Aproximación de la binomial a la normal

Se tiene un control de calidad de huevos de gallina. En este control, se decide si el huevo es apto para consumo o no. Este caso sigue una distribución normal, ya que solo existe el éxito o el fracaso.

Se sabe que la probabilidad es solo del \(3\%\), así que \(p=0{,}03\). Se hacen mil pruebas de esto, así que el número de ensayos es \(n=1000\).

La media, en este caso, se puede calcular como:

\[\mu=0{,}03·1000=30\]

Esto significa que hay, en promedio, unos \(30\) huevos no aptos para consumo humano cada mil. Por tanto, la varianza será:

\[\text{Var}=1000·0{,}97·(1-0{,}97)=29{,}1\]

Una fábrica diseña piezas de una turbina de avión. Se sabe que, de cada lote producido, un \(15\%\) de las piezas son defectuosas. La empresa debe producir para varias aerolíneas \(50\) piezas en el nuevo lote. ¿Cuál es la probabilidad de que, como máximo, \(7\) sean defectuosas?

Solución:

En este caso, el número de ensayos o repeticiones es \(n=50\) y \(p=0{,}15\). Entonces, la probabilidad de que como máximo \(7\) piezas sean defectuosas es:

\[\begin{align}P(X\leq 7)&=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)=\\&=0{,}519\end{align}\]

Aquí hemos usado la distribución binomial; la esperanza y la varianza son:

\[E=np=50·0{,}15=7{,}5\]

\[\text{Var}=np(1-p)=50·0{,}15·0{,}85=6{,}37\]

En ambos casos este número es mayor que cinco, así que podemos usar la distribución normal y, para esto, debemos calcular:

\[\mu=np=7{,}5\]

\[\sigma=\sqrt{np(1-p)}=2{,}52\]

Esto significa que podemos usar una distribución normal con media \(7{,}5\) y desviación estándar \(2{,}52\) para representar este proceso:

\[X\sim N(\mu=7{,}5, \sigma=2{,}52)\]

\[P(X\leq 7)=P\left(Z\leq \dfrac{7-7{,}5}{2{,}52}\right)=P(Z\leq 0{,}20)=0{,}579\]

Como puedes observar, las probabilidades varían según la distribución. Esto es porque la binomial es discreta y ha de tenerse en cuenta la continuidad de la distribución normal al pasar a esta.

Queremos saber cuál es la probabilidad de que una moneda, al ser lanzada al aire al menos \(200\) veces, obtenga al menos \( 90\) veces una cara.

Solución:

Como puedes observar, esto es una distribución binomial: solo hay éxito (que es obtener una cara) o fracaso (obtener una cruz). Para esto, el número de ensayos es \(n=200\) y la probabilidad que buscamos es \(P\leq 90\), que es un valor de \(p=0{,}45\).

Primero, debemos asegurarnos de que podamos usar la aproximación normal; esto, usando la fórmulas:

\[np \geq 5\]

\[n(1-p) \geq 5\]

Si sustituimos, nos da:

\[(200)(0{,}45) \geq 5\]

\[200(1-0{,}45) \geq 5\]

Resolviendo:

\[90 \geq 5\]

\[110 \geq 5\]

Por lo cual, se cumple el criterio por el que podemos aproximar este experimento binomial usando una distribución normal. Ahora, obtenemos los parámetros de la distribución normal, que la aproxima:

\[\mu=200·0{,}45=90\]

\[\sigma=\sqrt{200(0{,}45)(0{,}55)}=49{,}5\]

En este caso, podemos aproximar este experimento, que presenta una distribución binomial, usando la distribución normal con los parámetros:

\[N(\mu=90, \sigma=49{,}5)\]

• Si se busca que la probabilidad sea menor que \(k\), entonces se debe sumar un \(0{,}5\) a la variable aleatoria.
• Si se busca que la probabilidad sea mayor que \(k\), entonces se debe restar un valor de \(0{,}5\) a la variable aleatoria.

Como buscamos que, al menos, obtenga noventa veces más cara, esto significa que buscamos los valores menores o iguales que noventa; así que debemos sumarle \(0{,}5\).

En este caso, se busca \(P<50\).

Usando estos valores, necesitamos calcular el valor de \(z\); esto es:

\[z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}=\dfrac{50-90}{49{,}5}=-0{,}808\]

Como paso final, debemos ir a nuestra tablas de probabilidad y buscar el valor de \(-0{,}\) en la primera columna y \(0{,}08\) en la primera fila. Seguir ambos y el punto donde se encuentren es la probabilidad de que obtengamos \(90\) caras en \(200\) intentos.

Se tiene una perinola de 6 lados, con valores \(1, 2, 3, 4, 5, 6\); esta perinola se gira \(10\) veces. Se quiere saber si existe la posibilidad de que la probabilidad de que obtengamos siempre un cinco puede aproximarse usando una distribución normal, en lugar de una binomial.

Solución:

Se nos pide saber si podemos usar una distribución normal. en lugar de una binomial. Si recordamos bien, para esto debemos tener que los valores de \(np\) y \(n(1-p)\) cumplan:

\[np \geq 5\]

\[n(1-p) \geq 5\]

• Aquí, \(n\) es el número de experimentos (en este caso, las veces que tiramos la perinola); este es \(n=10\).

Además, se sabe que la probabilidad de que obtengamos un cinco en cada tirada es:

\[p=\dfrac{1}{5}·\dfrac{1}{5}·\dfrac{1}{5}·\dfrac{1}{5}·\dfrac{1}{5}·\dfrac{1}{5}·\dfrac{1}{5}·\dfrac{1}{5}·\dfrac{1}{5}·\dfrac{1}{5}=1{,}65·10^{-8}\]

Si sustituimos estos valores:

\[(10)(1{,}65·10^{-8})\geq 5\]

\[(10)(1-1{,}65·10^{-8}) \geq 5\]

Debido a que la potencia nos da un número muy pequeño, es imposible que esta regla se cumpla: ningún valor es mayor o igual que cinco, así que no podemos aproximar este experimento usando una distribución binomial, ya que hay muy pocos datos.

Se tiene una moneda que se tira, al menos, \(400\) veces. Se quiere saber la probabilidad de que obtengamos, al menos, \(200\) caras.

Solución:

En primer lugar, la probabilidad que buscamos es, de hecho, del cincuenta por ciento; así que, \(P=0{,}5\). El número de experimentos es \(n=400\), así que se debe cumplir que:

\[400·0{,}5 \geq 5\]

\[400(1-0{,}5) \geq 5\]

Sustituyendo ambos, esto nos da:

\[200 \geq 5\]

\[200 \geq 5\]

Ambos valores son mayores que cinco, así que se puede usar una distribución normal para aproximar esta probabilidad.

Lo siguiente es calcular la media y la desviación estándar de la distribución normal:

\[\mu=400(0,5)=200\]

\[\sigma=\sqrt{400(0{,}5)(0{,}5)=100}\]

Esto significa que la distribución de probabilidad que buscamos es \(N(\mu=200, \sigma=100)\).

Como queremos los valores para que (al menos) tengamos \(200\) caras, debemos sumar \(0{,}5\); así que, ahora, calculamos \(z\):

\[z-\dfrac{(x-\mu)}{\sigma}\]

\[z=-1{,}49\]

Ahora debes buscar este valor en tus tablas de probabilidad.