"Si hoy es fin de semana; entonces, mañana debe ser un día de entre semana". Frases como la anterior pueden ser ciertas o falsas, lo cual las hace perfectas para hacer una demostración de prueba por deducción.
Para ello, puedes separar la frase en dos partes: primero, "hoy es fin de semana" \(A\); segundo, "mañana debe ser un día de entre semana" \(B\). Matemáticamente, puedes escribir esto como:
\[A \rightarrow B\]
donde:
\[\rightarrow\]
es el símbolo que significa “por lo tanto”.
Lógica deductiva
La lógica deductiva es el proceso por el cual se llegan a conclusiones usando una serie de ideas que deben ser ciertas.
¿Suena complicado? Probablemente; pero, veamos de manera más sencilla qué significa esto con un ejemplo.
Se tienen dos ideas principales:
- “Todas las personas respiran”.
- “Mario es una persona”.
Tú sabes (y es de sentido común) que todas las personas respiran. Por lo tanto, la primera idea es cierta. Si además sabes que Mario (un amigo tuyo) es una persona, entonces él debe respirar. Por lo tanto, puedes decir:
“Mario respira”.
Esta es una deducción lógica:
- Tienes dos ideas llamadas argumentos o premisas.
- Estas se relacionan entre sí.
- De acuerdo con ello, llegas a una conclusión que debe ser cierta.
Razonamiento deductivo
El razonamiento deductivo es, básicamente, el proceso por el cual se piensa acerca de algo. Como mencionamos anteriormente, se tienen enunciados y estos se unen para saber si otra idea es verdadera o falsa. Al escuchar la palabra ”enunciados”, probablemente creas que esto no se usa en matemáticas; pero, hay muchos problemas en los que podrías necesitarlos. Por ejemplo, para comprobar un resultado:
“La raíz de un número negativo no existe”.
Por el momento, no explicaremos más sobre qué es existencia, o raíces; aunque, siempre puedes leer nuestro artículo Potencias y raíces.
Supongamos que tienes una ecuación como la siguiente: \[\sqrt{x^{2}-4xy^{3}}\]
Se te dice que los números \(x\) y \(y\) son iguales a \(x=2\), \(y=3\), y que el resultado de esta ecuación es un número real.
Entonces, al sustituir ambos valores en la ecuación original, obtendrías:
\[\sqrt{4-216}\]
\[\sqrt{-212}\]
Este resultado es, de hecho, incorrecto. ¿Pero, por qué? Bueno, veamos detenidamente y deduciremos el porqué.
Hay varios Tipos de números, dos de ellos son los reales y los imaginarios. Para poder hacer el ejemplo sencillo, digamos que:
- Los números imaginarios son aquellos que resultan de una raíz cuadrada o par que es negativa, como:
\[\sqrt[4]{-5}\]
\[\sqrt[2]{-5.34}\]
- Los Números reales, por otra parte, tienen una raíz cuadrada o par positiva, como:
\[\sqrt[4]{612}\]
\[\sqrt[2]{4.8}\]
Una vez definido esto, podemos regresar al problema y lo que nos dice: “La siguiente ecuación tiene como resultado un número real”: \(\sqrt[2]{x^{2}-4xy^{3}}\).
Sin embargo, al sustituir los valores, obtenemos: \(\sqrt[2]{-212}\).
Por tanto, si "Los Números reales tienen una raíz cuadrada o par positiva”, entonces el resultado contradice la idea de que “el resultado de la ecuación debe ser un número real”.
Por ende, deducimos que el resultado que obtuvimos es equivocado y, por tanto, deducimos que los números \(x=2\), \(y=3\) están equivocados.
Parece algo largo, ¿no es cierto? Pero, la verdad es que tú usas el razonamiento deductivo todos los días, solo que lo haces automáticamente. En los siguientes párrafos explicaremos más sobre la deducción y te daremos más ejemplos de ello. Recuerda que la deducción es muy útil para poder, no solo comparar resultados, sino también algo llamado “argumentos”.
Este tipo de pensamiento, como ya vimos, se puede usar para comprobar resultados o ideas; es por esto que se usa como un método de demostración lógica en matemáticas.
La deducción es muy importante en ciencia y tecnología, ya que es la base del método científico. El método se podría resumir de la siguiente manera:
- Se analizan las ideas principales —que se supone que son ciertas, en todo caso—.
- Se plantea una hipótesis o se obtiene una idea extra. Una hipótesis, es simplemente, otra idea que surge de otras observaciones o de algún experimento.
- La nueva idea o hipótesis se comprueba contra las ideas principales. En caso de ser falsa, se hace una nueva hipótesis; en caso de ser verdadera, se considera comprobada.
Cabe aclarar que el proceso es más complicado, pero no entraremos en tantos detalles; de momento, esta es la explicación más simple que puedes usar.
¿Qué es una demostración por deducción?
Una demostración por deducción es un argumento en el que la certeza de que sea cierto depende de la certeza de que cada parte del argumento sea cierta \((A:B)\). También depende de la robustez lógica que conecta cada parte del argumento.
Veamos un ejemplo:
El argumento \(A\): “Si hoy es fin de semana”, nos da dos posibles respuestas: sábado o domingo, ya que estos son los dos días posibles para que la afirmación sea cierta.
Por otra parte, tenemos el argumento \(B\): "entonces, mañana será un día de entre semana".
Ahora, usamos las posibles respuestas de los argumentos \(A\) y \(B\), para poder probar la lógica del argumento principal:
- Si hoy es sábado, mañana es domingo. Como el domingo sigue siendo fin de semana, esto hace el argumento falso.
- En cambio, si fuese domingo, el argumento sería cierto.
Debido a esto, la lógica del argumento es débil, ya que depende de \(A\) y esto no siempre es cierto.
En matemáticas, los argumentos tienden a dar respuestas más concluyentes, ya que los números no se prestan a interpretaciones. Para demostrar un argumento matemático —también conocido como conjetura por deducción—, necesitas una base fuerte de lógica y axiomas matemáticos.
Los axiomas matemáticos son los conceptos que definen un argumento.
Las demostraciones por deducción son uno de los tipos de demostraciones, también existen las demostraciones por contraejemplo y por casos o agotamiento.
Demostraciones usando deducción matemática
Para hacer una deducción matemática, debes:
- Considerar la lógica de la conjetura.
- Expresar los axiomas como una expresión matemática, cuando sea posible.
- Analizar el problema y, de este modo, observar si la conjetura es lógica.
- Expresar concluyentemente si la conjetura es cierta o falsa.
Expresando axiomas matemáticamente
A pesar de que muchas de estas expresiones algebraicas son familiares para ti, siempre es bueno revisarlas nuevamente, para que podamos expresar los axiomas correctamente. Por lo tanto, debemos tener claras las siguientes reglas:
Aquí hay una aclaración: \[c\in R\], lo cual significa que se define como cualquier número que existe en los reales.
1. Para expresar múltiplos de números, en términos de una variable/constante \(A\), podemos hacer \(An\).
Expresa \(n\) como un múltiplo de \(12\).
Solución
\(A\) es \(12\); entonces, la respuesta es \(12n\).
2. Para expresar dos números consecutivos, puedes empezar con \(n\) (o cualquier otro punto) y añadir sucesivamente valores \(n+1\), \(n+2\), etc.
Expresa los dos números consecutivos después de \(x^2\).
Solución
Para obtener los dos números consecutivos, necesitas añadir \(1\) y \(2\) al término.
El primer número sería:
\[x^2\]
El segundo sería:
\[x^2+1\]
El tercero sería:
\[x^2+2\]
3. Para expresar números consecutivos que son pares, podemos expresarlo como \(2n\), empezando con \(n=0\).
Así, obtendríamos: \(0\), \(2\), \(4\)...
4. Para expresar números consecutivos que son impares, podemos expresarlo como \(2n+1\), empezando con \(n=0\).
Así obtendríamos: \(1\), \(3\), \(5\)...
Otro proceso importante es el de inducción matemática. Este proceso, al igual que la deducción, permite demostrar enunciados matemáticos. Pero, en el caso de la inducción, se comienza por un caso inicial y se sigue a uno general.
“\(2n\) es un número par si \(n\) es un entero”. En este caso, la idea, argumento o premisa es “es un número par si \(n\) es un entero”.
La pregunta, entonces, sería: ¿es esto cierto para cualquier \(n\)?
Solución La inducción nos dice que debemos ir de un caso inicial, supongamos \(n=1\). ¿Es, entonces, \(2n\) un número par? Comprobemos:
\(2(1)=2\) y, sí, es un número par. Pero, este es un caso inicial.
Sigamos con \(n=2\): \(2(2)=4\) también es un número par.
Si seguimos con \(n=3\), \(2(3)=6\) también es par; y si seguimos con \(n=4; n=5;...\) obtendremos \(2n\), que es par.
Lo que se hace en este caso es llegar a una idea general que nos permita saber si esto será siempre cierto; este es el proceso de inducción.
Una solución a esto sería proponer que cualquier número par divido por \(2\) tiene un residuo de \(0\). Si vamos a nuestra fórmula de \(2n\) y lo dividimos entre dos, obtendremos que el resultado es:\[\frac{2n}{2}=n\]Debido a que \(n\) es un entero, el residuo es \(0\); así que cualquier \(2n\) es par, mientras \(n\) sea un entero.
Ejemplos de lógica deductiva
Ahora introduciremos algunos ejemplos de pruebas por deducción; con esto, podrás familiarizarte más con el tema.
Demuestra que la suma de dos números consecutivos es equivalente a la resta de los dos números elevados al cuadrado.
Solución
Justo como el problema lo establece, puedes definir estos números como:
\[n, n+1...\]
Ya que se tiene la suma de dos números consecutivos, puedes expresar esto como
\[n+n+1\]
que es
\[2n+1\]
Después, puedes encontrar la diferencia entre sus cuadrados:
\[(n+1)^2-n^2\]
Iguala ambos términos y desarrolla hasta igualar ambas expresiones:
\[2n+1=(n+1)^2-n^2\]
\[2n+1=n^2+1^2+2n-n^2\]
\[2n+1=2n+1\]
Hemos demostrado que ambas expresiones son iguales; por tanto, la premisa inicial es cierta. Para terminar de resolver esta pregunta, debemos ahora escribir la siguiente afirmación: "La suma de dos números consecutivos y la resta de los cuadrados de dos números consecutivos es lo mismo que: \(2n+1\)".
Demuestra que los valores de la siguiente función son siempre positivos:
\[f(x)=x^2+8x+20\]
Solución
Para poder hacer lo que se nos pide, reduzcamos la ecuación completando el cuadrado.
Para completar el cuadrado, utilizamos la expresión notable:
\[(x+a)^2=x^2+2ax+a^2\]
En nuestro caso, podemos identificar \(a\) como:
\[\begin{array}\,x^2+8x+20=x^2+2ax+a^2\\ \Rightarrow 8=2a \\ \Rightarrow a=4\end{array}\]
Por tanto, nuestro binomio al cuadrado será:
\[(x+4)^2\]
Ahora calculamos el término independiente:
\[(x+4)^2=x^2+8x+16\]
Como nosotros tenemos como término independiente un \(20\), para que ambas expresiones sean iguales, tenemos que sumarle un \(4\):
\[(x+4)^2+4=x^2+8x+16+4\]
\[(x+4)^2+4=x^2+8x+20\]
Hemos llegado al binomio de la expresión que teníamos. Ahora podemos deducir que la primera parte es un término al cuadrado \((x+4)^2\), y por tanto siempre será positivo. A esto se le suma \(4\), por lo que el resultado total siempre será positivo. Podemos afirmar que esta expresión es siempre positiva, independientemente del valor de \(x\).
Demostración por deducción - Puntos clave
- La deducción usa ideas para llegar a un resultado. Por ejemplo, si se tiene una idea \(A\) y una idea \(B\), ambas se relacionan para llegar a una conclusión.
- Las pruebas por deducción usan axiomas matemáticos y lógicos para probar si una conjetura es cierta o falsa.
- Puedes expresar varios axiomas algebraicamente, usando Álgebra y Notación Matemática.
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