La probabilidad está comprendida en el intervalo \([0,1]\).

  • La probabilidad de un suceso que siempre se cumple, denominado suceso seguro, es \(P(E)=1\).

  • Si los sucesos en un experimento son incompatibles \(A_1,A_2,...,A_n\), entonces podemos definir la probabilidad como: \[P(A_1\cup A_2 \cup ... \cup A_n)=\sum_j^n P(A_j)\]

Estas propiedades son como las de la frecuencia relativa. Sin embargo, la frecuencia relativa es un resultado experimental, mientras que la probabilidad es un resultado teórico que se conoce antes de realizar el experimento.

Con esta definición, cualquier función que cumpla estos tres axiomas se considera una función de probabilidad.

Propiedades de la probabilidad

Tal como hemos explicado, la probabilidad es una función y, por tanto, tiene unas propiedades que se cumplen. Estas son:

  • La probabilidad del suceso contrario \(\bar{A}\) de un suceso dado \(A\) es \(P(\bar{A})=1-P(A)\). Como estos dos sucesos son incompatibles, podemos aplicar el tercer axioma para demostrar esto: \(P(A\cup \bar{A})=P(A)+P(\bar{A})=1\Rightarrow P(\bar{A})=1-P(A)\).

  • La probabilidad del suceso que nunca se obtiene es decir, el suceso imposible es \(P(\varnothing)=0\).

  • Si el suceso \(B\) es un subconjunto del suceso \(A\) es decir, \(B\) está contenido en \(A\), entonces \(P(B)\leq P(A)\).

  • Cualquier suceso que es un subconjunto del espacio muestral cumple con que \(0\leq P(A)\leq 1\).

  • Si \(A\) y \(B\) son sucesos cualesquiera, entonces: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).

    • Esto significa que la probabilidad de que los dos sucesos ocurran es la suma de las probabilidades de cada suceso menos la probabilidad de la intersección de \(A\) con \(B\). Como la intersección está contenida tanto en la probabilidad de \(A\) como de \(B\) hay que restar esta intersección para que no esté duplicada en la probabilidad final.

Vamos a ver un ejemplo, para dejar esto más claro.

Un estudiante que termina su grado universitario tiene una probabilidad de \(0{,}7\) de entrar en el mercado laboral. A su vez, tiene una probabilidad de \(0{,}5\) de entrar a un programa de máster. La probabilidad de que no siga ninguna de las opciones anteriores es de \(0{,}2\). De manera aleatoria, se elige uno de estos estudiantes.

Calcula la probabilidad de que:

a) Siga una de las dos opciones.

b) Haga un máster y a la vez se ponga a trabajar.

c) Solo haga un máster.

Solución:

En primer lugar, definimos los dos sucesos:

Suceso \(T\): que el estudiante se ponga a trabajar.

Suceso \(M\): que el estudiante estudie un máster.

\[P(T)=0{,}7\]

\[P(M)=0{,}5\]

\[P(\bar{T}\cap\bar{M})=0{,}2\]

a) La probabilidad de que siga una de las dos opciones es decir, que trabaje o que entre en un máster será la unión de los dos sucesos:

\[P(T\cup M)=1-P(\overline{T\cup M})=1-P(\bar{T}\cap\bar{M})=1-0{,}2=0{,}8\]

b) La probabilidad de que a la vez trabaje y haga un máster es la intersección entre los dos sucesos:

\[P(T\cap M)=P(T)+P(M)-P(T\cup M)=0{,}7+0{,}5-0{,}8=0{,}4\]

c) La probabilidad de que solo haga un máster es el suceso \(M-T\):

\[\begin{align} P(M-T)&=P(M\cap \bar{T})=\\&=P(M)-P(M\cap T)=\\&=P(M)-P(T\cap M)=\\&=0{,}5-0{,}4=0{,}1\end{align}\]

Teoría de la probabilidad - Puntos clave

  • La frecuencia absoluta de un suceso \(A\), escrita como \(f(A)\), es el número de veces que se obtiene el resultado de \(A\).
  • La frecuencia relativa de un suceso \(A\), escrita como \(h(A)\), es el cociente entre la frecuencia absoluta del suceso y el número de veces \(n\) que se ha realizado el experimento.
  • La frecuencia relativa tiene la fórmula:

    \[h(A)=\dfrac{f(A)}{n}\]

  • La probabilidad de un suceso \(A\) se define como el límite de la frecuencia relativa de ese suceso cuando el experimento se realiza infinitas veces: \[P(A)=\lim_{n\to \infty} h(A)\]

Preguntas frecuentes sobre Teoría de la Probabilidad

La teoría de la probabilidad trata sobre la asignación de probabilidades a cada resultado posible. En ella se estudian conceptos como frecuencia absoluta, frecuencia relativa y probabilidad de un suceso, entre muchos otros.

La probabilidad se definió en función de la frecuencia relativa. Al tomar el límite de la frecuencia relativa, cuando el experimento se repite infinitas veces, se llega a la probabilidad. El problema de esto es que en la práctica es imposible realizar un experimento infinitas veces, por lo que se llegó a la definición axiomática de la probabilidad. Según esta definición, la probabilidad es un valor teórico que se conoce antes de que se realice siquiera el experimento.

La probabilidad es una rama muy amplia que se aplica a muchos campos, como la física, la biología, la economía y muchas otras ciencias.

El espacio de sucesos (o espacio muestral) es el conjunto de todos los resultados posibles que pueden surgir al realizar un experimento.

Se dice que dos sucesos son incompatibles cuando no pueden ocurrir a la vez; es decir, cuando la intersección entre ambos es el conjunto vacío.

Cuestionario final de Teoría de la Probabilidad

Pregunta

Escoge tres ejemplos de una variable aleatoria.

Mostrar respuesta

Answer

El tiempo que tarda en llegar un bus.

Show question

Pregunta

¿Qué es una variable aleatoria?

Mostrar respuesta

Answer

Una variable cuyo resultado no se conoce de antemano.

Show question

Pregunta

¿Qué es un experimento aleatorio?

Mostrar respuesta

Answer

Un experimento aleatorio es aquel en el que se mide una variable y no se sabe, ni se puede alterar el resultado que se pueda dar.

Show question

Pregunta

¿Cuáles son ejemplos de un experimento aleatorio?

Mostrar respuesta

Answer

Lanzar un dado.

Show question

Pregunta

Se tiene una variable aleatoria \(x\) y esta tiene cuatro resultados posibles: \((A, B, C, D)\). Ssi se hace un experimento dos veces, ¿se sabe cuál será el resultado?

Mostrar respuesta

Answer

No, ya que el experimento es aleatorio: cada vez que se repite el experimento, el resultado puede cambiar.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el nombre de los experimentos que son contrarios a los experimentos aleatorios?

Mostrar respuesta

Answer

Experimentos deterministas.

Show question

Pregunta

¿Qué ocurre en un experimento determinista?

Mostrar respuesta

Answer

Se sabe el resultado que se obtendrá.

Show question

Pregunta

¿Cómo se llama a los valores que puede tomar una variable aleatoria en un experimento aleatorio?

Mostrar respuesta

Answer

Espacio muestral.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el espacio muestral de una perinola con números del uno al diez?

Mostrar respuesta

Answer

El espacio muestral es \(E=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\).

Show question

Pregunta

¿Cuál de las siguientes opciones tiene un espacio muestral continuo?

Mostrar respuesta

Answer

La velocidad que puede obtener un coche.

Show question

Pregunta

¿Qué es un suceso?

Mostrar respuesta

Answer

Las subdivisiones del espacio muestral en los valores que la variable aleatoria puede tomar.

Show question

Pregunta

¿Cómo se llama al suceso que siempre ocurre en un experimento aleatorio?

Mostrar respuesta

Answer

Suceso seguro.

Show question

Pregunta

Si se tira una moneda, ¿cuáles son los sucesos seguros?

Mostrar respuesta

Answer

Definición: cara o cruz.

Show question

Pregunta

Tiras una moneda al aire, en lugar de obtener cara o cruz, obtienes otro resultado. ¿Es esto posible? ¿Cómo se llaman estos sucesos?

Mostrar respuesta

Answer

Es imposible, ya que la moneda debe caer sobre uno de sus lados. Este tipo de suceso se llama suceso imposible.

Show question

Pregunta

Se obtiene cara al tirar una moneda. ¿Cuál es el suceso contrario?


Mostrar respuesta

Answer

Obtener una cruz.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la probabilidad de un evento imposible?

Mostrar respuesta

Answer

Cero.

Show question

Pregunta

¿Qué es un suceso en probabilidad?

Mostrar respuesta

Answer

Un suceso es el resultado de un experimento.

Show question

Pregunta

¿Qué es un experimento en probabilidad?

Mostrar respuesta

Answer

Un experimento es un proceso que puede repetirse muchas veces que produce un conjunto concreto de resultados posibles.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la probabilidad de un suceso que es tan probable que ocurra como que no?

Mostrar respuesta

Answer

1/2 o 0,5 o 50%.

Show question

Pregunta

¿Qué son los sucesos independientes?

Mostrar respuesta

Answer

Dos sucesos (A y B) son independientes si el hecho de que A haya ocurrido no afecta a la probabilidad de que B ocurra, y viceversa.

Show question

Pregunta

¿Cómo se calcula la probabilidad de un suceso?

Mostrar respuesta

Answer

\(\text{Probabilidad de un suceso}=\dfrac{\text{Número de resultados de cumplen un requisito}}{\text{Número total de resultados posibles}}\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es la regla de multiplicación para sucesos independientes?

Mostrar respuesta

Answer

\(P(A\cap B)=P(A)·P(B)\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es la probabilidad de un evento seguro?

Mostrar respuesta

Answer

1.

Show question

Pregunta

Si la probabilidad de un suceso es de 0,3, ¿es muy probable o poco probable?

Mostrar respuesta

Answer

Poco probable.

Show question

Pregunta

¿Qué son los sucesos dependientes?

Mostrar respuesta

Answer

Dos sucesos (A y B) son dependientes si el hecho de que A haya ocurrido afecta a la probabilidad de que B ocurra, y viceversa. A esta probabilidad se le llama probabilidad condicionada.

Show question

Pregunta

¿Qué es el espacio muestral en probabilidad?

Mostrar respuesta

Answer

El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.

Show question

Pregunta

\(P(A)=0,3\) y \(P(B)=0,6\). Si \(A\) y \(B\) son sucesos independientes, calcula \(P(A\cap B)\).

Mostrar respuesta

Answer

\(P(A\cap B)=0,3·0,6=0,18\).

Show question

Pregunta

Si \(P(A)=0,4\) y \(P(A\cap B)=0,16\), y \(A\) y \(B\) son sucesos independientes, calcula \(P(B)\).

Mostrar respuesta

Answer

\(P(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{0,16}{0,4}=0,4\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es el intervalo de probabilidad de ocurrencia de un suceso?

Mostrar respuesta

Answer

Entre 0 y 1 (o entre 0% y 100%).

Show question

Pregunta

Un suceso con una probabilidad de 0,9 es:

Mostrar respuesta

Answer

Un suceso seguro.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la probabilidad a priori?

Mostrar respuesta

Answer

\(P(A_j)\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es la probabilidad a posteriori?

Mostrar respuesta

Answer

\(P(A_j|B)\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es la verosimilitud?

Mostrar respuesta

Answer

\(P(B|A_j)\).

Show question

Pregunta

¿En qué otro teorema se apoya el teorema de Bayes?

Mostrar respuesta

Answer

En el teorema de la probabilidad total.

Show question

Pregunta

¿Qué nos permite calcular el teorema de Bayes?

Mostrar respuesta

Answer

La probabilidad de que el suceso ocurrido pertenezca a una de las particiones del espacio muestral.

Show question

Pregunta

Tenemos un conjunto de 10 animales blancos y 30 animales negros. Dentro de los blancos, el 20% son perros y el resto gatos. Dentro de los negros, el 40% son perros y el resto son gatos. Elegimos un animal al azar, vemos que es un gato y queremos saber la probabilidad de que sea blanco. ¿Cuál o cuáles son las probabilidades a priori en este caso?

Mostrar respuesta

Answer

La probabilidad de que el animal sea blanco o negro.

Show question

Pregunta

Tenemos un conjunto de 10 animales blancos y 30 animales negros. Dentro de los blancos, el 20% son perros y el resto gatos. Dentro de los negros, el 40% son perros y el resto son gatos. Elegimos un animal al azar, vemos que es un gato y queremos saber la probabilidad de que sea blanco. ¿Cuál o cuáles son las probabilidades a posteriori en este caso?

Mostrar respuesta

Answer

La probabilidad de que el gato elegido sea blanco.

Show question

Pregunta

Tenemos un conjunto de 10 animales blancos y 30 animales negros. Dentro de los blancos, el 20% son perros y el resto son gatos. Dentro de los negros, el 40% son perros y el resto son gatos. Elegimos un animal al azar, vemos que es un gato y queremos saber la probabilidad de que sea blanco. ¿Cuál o cuáles son las verosimilitudes en este caso?

Mostrar respuesta

Answer

La probabilidad de que el animal sea un gato, después de saber que es blanco.

Show question

Pregunta

Aparte del teorema de la probabilidad total, ¿qué otra fórmula de la probabilidad se utiliza para obtener el teorema de Bayes?

Mostrar respuesta

Answer

La fórmula de la probabilidad condicionada.

Show question

Pregunta

¿En cuál de estas situaciones se puede aplicar el teorema de Bayes?

Mostrar respuesta

Answer

Obtener una cara o una cruz al lanzar una moneda.

Show question

Pregunta

¿Verdadero o falso?: \(P(A_j|B)\) es el inverso de \(P(B|A_j)\).

Mostrar respuesta

Answer

Falso.

Show question

Pregunta

¿Cómo son los sucesos \(A\) y \(B\) en el teorema de Bayes?

Mostrar respuesta

Answer

Dependientes.

Show question

Pregunta

¿Verdadero o falso?: En el teorema de Bayes se cumple: \(P(A)·P(B)=P(A|B)\).

Mostrar respuesta

Answer

Falso.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la fórmula de Bayes, siendo \(A\) la partición y \(B\) el suceso elegido?

Mostrar respuesta

Answer

\(P(A|B)=\dfrac{P(A)·P(B|A)}{P(B)}\).

Show question

Pregunta

¿Qué calculamos con la fórmula de Bayes?

Mostrar respuesta

Answer

Las probabilidades a posteriori.

Show question

Pregunta

¿Con qué se relaciona la probabilidad de un resultado?

Mostrar respuesta

Answer

Con la frecuencia relativa.

Show question

Pregunta

Los espacios muestrales son finitos, no infinitos.

Mostrar respuesta

Answer

Falso.

Show question

Pregunta

¿Cuánto es la suma de las probabilidades de todos los resultados posibles de un experimento?

Mostrar respuesta

Answer

1.

Show question

Pregunta

¿Cuál puede ser la probabilidad de un suceso elemental?

Mostrar respuesta

Answer

\(p=0,5\).

Show question

Pregunta

¿Qué es un espacio muestral equiprobable?

Mostrar respuesta

Answer

Un espacio en el que las probabilidades de todos los resultados posibles son iguales.

Show question

60%

de los usuarios no aprueban el cuestionario de Teoría de la Probabilidad... ¿Lo conseguirás tú?

Empezar cuestionario

Scopri i migliori contenuti per le tue materie

No hay necesidad de copiar si tienes todo lo necesario para triunfar. Todo en una sola app.

Plan de estudios

Siempre preparado y a tiempo con planes de estudio individualizados.

Cuestionarios

Pon a prueba tus conocimientos con cuestionarios entretenidos.

Flashcards

Crea y encuentra fichas de repaso en tiempo récord.

Apuntes

Crea apuntes organizados más rápido que nunca.

Sets de estudio

Todos tus materiales de estudio en un solo lugar.

Documentos

Sube todos los documentos que quieras y guárdalos online.

Análisis de estudio

Identifica cuáles son tus puntos fuertes y débiles a la hora de estudiar.

Objetivos semanales

Fíjate objetivos de estudio y gana puntos al alcanzarlos.

Recordatorios

Deja de procrastinar con nuestros recordatorios de estudio.

Premios

Gana puntos, desbloquea insignias y sube de nivel mientras estudias.

Magic Marker

Cree tarjetas didácticas o flashcards de forma automática.

Formato inteligente

Crea apuntes y resúmenes organizados con nuestras plantillas.

Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.