Contenidos de aprendizaje
Funciones
Descubra
Si has leído sobre la circunferencia unitaria o sobre integrales o derivadas, seguramente has visto expresiones como \(\sin^2(x)\) o \(2\cos(2\theta)\). Estas expresiones, que parecen bastante complicadas, son llamadas funciones o razones trigonométricas. Sin embargo, estas funciones —que son más complejas que las funciones simples \(\sin(x)\), \(\cos(x)\) y \(\tan(x)\)— se pueden simplificar usando una identidad trigonométrica.
Millones de tarjetas didácticas para ayudarte a sobresalir en tus estudios.
Regístrate gratis¿Cuál es la inversa de la función \(\csc(x)\)?
¿Cuál es la inversa de la función \(\sec(x)\)?
¿Cuál es la suma de ángulos para la función seno?
¿Se puede expresar una suma de funciones trigonométricas como un producto de dos funciones trigonométricas?
¿Es la función \(\dfrac{1}{\sec(x)}\) equivalente a la función \(\cos(x)\)?
¿Qué puedes usar para demostrar una identidad trigonométrica?
¿Qué es una identidad trigonométrica?
¿Cuál es la inversa de la función \(\csc(x)\)?
¿Cuál es la inversa de la función \(\sec(x)\)?
¿Cuál es la suma de ángulos para la función seno?
¿Se puede expresar una suma de funciones trigonométricas como un producto de dos funciones trigonométricas?
¿Es la función \(\dfrac{1}{\sec(x)}\) equivalente a la función \(\cos(x)\)?
¿Qué puedes usar para demostrar una identidad trigonométrica?
¿Qué es una identidad trigonométrica?
Achieve better grades quicker with Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Did you know that StudySmarter supports you beyond learning?
Review generated flashcards
Comienza a aprender o crea tus propias tarjetas de aprendizaje con IA
Equipo de profesores de Demostrar identidades trigonométricas
¡Gracias por su interés en las preferencias de aprendizaje!
¿Qué modo de aprendizaje prefiere? (por ejemplo, « Audio », « Video », « Texto », « Sin preferencia ») (opcional)
Enviar comentariosLas identidades trigonométricas son ecuaciones donde se igualan funciones trigonométricas: relacionan dos funciones trigonométricas distintas entre sí.
Hay una lista grande de identidades trigonométricas, pero las mas básicas relacionan las tres funciones elementales con sus inversas; estas son:
\[\sin(x)=\dfrac{1}{\csc(x)}\]
\[\cos(x)=\dfrac{1}{\sec(x)}\]
\[\tan(x)=\dfrac{1}{\cot(x)}\]
\[\csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}\]
\[\sec(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}\]
\[\cot(x)=\dfrac{1}{\tan(x)}\]
Estas relaciones nos dicen que, para calcular la inversa de las funciones, debes obtener el inverso de la función original.
Veamos un ejemplo muy sencillo al respecto:
Calcula la cosecante del ángulo \(\theta\), si sabes que \(\sin(\theta)=0{,7}071\).
Solución:
Para hacer esto, solo debes usar la fórmula: \(\csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}\).
Así que: si el \(\sin(\theta)=0{,}7071\), la cosecante debe ser:
\[\csc(\theta)=\dfrac{1}{0{,}7071}=1{,}4142\]
De este modo, cada vez que requieras calcular una función trigonométrica, puedes usar una identidad para calcular su inversa.
En realidad cada función trigonométrica se puede expresar en términos de las otras cinco restantes.
Hay otras identidades o razones trigonométricas muy importantes que son las identidades de sumas y diferencias de ángulos; estas tienen la forma \(f=F(a+b)\) o \(f=F(a-b)\) y son:
\[\sin(a\pm b)=\sin(a)\cos(b)\pm\cos(a)\sin(b)\]
\[\cos(a\pm b) =\cos(a)\cos(b)\mp \sin(a)\sin(b)\]
\[\tan(a\pm b)=\dfrac{\tan(a)\pm \tan(b)}{1\mp \tan(a)\tan(b)}\]
Hagamos un ejercicio que lo ejemplifique:
Se tiene la función \(\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)\), donde \(a=\pi\) y \(b=\frac{\pi}{3}\).
Calcula el resultado de esta suma.
Solución:
Podríamos hacer esta suma y sustituir \(a\) y \(b\), en cada parte de la ecuación; pero, también podemos simplemente ir a las identidades y escoger la suma de ángulos en la función \(\sin\).
\[\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)\]
Si hacemos esto, tenemos:
\[\sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}\]
Usando la suma de funciones trigonométricas:
\[\sin(\frac{\pi}{2})\cos(\frac{\pi}{3})+\sin(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{2})\]
El \(\cos(\frac{\pi}{2})=0\), así que el segundo término de nuestra suma se anula y solo tenemos:
\[\sin(\frac{\pi}{2})\cos(\frac{\pi}{3})\]
Ahora, si calculamos \(\sin(\frac{1}{2})=1\) y \(\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}\), por lo cual se tiene:
\[\sin(\frac{\pi}{2})\cos(\frac{\pi}{3})=(1)(\frac{1}{2}))=\frac{1}{2}\]
Evidentemente, ambas relaciones son iguales.
Estas entidades, junto con las seis entidades básicas son muy útiles cuando requieras transformar una función trigonométrica en otra diferente. Muchas veces tendrás que probar que estas conversiones son ciertas, así que te tocará demostrar estas relaciones entre razones trigonométricas para justificar tus respuestas, pero esto lo veremos más adelante. Antes de introducir una demostración, vamos a ver simples transformaciones de sumas a productos.
Hay otras identidades importantes: las sumas de razones o funciones trigonométricas. Empezaremos mencionándolas, luego pasaremos a probar cómo se obtienen.
Empecemos mencionando las identidades fundamentales de la suma a producto de las razones de la función seno.
\[\sin(a)+\sin(b)=2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\]
\[\sin(a)-\sin(b)=2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\]
Demostremos que:
\[\sin(a)+\sin(b)=2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\]
Solución:
Para esto, hagamos que los ángulos \(a\) y \(b\) sean una suma y se dividan entre dos; al final, cualquier número puede ser representado por otros números:
\[A=\frac{a+b}{2}\]
\[B=\frac{a-b}{2}\]
Si despejamos \(a\) y \(b\):
\[a=A+B\]
\[b=A-B\]
Si usamos las identidades que hemos mencionado anteriormente:
\[\sin(a)=\sin(A+B)=\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)\]
\[\sin(b)=\sin(A-B)=\sin(A)\cos(B)-\cos(A)\sin(B)\]
Si sumamos ambos términos:
\[\sin(a)+\sin(b)=\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)+\sin(A)\cos(B)-\cos(A)\sin(B)=\]
\[=2\sin(A)\cos(B)\]
Sustituyendo por \(a\) y \(b\):
\[\sin(a)+\sin(b)=2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\]
La identidad queda demostrada.
Esta misma transformación se puede aplicar para las identidades siguientes:
\[\cos(a)+\cos(b)=2\cos(\frac{a+b}{2})\cos(\frac{a-b}{2})\]
\[\cos(a)-\cos(b)=-2\sin(\frac{a+b}{2})\sin(\frac{a-b}{2}) \]
Pasar de sumas a productos en razones e identidades trigonométricas es el primer paso para empezar con demostraciones trigonométricas propias. Estas pueden ser muy complejas y requerir, incluso, gráficas.
Sin embargo, te daremos una lista de pasos que podrían serte de gran ayuda cuando requieras hacer una demostración trigonométrica:
Paso 1: Identifica si tu argumento se puede descomponer. El argumento de una función es el valor entre los paréntesis de la función \(\sin(x)\); aquí el argumento es \(x\), que se puede descomponer en \(x=a+b\).
Paso 2: Identifica si tu expresión trigonométrica es una sola función o una relación entre funciones. Es distinto si se tiene \(\sin(x)\), que si tienes \(\sin(x)+\cos(y)\). En el primer caso, tienes una sola razón o función trigonométrica; en el segundo, tienes varias.
Paso 3: Apóyate en una tabla de identidades trigonométricas, pues hay muchas; así que es necesario tener tablas a la mano con las más importantes. Algunas ya las has encontrado aquí.
Paso 4: Observa tu función o funciones, sus argumentos y usa álgebra para transformar una expresión en la otra (apoyándote en tu tabla de identidades). Por ejemplo, si ves que tienes la función con argumento \(\cos(x+y)\), deberás buscar en tu tabla su equivalencia (que es la suma de ángulos de la función \(\cos\)) y sustituirlo.
Paso 5: Haz las operaciones necesarias para reducir tus expresiones. Una vez que hayas transformado tus argumentos o funciones para que se parezcan a otra función, debes hacer aritmética y álgebra para simplificar las expresiones.
Revisemos este ejmplo:
Se tiene que la identidad:
\[\sin(x)=\dfrac{\sqrt{\sec(x)^2-1}}{\sec(x)}\]
Comprueba que ambas son iguales.
Solución:
Paso 1: tenemos un solo argumento, y parece ser que dividirlo en dos no nos ayudará, ya que del otro lado tenemos el mismo argumento.
Paso 2: tenemos una sola función que se convierte en dos distintas, así que debemos buscar una expresión que nos permita expandir esta función.
Paso 3: la única expresión en una tabla de identidades que se parece al tener términos al cuadrado es:
\[\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\]
Paso 4: podemos despejar el \(\sin\), esto nos da:
\[\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}\]
Paso 5: esta expresión es más parecida; pero, aún estamos lejos de la original. Sin embargo, sabemos que \(\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}\) o \(\sec^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}\) , así que podemos expresar el lado derecho como:
\[\sin(x)=\dfrac{ \sqrt{\sec^2(x)-1}}{\sec(x)}\]
Por lo cual, esto queda comprobado.
Hay identidades donde necesitarás mucho más trabajo algebraico. Para ello, siempre ten tu tabla de identidades a mano, es muy útil.
Hagamos más ejercicios, para que te acostumbres más a este tipo de operaciones:
Demuestra que la razón trigonométrica \(\cos(x)\) es igual a la siguiente función:
\[\sqrt{1-\sin^2(x)}\]
Solución:
Paso 1: en este caso, tenemos un solo argumento en ambos lados, así que no hay necesidad de transformarlo.
Paso 2: se tienen solo dos funciones de cada lado de la igualdad, así que debería ser necesario buscar una identidad que relacione ambas.
Paso 3: si observas tus tablas, llegamos a la identidad que nace de la circunferencia unitaria \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\).
Paso 4: podemos ver que basta con despejar la función \(\sin(x)\), lo cual nos da:
\[\sin^2(x)=1-\cos^2(x)\]
\[\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}\]
Así demostramos que una es igual a la otra.
Hagamos una demostración de sumas a productos, pero ahora con la función \(\cos\).
Desarrolla la identidad de la suma de cosenos a un producto de funciones trigonométricas:
\[\cos(a)-\cos(b)=f(x)g(x)\]
Solución:
Paso 1: podemos ver que en ambos lados tenemos argumentos que son distintos, así que deberíamos hacer una transformación de ellos. Por lo que definimos \(A=\frac{a+b}{2}\) y \(B=\frac{a-b}{2}\) y, por tanto, \(a=A+B\) y \(b=A-B\). Introducimos los nuevos valores de \(a\) y \(b\):
\[\cos(A+B)-\cos(A-B)=f(x)g(x)\]
Paso 2: tenemos dos funciones de ambos lados, pero son distintas; así que ahora debemos ir al paso 3, ya que no se ve una manera de seguir elaborando.
Paso 3: usando la tabla de identidades, podemos ver que tenemos la identidad del coseno de una suma de argumentos como: \(\cos(a\pm b)=\cos(a)\cos(b)\mp \sin(a)\sin(b)\).
Así que podemos usar esta identidad en nuestra función:
\[\cos(A+B)-\cos(A-B)=\cos(A)\cos(B)+\sin(A)\sin(B)-(\cos(A)\cos(B)+\sin(A)\sin(B))=\]
\[=\cancel{\cos(A)\cos(B)}+\sin(A)\sin(B)-\cancel{\cos(A)\cos(B)}-\sin(A)\sin(B)=\]
\[=-2\sin{A}\sin{B}\]
Si sustituimos los valores de \(A\) y \(B\):
\[\cos(a)-\cos(b)=-2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\]
Finalmente, hemos llegado a convertir la resta de cosenos en una multiplicación de dos funciones; en este caso:
\[f(x)=-2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\]
\[g(x)=\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\]
Regístrate gratis para acceder a todas nuestras tarjetas.
¿Cuáles son las identidades trigonométricas?
Las identidades trigonométricas son ecuaciones donde se igualan funciones trigonométricas. Estás relacionan dos funciones trigonométricas distintas entre sí.
¿Cuáles son las identidades para la suma de ángulos?
sen(a+b)sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)
sen(a-b)=sen(a)cos(b)-sen(b)cos(a)
cos(a+b)=sen(a)sen(b)-cos(a)cos(b)
cos(a-b)=sen(a)sen(b)+cos(a)cos(b)
tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))
tan(a-b)=(tan(1)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))
¿Qué son las transformaciones de las funciones trigonométricas?
Consisten en la transformación de una función trigonométrica a otra equivalente.
¿Cómo expresar una suma como un producto?
Para expresar una suma como un producto, recurrimos a las siguientes identidades:
sen(a)+sen(b)=2sen((a+b)/2)cos((a-b)/2)
cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a+b)/2).
¿Cómo demostrar una identidad trigonométrica?
Para demostrar una identidad trigonométrica, puedes seguir los siguientes pasos:
En StudySmarter, has creado una plataforma de aprendizaje que atiende a millones de estudiantes. Conoce a las personas que trabajan arduamente para ofrecer contenido basado en hechos y garantizar que esté verificado.
Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
Conoce a Lily
Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
Conoce a Gabriel Gabriel
StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.
Aprende másGuarda las explicaciones en tu espacio personalizado y accede a ellas en cualquier momento y lugar.
Regístrate con email Regístrate con AppleAl registrarte aceptas los Términos y condiciones y la Política de privacidad de StudySmarter.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.
La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
La primera plataforma de aprendizaje con todas las herramientas y materiales de estudio que necesitas.
Resumenes 
Flashcards 
StudySmarter AI 
Apuntes 
Plan de estudios 
Sets de estudio 
Repeticion espaciada 
Exámenes 
Magazine 
Hacer carrera 
Formacion Profesional 
Mobile App 
