Probablemente, conozcas los números naturales. Pero, bien es cierto que estos muchas veces se quedan cortos en ciertas situaciones relacionadas con la medición numérica.
Por ejemplo, imagina que te vas de vacaciones al Polo Norte. Las temperaturas no pueden ser indicadas con números naturales.
Es por ello que necesitamos los números enteros, que son más abarcantes:
Los números enteros comprenden los números naturales, el cero y los números negativos no decimales.
¿Qué son los números enteros?
Los números enteros pueden generarse a partir del conjunto de los números naturales y de la operación de resta. Por ejemplo: cuando se resta un número natural mayor a uno menor, se tiene un número negativo. También, cuando un número natural se resta a sí mismo, se obtiene el cero.
El resultado de sumar, restar o multiplicar números enteros es siempre un número entero. Sin embrago, esto puede no ocurrir con la división de números enteros.
Si dividimos \(5\) entre \(2\), tal que:
\[\dfrac{5}{2}=2,5\]
El número \(2,5\) es un número decimal y, por tanto, no es un número entero.
Los números enteros positivos se conocen como números naturales. Se puede ver una característica importante de los números naturales en la ecuación \(a+x=b\). Esta solo tiene solución si \(b>a\), ya que \(a\) y \(x\) solo pueden ser positivos y su suma producirá un número mayor. En el ámbito de los números enteros, la ecuación \(a+x=b\) siempre tendrá un resultado.
Una buena forma de representar los números enteros es la que se muestra en la siguiente figura, donde están representados en una recta numérica:
Fig. 1. Números enteros negativos en \(A\), numeros enteros positivos en \(B\) y el cero.
El conjunto de números enteros se denota normalmente mediante el símbolo \(\mathbb{Z}\), y representa el \(\mathbb{Z}={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...}\).
Ejemplos de la vida real de los números enteros
Los números enteros ayudan a capturar valores en todos los ámbitos.
- En la previsión meteorológica, pueden utilizarse para mostrar la temperatura en diferentes regiones. Cuando las temperaturas pueden ser inferiores a cero en las escalas Fahrenheit y Celsius, los enteros serán negativos.
- Los números enteros se utilizan para representar valores en todas las transacciones que realizamos, desde los bancos hasta los cajeros automáticos.
Símbolo de los números enteros
Muchas veces en textos de matemáticas encontrarás que los conjuntos numéricos están representados mediante símbolos. En el caso de los números enteros, este conjunto se identifica con el símbolo \(\mathbb{Z}\).
Números enteros consecutivos
Los números enteros consecutivos son números enteros que se suceden en una secuencia sin espacios. Por lo tanto, representan una secuencia ininterrumpida de números en la que uno sigue a otro con una diferencia de uno. Si tenemos \(x\) como número entero, entonces \(x+1\) y \(x+2\) serán dos números enteros consecutivos; estos números están en orden ascendente. Algunos ejemplos son:
- \(...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...\)
- \(...200, 201, 202, 203, 204, 205...\)
- \(...-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...\)
- \(...-13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6...\)
Suponiendo que tuvieras que resolver una ecuación matemática y supieras que la suma de dos enteros consecutivos es \(97\). ¿Cómo llegarías a saber cuáles son los dos enteros?
Solución
Supongamos que el primer entero es \(x\). Sabemos, por la descripción de un entero consecutivo, que el segundo debe ser \(x+1\). Entonces, podemos escribir una ecuación para esto:
\[x+(x+1)=97\]
\[2x+1=97\]
\[2x=97-1\]
\[x=48\]
Esto significa que el primer entero es \(48\). Y el segundo será \(48+1\), que es \(49\).
Números enteros pares consecutivos
Son los enteros pares que se suceden y que difieren en dos unidades. La serie de números enteros impares toma la forma de:
enteros positivos: \(2n\).
enteros negativos: \(-2n\).
Esto es cuando \(n\geq0\), en ambos casos. Algunos ejemplos son:
- \({2, 4, 6, 8, 10, 12...}\).
- \({-10, -8, -6, -4, -2...}\).
Números enteros impares consecutivos
Son los enteros impares que se suceden y que difieren en dos unidades. La serie de números enteros impares toma la forma de:
Enteros impares positivos: \(2n+1\)
Enteros impares negativos: \(-2n-11\)
De igual manera, con \(n\geq0\) en ambos casos. Algunos ejemplos son:
- \({5, 7, 9, 11, 13...}\)
- \({ -7, -5, -3, -1...}\)
Operaciones matemáticas con números enteros
Es útil aprender las reglas de los números enteros en las operaciones matemáticas.
Suma
Si se suman dos enteros positivos, siempre se obtiene un entero positivo.
Si se suman dos enteros negativos, se obtiene siempre un entero negativo.
Al sumar un entero positivo y otro negativo se obtiene:
Un número positivo, si el entero positivo es mayor.
Un número negativo, si el entero negativo es mayor.
Multiplicación
El producto de un entero positivo y un entero negativo siempre dará un entero negativo.
El producto de dos enteros positivos siempre será un entero de valor positivo.
El producto de dos enteros negativos siempre será un entero positivo.
División
La división de dos enteros positivos da como resultado un valor positivo.
La división de dos enteros negativos da como resultado un valor positivo.
La división de un entero negativo entre un entero positivo da como resultado un valor negativo, y lo mismo con las posiciones de los enteros cambiadas.
Sumas y restas de números enteros
Pongamos algunos ejemplos para familiarizarnos con las operaciones mencionadas.
Pedro debe a su amigo Miguel \(5\) euros. Si va a pedirle prestados otros \(3\) euros, ¿cuánto deberá en total?
Solución
- Este caso es muy sencillo: sumamos ambos y sabemos que debe euros.
- Sin embargo, matemáticamente se puede representar como: \(-5+(-3)=-8\) euros.
- Como en ocasiones esa representación puede resultar confusa, el uso de una recta numérica lo hace mucho más fácil.
Fig. 2. Recta numérica representando una suma en los negativo.
Utilizando tu primera cifra como punto de referencia, muévete tres pasos hacia atrás en la recta numérica de los enteros. Mientras que los valores positivos se mueven a la derecha (hacia delante), los negativos se mueven a la izquierda (hacia atrás). Así, con nuestro ejemplo tenemos, de nuevo, \(-8\) como respuesta.
Supongamos que Pedro acaba devolviendo con antelación \(4\) euros de los \(8\) que debe. ¿Cuánto le quedaría por pagar?
Solución
Este es otro cálculo sencillo. Intuitivamente, sabemos que la respuesta es \(4\) euros.
Sin embargo, podemos escribir matemáticamente \(-8+4=-4\) euros. También podemos dibujar una recta numérica, de nuevo.
Fig. 3. Recta numérica mostrando una resta en los números negativos.
Utilizando tu primera figura como referencia, avanza cuatro pasos en la recta numérica de los enteros. Esto muestra que \(-4\) es la respuesta que buscas.
Se te podría presentar una ecuación como: \(-3-(-6)=x\).
Solución
Cuando dos signos negativos se encuentran, como en esta ecuación, ambos se convierten en positivos.
Así que tendremos:
\[-3+6=x\]
\[x=3\]
Multiplicar y dividir enteros
La multiplicación y la división son dos de las operaciones más complicadas que existen en el colegio, cuando eres pequeño. Debes recordar lo siguiente: los significados de las operaciones con números enteros.
- Multiplicar dos enteros \(A\) y \(B\) significa sumar el valor de \(A\), \(B\) veces. Por ejemplo, al multiplicar \(24(2)\), lo que haces es sumar \(24\) dos veces.
- Dividir enteros es como dividir \(A\) entre \(B\), consiste en multiplicar el número \(B\) por otro entero \(C\) que te de un número igual o menor que \(A\). La resta entre este entero y \(A\), o \(A-C\), te da el residuo de esta división.
Veamos ejemplos que demuestran la regla de la multiplicación.
¿Cuál es el producto de \(-3\) y \(7\)?
\[-3(7)=21\]
Recuerda que el producto de un entero positivo y uno negativo será negativo.
¿Cuál es el producto de \(5\) y \(4\)?
\[5(4)=20\]
Como hemos dicho, el producto de dos enteros positivos, será uno positivo, en este caso 20.
¿Cuál es el producto de \(-6\) y \(-8\)?
\[-6(-8)=48\]
Divide \(16\) y \(8\).
\[\dfrac{16}{8}=2\]
Recuerda que al dividir dos enteros positivos obtendrás un entero positivo.
Divide \(-28\) y \(7\).
\[\dfrac{-27}{7}=-4\]
Operaciones combinadas con números enteros
Muchas veces tendrás que resolver ecuaciones donde los números enteros tienen operaciones de suma, resta, multiplicación y división en ellas. De preferencia, en estos casos se usan paréntesis; pero, para hacerlo correctamente, debes saber cuál es el orden de las operaciones.
Orden de operaciones
Cuando se tengan operaciones dentro de un paréntesis, estas se deben llevar a cabo primero. Por consiguiente, después se deben llevar a cabo las operaciones fuera del paréntesis.
Veamos un par de ejemplos que lo muestran claramente:
Si la operación es \((3+4)+6\), lo primero que se debe realizar es la suma del paréntesis interior. Aunque, debido a la propiedad de conmutación, no importaría el orden de los sumandos.
\[7+6=13\]
Si la operación es \((3+4)6\), también la propiedad de conmutatividad aplica y podríamos multiplicar el \(6\) por el \(3\) y \(4\) y después hacer la suma. Sin embargo, para simplificarlos y para seguir la regla del paréntesis y así evitar confusiones innecesarias, basta con hacer la suma de los dos números de dentro y, después, multiplicarlos por seis.
\[7(6)=42\]
Si la operación es \((3+4)(6(2))\), en este caso la conmutatividad no aplica: por eso debemos primero hacer las operaciones dentro de cada paréntesis.
\[7(12)=84\]
Si la operación es \((3+4) \dfrac{(6(2))}{2}\), en este caso (nuevamente) las operaciones dentro de los paréntesis más interiores se realizarán primero y, después, se harán las operaciones del último paréntesis que las divide entre dos.
\[7(12)=84\]
\[\dfrac{84}{2}=42\]
Orden de operaciones
Además del orden de las operaciones por paréntesis, también hay otras reglas que se aplican en los números naturales. Una de ellas es que las primeras operaciones que debes realizar son la multiplicación y división, y el orden de todas es de izquierda a derecha.
\[2(3)+4\]
En este caso, primero se debe hacer la multiplicación y, después, la suma. Si pudiéramos escribir esto con paréntesis sería.
\[(2(3))+4\]
\[6+4=10\]
\[\dfrac{4}{2}(3)+2\]
En este caso, la primera operación a hacer es la división de \(4\) entre \(2\), de izquierda a derecha. Después, el resultado será multiplicado por \(3\) y se le sumará \(2\). Si pudiéramos escribir esto con paréntesis tendríamos:
\[\dfrac{4}{2} 3 +2\]
\[2(3)=6\]
\[6+2=8\]
Relaciones entre los números enteros y los decimales
Hay algunas curiosidades entre los enteros y una de ellas es que uno podría pensar que los números enteros son números sin decimales; sin embargo, pueden ser expresados con decimales de las siguientes maneras, por ejemplo:
Estos números son enteros, su decimal es cero y, aunque parezca contradictorio, no lo es: un cero como decimal indica ausencia, en este caso, ausencia de decimales.
Otra relación importante es que los enteros están formados por números con decimales y existe una forma infinita de producirlos. Por ejemplo:
\[5=4,5+0,5\]
\[5=4,55+0,45\]
\[5=4,555+0,445\]
¿Cuántas otras formas se te ocurren de producir el número cinco?
Números enteros - Puntos clave
- Los números enteros son números que son positivos, cero o negativos.
- El resultado de sumar, restar o multiplicar números enteros es siempre un número entero.
- Los números enteros consecutivos son números enteros que se suceden en una secuencia, o en un orden, sin espacios.
- Un conjunto de números enteros se denota por \(\mathbb{Z}\).
- No siempre se puede tener un número entero cuando se dividen dos enteros.
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