Función de probabilidad y de distribución

Función de probabilidad

En probabilidad hay dos tipos de distribuciones que pueden ser:

• Discretas: toman solo ciertos valores en un intervalo.

• Continuas: toman cualquier valor en un rango específico.

Ambas tienen una función que define la probabilidad de que se obtenga un valor o la probabilidad de que un valor esté cerca de cierto rango.

Expliquemos un poco más.

Función de masa de probabilidad

Cuando se tiene una distribución de probabilidad discreta —es decir, que nos da valores separados entre sí— podemos hablar de una función de probabilidad, también conocida como función de masa de probabilidad. La definición exacta sería:

Función densidad de probabilidad

Como vimos hace un rato, no todas las distribuciones son discretas. Vamos a explicarlo detalladamente con la ayuda de un ejemplo:

Supongamos que tenemos un bus que llega cada treinta minutos, pero tiene retrasos: a veces llega más tarde o más temprano. Por tanto, se puede decir que tiene ciertas desviaciones. Si la mayoría de las veces llega alrededor de cada treinta minutos y la probabilidad de que llegue antes o después decrece, lo que se tendría es una distribución normal como la siguiente:

Fig. 1: Imagen de una distribución que sigue la forma de una distribución normal de probabilidad.

Esta curva presenta los siguientes atributos:

• La mayor probabilidad de que el bus llegue a cierta hora, o cada treinta minutos, es el valor central y el máximo (también conocido como la media); en este caso, en cero.

• Debido a que el bus debe llegar en algún punto cada treinta minutos, es casi \(100\%\) seguro que llegará en el intervalo \([-a=-30, a=30]\). Por lo tanto, definimos que la curva tiene un área con un valor de \(1\).

De este modo, los valores a lo largo de la curva nos dicen qué tan probable es que el bus llegue antes o después del tiempo indicado.

Al igual que la función masa de probabilidad, los valores de esta función miden la probabilidad de que obtengamos cierto resultado. En este caso, la función está definida como:

\[P(a \leq X \leq b)=\int_a^b f(x)dx \]

• Aquí \(a\) y \(b\) son los límites del intervalo.

  • Por ejemplo, en nuestro caso, si sabemos que el bus pasa con seguridad en un intervalo de tiempo, \(a\) sería el límite inferior y \(b\) el superior.

Pudimos observar la propiedad que nos dice que el área bajo la curva vale uno. Si la probabilidad de que el bus pase en el intervalo de \([a, b]\) es del \(100\%\), entonces la integral debe valer uno.

La varianza y la media también se pueden definir usando integrales y la función de densidad de probabilidad para las distribuciones continuas:

\[\mu=E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx\]

\[\sigma^2=\int_{-\infty}^\infty (x-\mu^2)f(x)dx \]

¿Cómo hallar la función de probabilidad?

Generalmente, la función de probabilidad te es dada en tus cursos o problemas. Por tanto, tener que encontrarla es poco probable en tus cursos de bachillerato. Sin embargo, te diremos que la función se nombrará frecuentemente en tus problemas como \(P(x)\).

Funciones de probabilidad ejemplos

Hagamos unos ejemplos sencillos, para que te familiarices con las operaciones.

Función de distribución

Hasta el momento hemos visto la probabilidad de cierta función en cierto valor. Pero, ¿y si queremos la probabilidad de ese punto y todos los demás antes de él? En probabilidad, esto se denomina la función de distribución acumulada o, más simplemente la función de distribución; al igual que para la función de probabilidad, existe para los casos continuos y discretos.

Función de distribución para una variable discreta

Si se tiene un experimento con una variable aleatoria discreta, la función de distribución es igual a la suma de la probabilidad del punto a calcular más los puntos adyacentes.

Supongamos que se tiene una variable aleatoria que toma los valores \((1, 3, 6, 9, 10)\) y la probabilidad de estos es \(\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{8}\right)\). En este caso, si se quiere calcular la función de distribución acumulada entre \(1\) y \(6\), esta será la suma de \(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{8}\).

La fórmula, de manera formal, es:

\[P(X \leq x)=\sum_{\mu \leq x}f(x)\]

Aquí, \(X\) son los valores menores o iguales a \(x\) que la variable discreta puede tomar.

Función de distribución para una variable continua

Justo como existe una distribución para una variable discreta, también existe para una continua. Esta es, también, la suma de las probabilidades de los posibles valores hasta cierto punto \(x\). En este caso, se integra la función\(f(x)\) en el intervalo requerido:

\[P(a \leq X \leq x)=\int_a^x f(x)dx \]

Función de distribución: ejercicios resueltos

Hagamos un par de ejemplos, para que refuerces lo aprendido: