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Demostrar identidades trigonométricas

Demostrar identidades trigonométricas

Si has leído sobre la circunferencia unitaria o sobre integrales o derivadas, seguramente has visto expresiones como \(\sin^2(x)\) o \(2\cos(2\theta)\). Estas expresiones, que parecen bastante complicadas, son llamadas funciones o razones trigonométricas. Sin embargo, estas funciones que son más complejas que las funciones simples \(\sin(x)\), \(\cos(x)\) y \(\tan(x)\) se pueden simplificar usando una identidad trigonométrica.

Identidades fundamentales trigonométricas

Las identidades trigonométricas son ecuaciones donde se igualan funciones trigonométricas: relacionan dos funciones trigonométricas distintas entre sí.

Hay una lista grande de identidades trigonométricas, pero las mas básicas relacionan las tres funciones elementales con sus inversas; estas son:

\[\sin(x)=\dfrac{1}{\csc(x)}\]

\[\cos(x)=\dfrac{1}{\sec(x)}\]

\[\tan(x)=\dfrac{1}{\cot(x)}\]

\[\csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}\]

\[\sec(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}\]

\[\cot(x)=\dfrac{1}{\tan(x)}\]

Estas relaciones nos dicen que, para calcular la inversa de las funciones, debes obtener el inverso de la función original.

Veamos un ejemplo muy sencillo al respecto:

Calcula la cosecante del ángulo \(\theta\), si sabes que \(\sin(\theta)=0{,7}071\).

Solución:

Para hacer esto, solo debes usar la fórmula: \(\csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}\).

Así que: si el \(\sin(\theta)=0{,}7071\), la cosecante debe ser:

\[\csc(\theta)=\dfrac{1}{0{,}7071}=1{,}4142\]

De este modo, cada vez que requieras calcular una función trigonométrica, puedes usar una identidad para calcular su inversa.

En realidad cada función trigonométrica se puede expresar en términos de las otras cinco restantes.

Identidades trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

Hay otras identidades o razones trigonométricas muy importantes que son las identidades de sumas y diferencias de ángulos; estas tienen la forma \(f=F(a+b)\) o \(f=F(a-b)\) y son:

\[\sin(a\pm b)=\sin(a)\cos(b)\pm\cos(a)\sin(b)\]

\[\cos(a\pm b) =\cos(a)\cos(b)\mp \sin(a)\sin(b)\]

\[\tan(a\pm b)=\dfrac{\tan(a)\pm \tan(b)}{1\mp \tan(a)\tan(b)}\]

Hagamos un ejercicio que lo ejemplifique:

Se tiene la función \(\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)\), donde \(a=\pi\) y \(b=\frac{\pi}{3}\).

Calcula el resultado de esta suma.

Solución:

Podríamos hacer esta suma y sustituir \(a\) y \(b\), en cada parte de la ecuación; pero, también podemos simplemente ir a las identidades y escoger la suma de ángulos en la función \(\sin\).

\[\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)\]

Si hacemos esto, tenemos:

\[\sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}\]

Usando la suma de funciones trigonométricas:

\[\sin(\frac{\pi}{2})\cos(\frac{\pi}{3})+\sin(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{2})\]

El \(\cos(\frac{\pi}{2})=0\), así que el segundo término de nuestra suma se anula y solo tenemos:

\[\sin(\frac{\pi}{2})\cos(\frac{\pi}{3})\]

Ahora, si calculamos \(\sin(\frac{1}{2})=1\) y \(\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}\), por lo cual se tiene:

\[\sin(\frac{\pi}{2})\cos(\frac{\pi}{3})=(1)(\frac{1}{2}))=\frac{1}{2}\]

Evidentemente, ambas relaciones son iguales.

Estas entidades, junto con las seis entidades básicas son muy útiles cuando requieras transformar una función trigonométrica en otra diferente. Muchas veces tendrás que probar que estas conversiones son ciertas, así que te tocará demostrar estas relaciones entre razones trigonométricas para justificar tus respuestas, pero esto lo veremos más adelante. Antes de introducir una demostración, vamos a ver simples transformaciones de sumas a productos.

Transformación de suma a producto trigonometría

Hay otras identidades importantes: las sumas de razones o funciones trigonométricas. Empezaremos mencionándolas, luego pasaremos a probar cómo se obtienen.

Empecemos mencionando las identidades fundamentales de la suma a producto de las razones de la función seno.

\[\sin(a)+\sin(b)=2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\]

\[\sin(a)-\sin(b)=2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\]

Demostremos que:

\[\sin(a)+\sin(b)=2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\]

Solución:

Para esto, hagamos que los ángulos \(a\) y \(b\) sean una suma y se dividan entre dos; al final, cualquier número puede ser representado por otros números:

\[A=\frac{a+b}{2}\]

\[B=\frac{a-b}{2}\]

Si despejamos \(a\) y \(b\):

\[a=A+B\]

\[b=A-B\]

Si usamos las identidades que hemos mencionado anteriormente:

\[\sin(a)=\sin(A+B)=\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)\]

\[\sin(b)=\sin(A-B)=\sin(A)\cos(B)-\cos(A)\sin(B)\]

Si sumamos ambos términos:

\[\sin(a)+\sin(b)=\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)+\sin(A)\cos(B)-\cos(A)\sin(B)=\]

\[=2\sin(A)\cos(B)\]

Sustituyendo por \(a\) y \(b\):

\[\sin(a)+\sin(b)=2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\]

La identidad queda demostrada.

Esta misma transformación se puede aplicar para las identidades siguientes:

\[\cos(a)+\cos(b)=2\cos(\frac{a+b}{2})\cos(\frac{a-b}{2})\]

\[\cos(a)-\cos(b)=-2\sin(\frac{a+b}{2})\sin(\frac{a-b}{2}) \]

Cómo demostrar una identidad trigonométrica

Pasar de sumas a productos en razones e identidades trigonométricas es el primer paso para empezar con demostraciones trigonométricas propias. Estas pueden ser muy complejas y requerir, incluso, gráficas.

Sin embargo, te daremos una lista de pasos que podrían serte de gran ayuda cuando requieras hacer una demostración trigonométrica:

  • Paso 1: Identifica si tu argumento se puede descomponer. El argumento de una función es el valor entre los paréntesis de la función \(\sin(x)\); aquí el argumento es \(x\), que se puede descomponer en \(x=a+b\).

  • Paso 2: Identifica si tu expresión trigonométrica es una sola función o una relación entre funciones. Es distinto si se tiene \(\sin(x)\), que si tienes \(\sin(x)+\cos(y)\). En el primer caso, tienes una sola razón o función trigonométrica; en el segundo, tienes varias.

  • Paso 3: Apóyate en una tabla de identidades trigonométricas, pues hay muchas; así que es necesario tener tablas a la mano con las más importantes. Algunas ya las has encontrado aquí.

  • Paso 4: Observa tu función o funciones, sus argumentos y usa álgebra para transformar una expresión en la otra (apoyándote en tu tabla de identidades). Por ejemplo, si ves que tienes la función con argumento \(\cos(x+y)\), deberás buscar en tu tabla su equivalencia (que es la suma de ángulos de la función \(\cos\)) y sustituirlo.

  • Paso 5: Haz las operaciones necesarias para reducir tus expresiones. Una vez que hayas transformado tus argumentos o funciones para que se parezcan a otra función, debes hacer aritmética y álgebra para simplificar las expresiones.

Revisemos este ejmplo:

Se tiene que la identidad:

\[\sin(x)=\dfrac{\sqrt{\sec(x)^2-1}}{\sec(x)}\]

Comprueba que ambas son iguales.

Solución:

Paso 1: tenemos un solo argumento, y parece ser que dividirlo en dos no nos ayudará, ya que del otro lado tenemos el mismo argumento.

Paso 2: tenemos una sola función que se convierte en dos distintas, así que debemos buscar una expresión que nos permita expandir esta función.

Paso 3: la única expresión en una tabla de identidades que se parece al tener términos al cuadrado es:

\[\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\]

Paso 4: podemos despejar el \(\sin\), esto nos da:

\[\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}\]

Paso 5: esta expresión es más parecida; pero, aún estamos lejos de la original. Sin embargo, sabemos que \(\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}\) o \(\sec^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}\) , así que podemos expresar el lado derecho como:

\[\sin(x)=\dfrac{ \sqrt{\sec^2(x)-1}}{\sec(x)}\]

Por lo cual, esto queda comprobado.

Hay identidades donde necesitarás mucho más trabajo algebraico. Para ello, siempre ten tu tabla de identidades a mano, es muy útil.

Ejercicios de demostrar identidades trigonométricas

Hagamos más ejercicios, para que te acostumbres más a este tipo de operaciones:

Demuestra que la razón trigonométrica \(\cos(x)\) es igual a la siguiente función:

\[\sqrt{1-\sin^2(x)}\]

Solución:

Paso 1: en este caso, tenemos un solo argumento en ambos lados, así que no hay necesidad de transformarlo.

Paso 2: se tienen solo dos funciones de cada lado de la igualdad, así que debería ser necesario buscar una identidad que relacione ambas.

Paso 3: si observas tus tablas, llegamos a la identidad que nace de la circunferencia unitaria \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\).

Paso 4: podemos ver que basta con despejar la función \(\sin(x)\), lo cual nos da:

\[\sin^2(x)=1-\cos^2(x)\]

\[\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}\]

Así demostramos que una es igual a la otra.

Hagamos una demostración de sumas a productos, pero ahora con la función \(\cos\).

Desarrolla la identidad de la suma de cosenos a un producto de funciones trigonométricas:

\[\cos(a)-\cos(b)=f(x)g(x)\]

Solución:

Paso 1: podemos ver que en ambos lados tenemos argumentos que son distintos, así que deberíamos hacer una transformación de ellos. Por lo que definimos \(A=\frac{a+b}{2}\) y \(B=\frac{a-b}{2}\) y, por tanto, \(a=A+B\) y \(b=A-B\). Introducimos los nuevos valores de \(a\) y \(b\):

\[\cos(A+B)-\cos(A-B)=f(x)g(x)\]

Paso 2: tenemos dos funciones de ambos lados, pero son distintas; así que ahora debemos ir al paso 3, ya que no se ve una manera de seguir elaborando.

Paso 3: usando la tabla de identidades, podemos ver que tenemos la identidad del coseno de una suma de argumentos como: \(\cos(a\pm b)=\cos(a)\cos(b)\mp \sin(a)\sin(b)\).

Así que podemos usar esta identidad en nuestra función:

\[\cos(A+B)-\cos(A-B)=\cos(A)\cos(B)+\sin(A)\sin(B)-(\cos(A)\cos(B)+\sin(A)\sin(B))=\]

\[=\cancel{\cos(A)\cos(B)}+\sin(A)\sin(B)-\cancel{\cos(A)\cos(B)}-\sin(A)\sin(B)=\]

\[=-2\sin{A}\sin{B}\]

Si sustituimos los valores de \(A\) y \(B\):

\[\cos(a)-\cos(b)=-2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\]

Finalmente, hemos llegado a convertir la resta de cosenos en una multiplicación de dos funciones; en este caso:

\[f(x)=-2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\]

\[g(x)=\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\]

Demostración de una identidad - Puntos clave

  • Las identidades trigonométricas son ecuaciones donde se igualan funciones trigonométricas: se relacionan dos funciones trigonométricas distintas entre sí.
  • Hay otras identidades o razones trigonométricas muy importantes: las identidades de sumas y diferencias de ángulos. Estas tienen la forma \(f=F(a+b)\) o \(f=(a-b)\).
  • Los pasos que podrían serte de gran ayuda cuando requieras hacer una demostración trigonométrica es:
    • Paso 1: identifica si tu argumento puede ser descompuesto.
    • Paso 2: identifica si tu expresión trigonométrica es una sola función o una relación entre funciones.
    • Paso 3: apóyate en una tabla de identidades trigonométricas.
    • Paso 4: observa tu función o funciones, sus argumentos y usa álgebra para transformar una expresión en la otra (apoyándote en tu tabla de identidades).
    • Paso 5: haz las operaciones necesarias para reducir tus expresiones.

Preguntas frecuentes sobre Demostrar identidades trigonométricas

Las identidades trigonométricas son ecuaciones donde se igualan funciones trigonométricas. Estás relacionan dos funciones trigonométricas distintas entre sí.

sen(a+b)sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)

sen(a-b)=sen(a)cos(b)-sen(b)cos(a)

cos(a+b)=sen(a)sen(b)-cos(a)cos(b)

cos(a-b)=sen(a)sen(b)+cos(a)cos(b)

tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))

tan(a-b)=(tan(1)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))

Consisten en la transformación de una función trigonométrica a otra equivalente.

Para expresar una suma como un producto, recurrimos a las siguientes identidades:

sen(a)+sen(b)=2sen((a+b)/2)cos((a-b)/2)

cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a+b)/2).

Para demostrar una identidad trigonométrica, puedes seguir los siguientes pasos:

  • Paso 1: Identifica si tu argumento se puede descomponer. 
  • Paso 2: Identifica si tu expresión trigonométrica es una sola función o una relación entre funciones.
  • Paso 3: Apóyate en una tabla de identidades trigonométricas. 
  • Paso 4: Observa tu función o funciones, sus argumentos y usa álgebra para transformar una expresión en la otra (apoyándote en tu tabla de identidades).
  • Paso 5: Haz las operaciones necesarias para reducir tus expresiones.

Cuestionario final de Demostrar identidades trigonométricas

Pregunta

¿Qué es una identidad trigonométrica?

Mostrar respuesta

Answer

Una igualdad que relaciona dos funciones trigonométricas.

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Pregunta

¿Es \(\cos^2(x)-\sin^2(x)=1\) una identidad trigonométrica?

Mostrar respuesta

Answer

No.

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Pregunta

¿Cuál es la inversa de la función \(\csc(x)\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(\cos(x)\).

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Pregunta

¿Cuál es la inversa de la función \(\sec(x)\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(\cos(x)\).

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Pregunta

¿Cuál es la forma de la función \(\tan(x)\), cuando se expresa en términos de las funciones \(\sin\) y \(\cos\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\).

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Pregunta

¿Cuál es la forma de la función \(\cot(x)\), cuando se expresa en términos de las funciones \(\sin\) y \(\cos\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(\cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es la suma de ángulos para la función seno?

Mostrar respuesta

Answer

\(\sin(a+b)\).

Show question

Pregunta

¿Se puede expresar una suma de funciones trigonométricas como un producto de dos funciones trigonométricas?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, usando identidades trigonométricas.

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Pregunta

¿Es la función \(\dfrac{1}{\sec(x)}\) equivalente a la función \(\cos(x)\)?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, debido a que es la inversa de la función.

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Pregunta

¿Es la función \(\dfrac{1}{\cot(x)}\) equivalente a la función \(\dfrac {\sin(x)}{\cos(x)}\)?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, ya que la función \(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\) es igual a \(\tan(x)\) y \(\tan(x)=\dfrac{1}{\cot(x)}\).

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Pregunta

Transforma la función \(\cos(x)\) en \(\sqrt{1-\sin^2(x)}\).

Mostrar respuesta

Answer

Para hacer esto, debemos usar la identidad \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\). 

  • Primero: despejamos \(\sin^2(x)\), con lo cual tenemos:  \(\cos^2(x)=1-\sin^2(x)\).
  • Segundo: ahora tenemos que aplicar la raíz y tenemos: \(\cos(x)=\sqrt{1-\sin^2(x)}\).

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Pregunta

Encuentra una tabla de identidades y suma las identidades de la suma de ángulos y diferencia de ángulos del seno. ¿Cuál es el resultado?

Mostrar respuesta

Answer

\(2\sin(a)\cos(b)\).

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Pregunta

¿Es una función trigonométrica lo mismo que una razón trigonométrica?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, son sinónimos.

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Pregunta

Encuentra una tabla de identidades y resta las identidades de la suma de ángulos y diferencia de ángulos del seno. ¿Cuál es el resultado?


Mostrar respuesta

Answer

\(2\sin(b)\cos(a)\).

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Pregunta

¿Qué puedes usar para demostrar una identidad trigonométrica?

Mostrar respuesta

Answer

Tabla de integrales.

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