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La recta real

La recta real

Como ya sabes, los números están ordenados. Si contamos los números naturales con el \(0\): empezamos por este, luego vendría el \(1\), después el \(2\) y así, sucesivamente. Si contamos los números enteros, también sabemos la ordenación de estos; así como la de los números racionales e irracionales. Sin embargo, a veces tenemos operaciones o funciones en los que la representación de los números nos facilita los cálculos. Por ejemplo, los números los podemos representar en lo que se conoce como la recta real.

¿Qué es la recta real?

La recta real es la representación gráfica del espacio donde viven los números reales. Este espacio tiene una sola dimensión, ya que solo se extiende a lo largo.

La recta real tiene las siguientes características:

  • Es infinita: los números reales van desde el \(-\infty\) hasta el \(\infty\).
  • La cantidad de números reales entre dos números reales es infinita (densidad); esto se debe a que entre los números \(a\) y \(b\) puede haber una infinidad de números reales. Por ejemplo, entre \(1\) y \(2\) puede dividirse en segmentos de \(0,1\), pero también de \(0,001\) y de \(0,0001\), hasta el infinito.
  • La recta real no tiene agujeros.
  • La recta real tiene dos direcciones: una negativa del cero a la izquierda y una positiva del cero a la derecha.
  • En la recta real se pueden encontrar los números enteros, negativos y positivos, decimales, irracionales, fraccionarios y el cero.
  • El número cero divide a la recta real en dos partes iguales.

¿Cómo se representa gráficamente en la recta real?

La recta real se representa como una recta en la que se marcan el \(0\) y, a su derecha, el 1. Podemos decir que cada punto de la recta corresponde a un número real y a cada número real le corresponde solo un punto de la recta real. De este modo, se correlacionan los números reales con la recta real de manera inequívoca.

La recta real, representación gráfica de la recta real, StudySmarterFig. 1. Representación de la recta real, con el \(0\) y el \(1\) marcados.

Representa el valor \(s=-15\) en la recta real.

Solución

Para esto, simplemente encontramos el valor de \(x=-15\), que es \(15\) veces la distancia entre el \(0\) y el \(1\).

La recta real, representación de números enteros en la recta real, StudySmarterFig. 2. Representación del número \(15\) en la recta real.

¿Cómo se pueden representar los números enteros en la recta real?

Los enteros se representan como puntos en la recta real; estos puntos son:

  • Equidistantes entre sí.

  • El punto anterior y posterior son iguales a \(n-1\) y \(n+1\), donde \(n\) es el punto actual.

  • Tienen un equivalente negativo o positivo, dependiendo del número; por ejemplo, por cada entero \(a\) positivo, existe el mismo punto en la recta pero negativo \(-a\).

Representa el \(-4\) en la recta real.

Solución

Podemos hacerlo de dos maneras:

  • Representar el número \(1\) y movernos a la derecha del \(0\), la distancia entre el \(0\) y \(1\) por \(4\) veces.
  • Representar el número \(4\) y, con un compás, obtener el opuesto con centro en el \(0\).

¿Cómo se representan los números racionales en la recta real?

Los números racionales son aquellos que pueden ser presentados como el cociente de dos enteros \({{a}\over{b}}\).

Para representar números racionales en la recta real, podemos ayudarnos del teorema de Tales. Creamos un segmento, que dividimos en tantas partes como necesitemos; después, unimos el \(1\) al punto que representa la unidad en este segmento. Por último, trazamos un segmento paralelo a este segmento que hemos trazado en primer lugar. El lugar donde corte este último segmento con la recta real será la representación de nuestro número racional en la recta real.

Representa en la recta el real el número racional \(\dfrac{4}{3}\).

Solución

Procedemos tal como acabamos de mencionar:

  1. En este caso, dividimos un segmento en 4 partes.
  2. Como el número es el \(\dfrac{4}{3}\), entonces la unidad corresponde al \(\dfrac{3}{3}\); es decir, el tercer punto en nuestro segmento.
  3. Unimos este punto con el 1.
  4. Finalmente, trazamos un segmento paralelo a este; donde corte con la recta real, será la representación gráfica del \(\dfrac{4}{3}\).

La recta real, representación gráfica de números racionales, StudySmarterFig. 3. Representación de \(\frac{4}{3}\) usando el teorema de Tales.

¿Cómo se representa un número irracional en la recta real?

Solo se pueden representar en la recta real algunos números irracionales: los que corresponden a operaciones con números enteros; como, por ejemplo, raíces de números naturales. Para representar números irracionales que son raíces de números naturales, usamos el teorema de Pitágoras.

Representa en la recta real el \(\sqrt{2}\).

Solución

Como hemos dicho, al ser una raíz de un número natural, podemos usar el teorema de Pitágoras. En este caso, \(\sqrt{2}\) es la hipotenusa de un triángulo de catetos de longitud \(1\).

Representamos, entonces, este triángulo y con un compás llevamos el vértice de la hipotenusa sobre la recta real. Este será el punto de la recta real que corresponde a \(\sqrt{2}\).

La recta real, representación de números irracionales, StudySmarterFig. 4. Representación de un número irracional en la recta real utilizando el teorema de Pitágoras.

Hay números que no se pueden representar como una fracción, un ejemplo de ellos es el número de Euler \(e\) o el numero pi \(\pi\). Estos números tienen una parte decimal infinita, de la cual no se sabe su patrón.

Hasta el momento, se han calculado 31,4 trillones de decimales del numero \(\pi\) pi.

La recta real - Puntos clave

  • La recta real es la representación gráfica del espacio donde viven los reales; este espacio tiene una sola dimensión, ya que solo se extiende a lo largo.
  • Los números se representan como puntos en la recta real.
  • Los números enteros se representan como puntos a una distancia tantas veces como la distancia entre el \(0\) y el \(1\).
  • Los números racionales pueden representarse en la recta real con ayuda del teorema de Tales.
  • Algunos números irracionales, como las raíces de números naturales, pueden representarse en la recta real utilizando el teorema de Pitágoras. No todos los números irracionales se pueden representar exactamente en la recta real, aunque tienen su punto exacto e inequívoco.

Preguntas frecuentes sobre La recta real

La recta real es la representación gráfica del espacio donde viven los reales; este espacio tiene una sola dimensión.

Para representar un número en la recta real, primero se debe determinar si es entero, racional o irracional. Entonces:

  • Si es entero, el número estará tantas veces como sea el número por la distancia entre el 0 y el 1.
  • Si es racional, ayúdate del teorema de Tales.
  • Si es irracional, raíz de un número natural, puedes usar el teorema de Pitágoras.

Los enteros se representan como puntos en la recta real a una distancia que es múltiplo de la distancia entre el 0 y el 1.

Los racionales se pueden representar en la recta real utilizando el teorema de Tales.

Los números irracionales, si son raíces de números naturales, pueden representarte usando el teorema de Pitágoras.

Cuestionario final de La recta real

Pregunta

¿Cuál es la representación gráfica del espacio donde viven los números reales?

Mostrar respuesta

Answer

La recta real.

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Pregunta

¿Cuáles son los límites de la recta real?

Mostrar respuesta

Answer

De \(-\infty\) a \(\infty\).

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Pregunta

¿Cuántos números reales existen entre dos números \(a\) y \(b\)?

Mostrar respuesta

Answer

Infinitos.

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Pregunta

¿Cuál sí es una característica de la recta real?

Mostrar respuesta

Answer

Tiene agujeros.

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Pregunta

¿Cuál no es una característica de la recta real?

Mostrar respuesta

Answer

En ella puedes encontrar los números complejos.

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Pregunta

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas para los enteros en la recta real?

Mostrar respuesta

Answer

Todas son correctas.

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Pregunta

¿Qué son los números racionales?

Mostrar respuesta

Answer

Son números que se pueden representar como el cociente de dos números \(a\) y \(b\) como \({{a}\over{b}}\).

Show question

Pregunta

¿Se pueden representar los números irracionales en la recta real?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, debido a que son números reales.

Show question

Pregunta

¿Cómo se representan los números en la recta real?

Mostrar respuesta

Answer

Como puntos.

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Pregunta

¿Se pueden representar los números con decimales en la recta real?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, debido a que pertenecen al conjunto de los números reales.

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Pregunta

¿Cuántos enteros positivos hay entre \(-2\) y \(7\)? (ambos, inclusive)

Mostrar respuesta

Answer

Siete.

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Pregunta

¿Cuántos números reales hay entre \(1\) y \(2\)?

Mostrar respuesta

Answer

Infinitos.

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Pregunta

¿Es el \(3\) un número racional? ¿Por qué?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, lo es; ya que puede ser expresado como la fracción de dos números \({{9}\over{3}}\).

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Pregunta

¿Es el \(4\) un número racional? ¿por qué?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, lo es; ya que puede ser expresado como una fracción de dos números \({{16}\over{4}}\).

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Pregunta

¿Es el número de Euler un número racional? ¿Por qué?

Mostrar respuesta

Answer

No, ya que no puede expresarse como la fracción de dos números.

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