Seguro que recuerdas que lanzar un par de dados es un experimento de probabilidad. En este caso, hay la misma probabilidad de obtener cara que cruz. También seguro que sabes que muchos juegos de azar están relacionados con la probabilidad. En estos casos, por ejemplo, cada resultado tiene cierta probabilidad de que ocurra.
Esto se parece un poco a las funciones \(y=f(x)\) donde, por cada posible resultado \(f(x)\), hay una probabilidad que esto ocurra o \(y\). Eso significa que hay una función que nos dice la probabilidad de que algo pase. Esta se llama bastante obviamente, la función de probabilidad.
Función de probabilidad
En probabilidad hay dos tipos de distribuciones que pueden ser:
Ambas tienen una función que define la probabilidad de que se obtenga un valor o la probabilidad de que un valor esté cerca de cierto rango.
Expliquemos un poco más.
Función de masa de probabilidad
Cuando se tiene una distribución de probabilidad discreta —es decir, que nos da valores separados entre sí— podemos hablar de una función de probabilidad, también conocida como función de masa de probabilidad. La definición exacta sería:
La función de masa de probabilidad nos dice la probabilidad de que una variable aleatoria discreta tome un valor específico.
Si se tira una perinola de diez lados, la función de masa de probabilidad nos arrojará \(\frac{1}{10}\) para cada posible resultado.
Solo en caso de que algo extraordinario suceda, algún resultado será menos probable que el otro.
Función densidad de probabilidad
Como vimos hace un rato, no todas las distribuciones son discretas. Vamos a explicarlo detalladamente con la ayuda de un ejemplo:
Supongamos que tenemos un bus que llega cada treinta minutos, pero tiene retrasos: a veces llega más tarde o más temprano. Por tanto, se puede decir que tiene ciertas desviaciones. Si la mayoría de las veces llega alrededor de cada treinta minutos y la probabilidad de que llegue antes o después decrece, lo que se tendría es una distribución normal como la siguiente:
Fig. 1: Imagen de una distribución que sigue la forma de una distribución normal de probabilidad.
Esta curva presenta los siguientes atributos:
La mayor probabilidad de que el bus llegue a cierta hora, o cada treinta minutos, es el valor central y el máximo (también conocido como la media); en este caso, en cero.
Debido a que el bus debe llegar en algún punto cada treinta minutos, es casi \(100\%\) seguro que llegará en el intervalo \([-a=-30, a=30]\). Por lo tanto, definimos que la curva tiene un área con un valor de \(1\).
De este modo, los valores a lo largo de la curva nos dicen qué tan probable es que el bus llegue antes o después del tiempo indicado.
Al igual que la función masa de probabilidad, los valores de esta función miden la probabilidad de que obtengamos cierto resultado. En este caso, la función está definida como:
\[P(a \leq X \leq b)=\int_a^b f(x)dx \]
Pudimos observar la propiedad que nos dice que el área bajo la curva vale uno. Si la probabilidad de que el bus pase en el intervalo de \([a, b]\) es del \(100\%\), entonces la integral debe valer uno.
La varianza y la media también se pueden definir usando integrales y la función de densidad de probabilidad para las distribuciones continuas:
\[\mu=E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx\]
\[\sigma^2=\int_{-\infty}^\infty (x-\mu^2)f(x)dx \]
¿Cómo hallar la función de probabilidad?
Generalmente, la función de probabilidad te es dada en tus cursos o problemas. Por tanto, tener que encontrarla es poco probable en tus cursos de bachillerato. Sin embargo, te diremos que la función se nombrará frecuentemente en tus problemas como \(P(x)\).
Funciones de probabilidad ejemplos
Hagamos unos ejemplos sencillos, para que te familiarices con las operaciones.
En un experimento hay una variable aleatoria que sigue la siguiente distribución:
\(P(x)=\frac{2}{3}x\) en el intervalo de \([1, 2]\) y \(P(x)=0\) en cualquier otro valor.
¿Cuál es el valor de la función en el punto 3?
Solución:
Vemos que la función se anula para todos los puntos antes de 1 y después de 2; sea cual sea este experimento, solo tenemos valores no nulos en el intervalo \([1, 2]\). De este modo, en el punto \(x=3\), la probabilidad de obtener un valor debe ser \(P(x)=0\).
Si se tira un dado, ¿cuál es el valor de la función de probabilidad cuando el valor del dado es 6?
Solución:
Al igual que la pregunta anterior, esta es un poco capciosa. Sabes que la función de masa de probabilidad se define para valores discretos; en este caso, para los valores que puede tomar el dado, que son \((1, 2, 3, 4, 5, 6)\). También sabes que la probabilidad de todos ellos es la misma: \(\dfrac{1}{6}\).
De este modo el valor de la función de masa de probabilidad es siempre \(\dfrac{1}{6}\), sea este un valor de seis, cinco, cuatro, etc.
Se tiene un experimento en el cual hay una variable aleatoria que sigue la siguiente distribución:
\(P(x)=\frac{1}{48} (x-1)\) en el intervalo de \([6, 12]\) y \(P(x)=0\) en cualquier otro valor.
Calcula la media de esta distribución.
Solución:
La media en este caso es igual a la integral de \(x\) por la función de probabilidad en el intervalo \([6,12]\):
\[\mu=E(X)=\frac{1}{48}\int_{6}^{12} x(x-1)dx\]
Esto es igual a la integral de:
\[\mu=E(X)=\frac{1}{48}\int_{6}^{12} (x^2-x)dx\]
Calculando la integral, obtenemos:
\[\mu=E(X)=\frac{1}{48} (\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2})\]
Y si evaluamos en los límites de 6 a 12:
\[\mu=\frac{1}{48}(504-54)=\frac{450}{48}\]
Función de distribución
Hasta el momento hemos visto la probabilidad de cierta función en cierto valor. Pero, ¿y si queremos la probabilidad de ese punto y todos los demás antes de él? En probabilidad, esto se denomina la función de distribución acumulada o, más simplemente la función de distribución; al igual que para la función de probabilidad, existe para los casos continuos y discretos.
Función de distribución para una variable discreta
Si se tiene un experimento con una variable aleatoria discreta, la función de distribución es igual a la suma de la probabilidad del punto a calcular más los puntos adyacentes.
Supongamos que se tiene una variable aleatoria que toma los valores \((1, 3, 6, 9, 10)\) y la probabilidad de estos es \(\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{8}\right)\). En este caso, si se quiere calcular la función de distribución acumulada entre \(1\) y \(6\), esta será la suma de \(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{8}\).
La fórmula, de manera formal, es:
\[P(X \leq x)=\sum_{\mu \leq x}f(x)\]
Aquí, \(X\) son los valores menores o iguales a \(x\) que la variable discreta puede tomar.
Función de distribución para una variable continua
Justo como existe una distribución para una variable discreta, también existe para una continua. Esta es, también, la suma de las probabilidades de los posibles valores hasta cierto punto \(x\). En este caso, se integra la función\(f(x)\) en el intervalo requerido:
\[P(a \leq X \leq x)=\int_a^x f(x)dx \]
Función de distribución: ejercicios resueltos
Hagamos un par de ejemplos, para que refuerces lo aprendido:
Se tiene un experimento en el cual hay una variable aleatoria que sigue la siguiente distribución:
\(P(x)=\frac{3}{970}(x^2-1)\) en el intervalo de \([0, 10]\) y \(P(x)=0\) en cualquier otro valor.
¿Cuál es la probabilidad acumulada en el intervalo \([0, 2]\)?
Solución:
En este caso, debemos integrar la función y evaluarla en el intervalo que nos piden:
\[\int_0^2 P(X)dx=\int_0^2 \frac{3}{970}(x^2-1)dx= \left.\frac{3}{970} \left( \dfrac{x^3}{3}-x \right)\right]_0^2=\dfrac{1}{485}\]
Si se tiene un dado, ¿cuál es la probabilidad acumulada de que obtengas un número par?
Solución:
En este caso, la probabilidad de cada resultado es fija; por lo que la probabilidad acumulada es la suma de la probabilidad de los pares, que son tres.
De este modo:
\[P(\text{par})=P(2)+P(4)+P(6)=\dfrac{1}{2}\]
Función de probabilidad y distribución - Puntos clave
- En probabilidad, hay dos tipos de distribuciones:
- La función de masa de probabilidad nos dice la probabilidad de que una variable aleatoria discreta tome un valor específico.
- La formula de distribucion para una variable discreta es:
- \[P(X \leq x)=\sum_{\mu \leq x}f(x)\]
- La función de distribución para una variable continua es:
- \[P(a \leq X \leq x)=\int_a^x f(x)dx \]
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