Demostrar identidades trigonométricas

Se tiene la función \(\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)\), donde \(a=\pi\) y \(b=\frac{\pi}{3}\).

Calcula el resultado de esta suma.

Solución:

Podríamos hacer esta suma y sustituir \(a\) y \(b\), en cada parte de la ecuación; pero, también podemos simplemente ir a las identidades y escoger la suma de ángulos en la función \(\sin\).

\[\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)\]

Si hacemos esto, tenemos:

\[\sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}\]

Usando la suma de funciones trigonométricas:

\[\sin(\frac{\pi}{2})\cos(\frac{\pi}{3})+\sin(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{2})\]

El \(\cos(\frac{\pi}{2})=0\), así que el segundo término de nuestra suma se anula y solo tenemos:

\[\sin(\frac{\pi}{2})\cos(\frac{\pi}{3})\]

Ahora, si calculamos \(\sin(\frac{1}{2})=1\) y \(\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}\), por lo cual se tiene:

\[\sin(\frac{\pi}{2})\cos(\frac{\pi}{3})=(1)(\frac{1}{2}))=\frac{1}{2}\]

Evidentemente, ambas relaciones son iguales.

Demostremos que:

\[\sin(a)+\sin(b)=2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\]

Solución:

Para esto, hagamos que los ángulos \(a\) y \(b\) sean una suma y se dividan entre dos; al final, cualquier número puede ser representado por otros números:

\[A=\frac{a+b}{2}\]

\[B=\frac{a-b}{2}\]

Si despejamos \(a\) y \(b\):

\[a=A+B\]

\[b=A-B\]

Si usamos las identidades que hemos mencionado anteriormente:

\[\sin(a)=\sin(A+B)=\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)\]

\[\sin(b)=\sin(A-B)=\sin(A)\cos(B)-\cos(A)\sin(B)\]

Si sumamos ambos términos:

\[\sin(a)+\sin(b)=\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)+\sin(A)\cos(B)-\cos(A)\sin(B)=\]

\[=2\sin(A)\cos(B)\]

Sustituyendo por \(a\) y \(b\):

\[\sin(a)+\sin(b)=2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\]

La identidad queda demostrada.

Se tiene que la identidad:

\[\sin(x)=\dfrac{\sqrt{\sec(x)^2-1}}{\sec(x)}\]

Comprueba que ambas son iguales.

Solución:

Paso 1: tenemos un solo argumento, y parece ser que dividirlo en dos no nos ayudará, ya que del otro lado tenemos el mismo argumento.

Paso 2: tenemos una sola función que se convierte en dos distintas, así que debemos buscar una expresión que nos permita expandir esta función.

Paso 3: la única expresión en una tabla de identidades que se parece al tener términos al cuadrado es:

\[\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\]

Paso 4: podemos despejar el \(\sin\), esto nos da:

\[\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}\]

Paso 5: esta expresión es más parecida; pero, aún estamos lejos de la original. Sin embargo, sabemos que \(\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}\) o \(\sec^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}\) , así que podemos expresar el lado derecho como:

\[\sin(x)=\dfrac{ \sqrt{\sec^2(x)-1}}{\sec(x)}\]

Por lo cual, esto queda comprobado.

Demuestra que la razón trigonométrica \(\cos(x)\) es igual a la siguiente función:

\[\sqrt{1-\sin^2(x)}\]

Solución:

Paso 1: en este caso, tenemos un solo argumento en ambos lados, así que no hay necesidad de transformarlo.

Paso 2: se tienen solo dos funciones de cada lado de la igualdad, así que debería ser necesario buscar una identidad que relacione ambas.

Paso 3: si observas tus tablas, llegamos a la identidad que nace de la circunferencia unitaria \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\).

Paso 4: podemos ver que basta con despejar la función \(\sin(x)\), lo cual nos da:

\[\sin^2(x)=1-\cos^2(x)\]

\[\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}\]

Así demostramos que una es igual a la otra.

Desarrolla la identidad de la suma de cosenos a un producto de funciones trigonométricas:

\[\cos(a)-\cos(b)=f(x)g(x)\]

Solución:

Paso 1: podemos ver que en ambos lados tenemos argumentos que son distintos, así que deberíamos hacer una transformación de ellos. Por lo que definimos \(A=\frac{a+b}{2}\) y \(B=\frac{a-b}{2}\) y, por tanto, \(a=A+B\) y \(b=A-B\). Introducimos los nuevos valores de \(a\) y \(b\):

\[\cos(A+B)-\cos(A-B)=f(x)g(x)\]

Paso 2: tenemos dos funciones de ambos lados, pero son distintas; así que ahora debemos ir al paso 3, ya que no se ve una manera de seguir elaborando.

Paso 3: usando la tabla de identidades, podemos ver que tenemos la identidad del coseno de una suma de argumentos como: \(\cos(a\pm b)=\cos(a)\cos(b)\mp \sin(a)\sin(b)\).

Así que podemos usar esta identidad en nuestra función:

\[\cos(A+B)-\cos(A-B)=\cos(A)\cos(B)+\sin(A)\sin(B)-(\cos(A)\cos(B)+\sin(A)\sin(B))=\]

\[=\cancel{\cos(A)\cos(B)}+\sin(A)\sin(B)-\cancel{\cos(A)\cos(B)}-\sin(A)\sin(B)=\]

\[=-2\sin{A}\sin{B}\]

Si sustituimos los valores de \(A\) y \(B\):

\[\cos(a)-\cos(b)=-2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\]

Finalmente, hemos llegado a convertir la resta de cosenos en una multiplicación de dos funciones; en este caso:

\[f(x)=-2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\]

\[g(x)=\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\]