Los experimentos y sus resultados son muy importantes: cuando se tienen suficientes datos, nos permiten calcular la posibilidad de obtener un valor específico. En estos casos, las distribuciones de probabilidad juegan un rol muy importante, pues nos dicen los valores que podemos esperar y con qué probabilidad. Por ejemplo, la probabilidad de que ganemos la lotería.
Hay varios tipos de distribuciones de probabilidad, pero en ciertas condiciones podemos intercambiar fórmulas y usar una distribución, en lugar de la otra. En este artículo te diremos cómo usar la distribución normal y sus tablas para calcular probabilidades de experimentos que siguen una distribución binomial.
Pasar de distribución binomial a normal
Seguro que recuerdas las distribuciones normal y binomial: cada una tiene sus propias características.
La distribución binomial
Es una distribución discreta: no puede tomar cualquier valor dentro del dominio de la función.
Solo produce dos resultados: éxito o fracaso.
La probabilidad de éxito en los resultados no cambia.
La distribución normal
Es una distribución continua: toma cualquier valor en un rango \([-a, a]\).
Es simétrica con respecto a la media.
La media es, además, la mediana y la moda de la distribución; donde, la mediana es el dato a la mitad de todos los datos que pueden aparecer y la moda es el dato que tiene más probabilidades de ocurrir.
Tiene puntos de inflexión alrededor de la media en \(\mu-\sigma\) y \(\mu+\sigma\).
Los valores tienden al infinito en los extremos de la función.
Puedes ver la gráfica de la distribución normal a continuación:
Fig. 1. Imagen de una distribución normal.
En general, ambas distribuciones parecen ser muy distintas, si lo observamos detenidamente. Sin embargo, hay una manera en la que podemos enlazar ambas, esta es nos permite aproximar las probabilidades de la distribución binomial, usando la distribución normal.
Aproximación binomial
Supongamos que tenemos un experimento en el cual este se respira \(n\) veces. Este experimento sigue una distribución binomial, en la cual se miden solamente dos cosas:
La media y la desviación estándar se pueden calcular del siguiente modo:
\[\mu=np\]
\[\text{Var}=np(1-p)\]
- Aquí, \(p\) es la probabilidad de que algo suceda.
Hagamos un ejemplo sencillo donde veamos cómo se usan estos datos.
Se tiene un control de calidad de huevos de gallina. En este control, se decide si el huevo es apto para consumo o no. Este caso sigue una distribución normal, ya que solo existe el éxito o el fracaso.
Se sabe que la probabilidad es solo del \(3\%\), así que \(p=0{,}03\). Se hacen mil pruebas de esto, así que el número de ensayos es \(n=1000\).
La media, en este caso, se puede calcular como:
\[\mu=0{,}03·1000=30\]
Esto significa que hay, en promedio, unos \(30\) huevos no aptos para consumo humano cada mil. Por tanto, la varianza será:
\[\text{Var}=1000·0{,}97·(1-0{,}97)=29{,}1\]
Este experimento tiene mil ensayos; pero, podríamos observar que, debido a que el número de ensayos es muy grande, se puede aproximar usando una distribución normal, ya que sigue una distribución binomial. La posibilidad de usar la distribución normal para describir un experimento binomial es parte del teorema de Laplace-Moivre.
El teorema de Laplace-Moivre
Una distribución binomial tiene la siguiente forma:
\[P(X=k)=\begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix}= p^k(1-p)^{n-k}\]
- Aquí:
- \(n\) es el número de experimentos o sucesos (por ejemplo, cuántas veces se mide algo).
- \(k\) es cuántos eventos exitosos hay.
- \(p^k\) es la probabilidad de un evento exitoso.
- \((1-p)^{n-k}\) es la probabilidad de fracaso.
Básicamente, esto se interpreta como: “la posibilidad de que haya \(k\) eventos o ensayos exitosos en \(n\) repeticiones es igual al producto de la posibilidad de que sea exitoso por la posibilidad de que fracase”.
El teorema de Laplace-Moivre nos dice que podemos aproximar esta fórmula como una distribución normal si \(n\) crece lo suficiente:
\[ \begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix} p^k(1-p)^{n-k}= \]
\[=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma} } e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}} \]
Condiciones para aproximar una binomial por normal
Hay dos reglas importantes que se deben cumplir para poder aproximar una distribución binomial a una normal:
\[np \geq 5\]
\[n(1-p) \geq 5\]
Hagamos un pequeño ejercicio:
Una fábrica diseña piezas de una turbina de avión. Se sabe que, de cada lote producido, un \(15\%\) de las piezas son defectuosas. La empresa debe producir para varias aerolíneas \(50\) piezas en el nuevo lote. ¿Cuál es la probabilidad de que, como máximo, \(7\) sean defectuosas?
Solución:
En este caso, el número de ensayos o repeticiones es \(n=50\) y \(p=0{,}15\). Entonces, la probabilidad de que como máximo \(7\) piezas sean defectuosas es:
\[\begin{align}P(X\leq 7)&=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)=\\&=0{,}519\end{align}\]
Aquí hemos usado la distribución binomial; la esperanza y la varianza son:
\[E=np=50·0{,}15=7{,}5\]
\[\text{Var}=np(1-p)=50·0{,}15·0{,}85=6{,}37\]
En ambos casos este número es mayor que cinco, así que podemos usar la distribución normal y, para esto, debemos calcular:
\[\mu=np=7{,}5\]
\[\sigma=\sqrt{np(1-p)}=2{,}52\]
Esto significa que podemos usar una distribución normal con media \(7{,}5\) y desviación estándar \(2{,}52\) para representar este proceso:
\[X\sim N(\mu=7{,}5, \sigma=2{,}52)\]
\[P(X\leq 7)=P\left(Z\leq \dfrac{7-7{,}5}{2{,}52}\right)=P(Z\leq 0{,}20)=0{,}579\]
Como puedes observar, las probabilidades varían según la distribución. Esto es porque la binomial es discreta y ha de tenerse en cuenta la continuidad de la distribución normal al pasar a esta.
Correcciones
Debido a que la distribución binomial es discreta y la distribución normal es continua, hay ciertas correcciones que se deben de hacer. Esto se debe a que se aproxima una función continua usando puntos. Se tiene lo que se ve en la siguiente figura:
Fig. 2. Imagen de la distribución normal (en azul) frente a la aproximación binomial (en cian).
Esto significa que hay una diferencia entre lo que nos dicen las dos distribuciones. Para esto, se sustrae o añade un valor de \(0{,}5\) del valor de la variable discreta.
Veamos un ejemplo completo de esto, en el que pasemos de una distribución binomial a una normal, por método de aproximaciones. Además, corregimos este valor.
Queremos saber cuál es la probabilidad de que una moneda, al ser lanzada al aire al menos \(200\) veces, obtenga al menos \( 90\) veces una cara.
Solución:
Como puedes observar, esto es una distribución binomial: solo hay éxito (que es obtener una cara) o fracaso (obtener una cruz). Para esto, el número de ensayos es \(n=200\) y la probabilidad que buscamos es \(P\leq 90\), que es un valor de \(p=0{,}45\).
Primero, debemos asegurarnos de que podamos usar la aproximación normal; esto, usando la fórmulas:
\[np \geq 5\]
\[n(1-p) \geq 5\]
Si sustituimos, nos da:
\[(200)(0{,}45) \geq 5\]
\[200(1-0{,}45) \geq 5\]
Resolviendo:
\[90 \geq 5\]
\[110 \geq 5\]
Por lo cual, se cumple el criterio por el que podemos aproximar este experimento binomial usando una distribución normal. Ahora, obtenemos los parámetros de la distribución normal, que la aproxima:
\[\mu=200·0{,}45=90\]
\[\sigma=\sqrt{200(0{,}45)(0{,}55)}=49{,}5\]
En este caso, podemos aproximar este experimento, que presenta una distribución binomial, usando la distribución normal con los parámetros:
\[N(\mu=90, \sigma=49{,}5)\]
- Si se busca que la probabilidad sea menor que \(k\), entonces se debe sumar un \(0{,}5\) a la variable aleatoria.
- Si se busca que la probabilidad sea mayor que \(k\), entonces se debe restar un valor de \(0{,}5\) a la variable aleatoria.
Como buscamos que, al menos, obtenga noventa veces más cara, esto significa que buscamos los valores menores o iguales que noventa; así que debemos sumarle \(0{,}5\).
En este caso, se busca \(P<50\).
Usando estos valores, necesitamos calcular el valor de \(z\); esto es:
\[z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}=\dfrac{50-90}{49{,}5}=-0{,}808\]
Como paso final, debemos ir a nuestra tablas de probabilidad y buscar el valor de \(-0{,}\) en la primera columna y \(0{,}08\) en la primera fila. Seguir ambos y el punto donde se encuentren es la probabilidad de que obtengamos \(90\) caras en \(200\) intentos.
Si quieres saber más acerca de la distribución normal, la distribución normal tipificada y cómo encontrar el valor de \(z\), no olvides leer nuestros otros artículos de probabilidad y estadística.
Aproximación de la binomial a la normal: ejercicios resueltos
Hagamos algunos ejercicios más, para que te sea más familiar este tema.
Se tiene una perinola de 6 lados, con valores \(1, 2, 3, 4, 5, 6\); esta perinola se gira \(10\) veces. Se quiere saber si existe la posibilidad de que la probabilidad de que obtengamos siempre un cinco puede aproximarse usando una distribución normal, en lugar de una binomial.
Solución:
Se nos pide saber si podemos usar una distribución normal. en lugar de una binomial. Si recordamos bien, para esto debemos tener que los valores de \(np\) y \(n(1-p)\) cumplan:
\[np \geq 5\]
\[n(1-p) \geq 5\]
- Aquí, \(n\) es el número de experimentos (en este caso, las veces que tiramos la perinola); este es \(n=10\).
Además, se sabe que la probabilidad de que obtengamos un cinco en cada tirada es:
\[p=\dfrac{1}{5}·\dfrac{1}{5}·\dfrac{1}{5}·\dfrac{1}{5}·\dfrac{1}{5}·\dfrac{1}{5}·\dfrac{1}{5}·\dfrac{1}{5}·\dfrac{1}{5}·\dfrac{1}{5}=1{,}65·10^{-8}\]
Si sustituimos estos valores:
\[(10)(1{,}65·10^{-8})\geq 5\]
\[(10)(1-1{,}65·10^{-8}) \geq 5\]
Debido a que la potencia nos da un número muy pequeño, es imposible que esta regla se cumpla: ningún valor es mayor o igual que cinco, así que no podemos aproximar este experimento usando una distribución binomial, ya que hay muy pocos datos.
Otro:
Se tiene una moneda que se tira, al menos, \(400\) veces. Se quiere saber la probabilidad de que obtengamos, al menos, \(200\) caras.
Solución:
En primer lugar, la probabilidad que buscamos es, de hecho, del cincuenta por ciento; así que, \(P=0{,}5\). El número de experimentos es \(n=400\), así que se debe cumplir que:
\[400·0{,}5 \geq 5\]
\[400(1-0{,}5) \geq 5\]
Sustituyendo ambos, esto nos da:
\[200 \geq 5\]
\[200 \geq 5\]
Ambos valores son mayores que cinco, así que se puede usar una distribución normal para aproximar esta probabilidad.
Lo siguiente es calcular la media y la desviación estándar de la distribución normal:
\[\mu=400(0,5)=200\]
\[\sigma=\sqrt{400(0{,}5)(0{,}5)=100}\]
Esto significa que la distribución de probabilidad que buscamos es \(N(\mu=200, \sigma=100)\).
Como queremos los valores para que (al menos) tengamos \(200\) caras, debemos sumar \(0{,}5\); así que, ahora, calculamos \(z\):
\[z-\dfrac{(x-\mu)}{\sigma}\]
\[z=-1{,}49\]
Ahora debes buscar este valor en tus tablas de probabilidad.
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