La recta real

Como ya sabes, los números están ordenados. Si contamos los números naturales con el \(0\): empezamos por este, luego vendría el \(1\), después el \(2\) y así, sucesivamente. Si contamos los números enteros, también sabemos la ordenación de estos; así como la de los números racionales e irracionales. Sin embargo, a veces tenemos operaciones o funciones en los que la representación de los números nos facilita los cálculos. Por ejemplo, los números los podemos representar en lo que se conoce como la recta real.

• En este artículo te explicaremos en primer lugar qué es la recta real.
• Después veremos cómo se representa gráficamente en la recta real.
• Aprenderemos cómo se representan en la recta real los números enteros, los números racionales y los números irracionales.

¿Qué es la recta real?

La recta real tiene las siguientes características:

• Es infinita: los números reales van desde el \(-\infty\) hasta el \(\infty\).
• La cantidad de números reales entre dos números reales es infinita (densidad); esto se debe a que entre los números \(a\) y \(b\) puede haber una infinidad de números reales. Por ejemplo, entre \(1\) y \(2\) puede dividirse en segmentos de \(0,1\), pero también de \(0,001\) y de \(0,0001\), hasta el infinito.
• La recta real no tiene agujeros.
• La recta real tiene dos direcciones: una negativa —del cero a la izquierda— y una positiva —del cero a la derecha—.
• En la recta real se pueden encontrar los números enteros, negativos y positivos, decimales, irracionales, fraccionarios y el cero.
• El número cero divide a la recta real en dos partes iguales.

¿Cómo se representa gráficamente en la recta real?

La recta real se representa como una recta en la que se marcan el \(0\) y, a su derecha, el 1. Podemos decir que cada punto de la recta corresponde a un número real y a cada número real le corresponde solo un punto de la recta real. De este modo, se correlacionan los números reales con la recta real de manera inequívoca.

Fig. 1. Representación de la recta real, con el \(0\) y el \(1\) marcados.

¿Cómo se pueden representar los números enteros en la recta real?

Los enteros se representan como puntos en la recta real; estos puntos son:

• Equidistantes entre sí.

• El punto anterior y posterior son iguales a \(n-1\) y \(n+1\), donde \(n\) es el punto actual.

• Tienen un equivalente negativo o positivo, dependiendo del número; por ejemplo, por cada entero \(a\) positivo, existe el mismo punto en la recta pero negativo \(-a\).

¿Cómo se representan los números racionales en la recta real?

Para representar números racionales en la recta real, podemos ayudarnos del teorema de Tales. Creamos un segmento, que dividimos en tantas partes como necesitemos; después, unimos el \(1\) al punto que representa la unidad en este segmento. Por último, trazamos un segmento paralelo a este segmento que hemos trazado en primer lugar. El lugar donde corte este último segmento con la recta real será la representación de nuestro número racional en la recta real.

¿Cómo se representa un número irracional en la recta real?

Solo se pueden representar en la recta real algunos números irracionales: los que corresponden a operaciones con números enteros; como, por ejemplo, raíces de números naturales. Para representar números irracionales que son raíces de números naturales, usamos el teorema de Pitágoras.

Hay números que no se pueden representar como una fracción, un ejemplo de ellos es el número de Euler \(e\) o el numero pi \(\pi\). Estos números tienen una parte decimal infinita, de la cual no se sabe su patrón.