Cuando resuelves un problema en matemáticas, muchas veces se te da el procedimiento o sabes qué tipo de problema es. Por ejemplo, si se te pide obtener una derivada, puedes ir a tus tablas de derivadas; si se te pide una integral, puedes recurrir a tus tablas de integrales. Asimismo, para obtener un área, cuentas con las fórmulas geométricas y para calcular la probabilidad, tienes el apoyo de las fórmulas de estadísticas, etc.
Pero, ¿qué pasa cuando el tipo de problema no resulta evidente, o no sabes qué fórmula aplicar y debes buscar primero alguna relación entre la información que se te da, lo que se te pide y el método adecuado para resolverlo? En estos casos no resulta tan sencillo, ¿no es así?.
Por ejemplo es muy sencillo plantear respuestas a los dos siguientes casos:
- Calcular la derivada de la función \(f(x)=-x^2\).
- Obtener la función que describe la velocidad vertical de un proyectil cuya trayectoria parabólica implica la parábola más sencilla.
Estos dos enunciados parecen problemas totalmente diferentes, pero son básicamente el mismo: la parábola más sencilla de un proyectil que sigue una trayectoria parabólica es la función \(f(x)=-x^2\).
De la misma manera, la función que describe la velocidad horizontal es \(v(x)=-2x\). En este caso, el punto donde la velocidad es igual a cero \(-2x=0\) es en el punto crítico \(x=0\), que es cuando la velocidad vertical es igual a cero.
La única diferencia entre ambos problemas es cómo están planteados y los conocimientos e información que tienes de cada uno. Por estas razones, es importante conocer, no solo las fórmulas, sino cómo resolver problemas y cómo encontrar la información necesaria para lograrlo.
En este artículo te hablaremos acerca de esto y de las herramientas básicas para formular varios problemas matemáticos. ¡Empecemos por las estrategias!
Estrategias para resolver problemas matemáticos
Hay diversos métodos de modelado matemático; algunos de ellos buscan relacionar datos y otros se relacionan con comprobar ideas y conjeturas. Algunas herramientas y estrategias para resolver problemas matemáticos son:
Modelado matemático
Para comenzar, hay que tener claro que en un problema genérico debes saber cómo modelar los eventos; un punto importante es cómo hacerlo usando datos de un experimento.
Modelado y datos
Supongamos que tienes los datos de cómo se mueve un objeto; puedes obtener el tiempo y la distancia así:
\[t=\{t_1, t_2, t_3, t_4… t_n\}\]
\[d=\{d_1, d_2, d_3, d_4… d_n\}\]
Entonces, puedes relacionar la distancia y el tiempo. Pero, también, debes encontrar cuál es la variable dependiente y cuál es la independiente.
La variable independiente es el dato que se conoce de antemano; por lo que no es necesario medirlo o calcularlo. Generalmente se conoce como \(x\).
La variable dependiente es el valor que cambia, debido a las modificaciones de otra variable —en este caso, de la variable independiente—. Generalmente esta se conoce como \(y\).
Por ejemplo, en el caso de tener datos de tiempo, en función de la distancia:
- El tiempo es la variable independiente, porque ya se conoce y no hay nada que la altere.
- La distancia que se mueve el objeto es la variable dependiente, porque cada segundo que pasa, la distancia cambia. Por tanto, durante el segundo uno, la distancia es \(d_1\); y en el segundo dos, la distancia es \(d_2\).
Cuando se tienen datos, lo que nos interesa es encontrar cuánto cambia la variable dependiente con respecto a la independiente. En consecuencia, en estos casos:
Se observa cuál es la variable dependiente e independiente.
Se determina la razón de cambio entre las variables.
Se propone una función que satisfaga esta razón de cambio.
Miremos y resolvamos un ejemplo sencillo.
Se tienen los siguientes datos de velocidad frente al tiempo de un objeto:
\[t=\{ 1\text{ s}, 2\text{ s}, 3\text{ s}, 4\text{ s}, 5\text{ s}...\}\]
\[d=\{1\text{ m}, 4\text{ m}, 9\text{ m}, 16\text{ m}, 25\text{ m}...\}\]
¿Cuál es la función que describe la aceleración del objeto?
Solución:
- En primer lugar, identificamos a la variable independiente. Esta es el tiempo, ya que cambia sin que nosotros hagamos ninguna manipulación.
- Ahora, identificamos que la variable dependiente es la distancia que el móvil viaja: es decir que, si la variable independiente es \(x\), la variable dependiente será \(y\).
- Por lo que se tiene \(f(x)=y\) o, en este caso particular, \(f(t)=d\); donde \(t\) es el tiempo en segundos y \(d\) es la distancia que viaja el móvil.
- En segundo lugar, observamos cuánto cambia \(y\), con respecto a \(x\). En este caso particular, podemos observar que con cada segundo que pasa la velocidad aumenta.
Si observas más detenidamente, estos números parecen tener un patrón, ya que:
- Todos son pares.
- \(1=1^2\), \(4=2^2\), \(9=3^2\) y así sucesivamente.
- Tercero: debes proponer una función que satisfaga este crecimiento. Esto es fácil, ya que sabemos que
\(d(1)=t(1)^2\), \(d(2)=t(2)^2\), \(d(3)=t(3)^2\).
Esto significa que la función es \(d=t^2\).
Modelado y funciones
Una actividad común es que, una vez se conoce cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente, lo que se tiene es una relación entre dos números \(y=x\). Esta relación es, generalmente, una función que se debe encontrar.
Una función es la relación entre dos grupos de números, que está compuesta por operaciones y otras funciones matemáticas.
Supongamos, nuevamente, que tienes dos conjuntos de datos: tiempo y distancia en los que se mueve un objeto. Hay varias maneras de averiguar la función que liga ambas variables, algunas de ellas son:
Regresión lineal.
Representación gráfica.
Deducción.
Las dos primeras son las más utilizadas en cursos avanzados, por lo que se salen del contenido de bachillerato de primer nivel. Por eso, en esta ocasión, nos centraremos en la tercera.
Veámosla, a través de un ejemplo:
Supongamos que tienes los datos de tiempo y distancia:
\[t=\{1\text{ s}, 2\text{ s}, 3\text{ s}, 4\text{ s}, 5\text{ s}\}\]
\[d=\{2\text{ m}, 4\text{ m}, 6\text{ m}, 8\text{ m}, 10\text{ m}\}\]
En este caso, puedes observar que, a medida que el tiempo avanza, también la distancia recorrida por el objeto se hace mayor. Esto significa que en tanto el tiempo crece, también lo hace la distancia crece. Por tanto, son proporcionales: \[d\propto t\]
Sin embargo, esto no quiere decir que son iguales; ya que, por cada segundo que pasa, el móvil avanza dos metros. Así que: \[d=2t\]
En consecuencia, la función que describe el movimiento del móvil es: \[y=2x\]
Esto no es tan sencillo como resolver una fórmula, directamente; ¿no es cierto? Pero, es muy importante, es el punto central detrás del estudio de datos, funciones y problemas matemáticos. Más específicamente, consiste en:
Obtener datos de variables dependientes e independientes.
Obtener la función que enlaza ambas variables.
Hacer predicciones, usando esta formulación matemática.
Resolvamos otro ejercicio, usando funciones:
Se tiene un objeto que sigue una trayectoria parabólica. El objeto se lanza desde el punto \(a\) y alcanza una altura máxima de 4 metros en el aire. Encuentra la función que describe este movimiento.
Aquí hay varias puntos a tener en cuenta:
- Una trayectoria parabólica sigue la forma de la función \(x^2\).
- Al ser una parábola con un máximo, la función debe ser \(-x^2\).
- La función alcanza el máximo en \(y=4\text{ m}\).
- El máximo es un punto crítico donde la derivada vale cero, por lo tanto \(\dfrac{d}{dx}=0\) en \(x=4\).
Si tomamos en cuenta los puntos anteriores, tenemos que (probablemente): \[f(x)=-x^2\]
Sin embargo, si derivamos esto obtenemos: \[f’(x)=-2x\]
Y, cuando \(x=0\), \(f(x)\ne 4\). Por tanto, nos hace falta un término que, al derivar, nos permita que \(y=4\).
Esto es: \[f’(0)=-2(0)+a=4\]
En consecuencia: \(a=4\).
De acuerdo con todo lo anterior, la derivada tiene la forma: \[f’(x)=-2x+4\]
Lo que significa que la función original es: \[f(x)=-x^2+4\]
Esta trayectoria se ve en la siguiente gráfica:
Fig. 1: Trayectoria descrita por \(x^2+4\).
En general, si se quiere resolver un problema donde hay funciones, se sigue el siguiente procedimiento general:
Identifica lo que se te pide.
Establece las relaciones entre los datos que tienes y lo que no conoces.
Intenta resolver el problema, encontrando las funciones que satisfacen los puntos que conoces.
Por ejemplo, en el último ejercicio que resolvimos:
- Se te pide encontrar la función que describe una trayectoria parabólica.
- Se te proporcionó el punto donde esta alcanza un máximo. También sabes, por cálculo y análisis, que los máximos y las derivadas de la función están relacionados.
- Sabes cuál es la función general que describe una trayectoria parabólica. Usando la función general de la trayectoria y las propiedades de las derivadas, obtienes la función que describe tu trayectoria, con un máximo en \(y=4\).
Algoritmos
Los algoritmos son otra técnica muy usada cuando modelas problemas. En ese tipo de problemas, sabes específicamente los pasos que se necesitan para resolver un problema; pero, estos pasos son secuenciales y (probablemente) requieran repeticiones y tomas de decisiones.
Los algoritmos son muy útiles, porque te permiten planear los pasos para resolver un problema específico. Los tres pasos más generales para usar un algoritmo son:
Establecer lo que se necesita.
Hacer operaciones matemáticas para comprobar si cierto dato cumple con lo que se requiere.
En caso que se cumpla lo que se requiere, no se hacen más operaciones.
En caso que no se cumpla el proceso, se repite con otros datos.
Un caso común se da en temas más avanzados, llamados métodos numéricos. En ellos, por ejemplo, se te pide encontrar raíces de una función; pero, estas no se pueden calcular por los métodos comunes.
Veamos un ejemplo sencillo al respecto, para que puedas comprenderlo mejor:
Se sabe que la función \(f(x)\) tiene una raíz entre el punto \(a\) y \(b\); sin embargo, no se sabe el punto exacto. Haz un algoritmo que aproxime esta raíz.
Solución:
- En primer lugar, establecemos lo que se nos pide: encontrar una raíz. Como sabemos, cerca de la raíz, el valor de \(f(x)\approx 0\).
- En segundo lugar, debemos establecer las operaciones que necesitamos para evaluar la raíz. En este caso, solo debemos sustituir valores entre \(a\) y \(b\), de manera que podamos encontrar un intervalo en el cual la función cambie de signo —ya que en ese intervalo está la raíz—.
- Por último, evaluamos los números, haciendo más pequeño el intervalo alrededor de la raíz, hasta que obtengamos un número lo suficientemente pequeño para ser cercano a cero.
Los algoritmos son muy importantes en cualquier área en la que se requieran procesos de decisión repetitivos y se conozca de antemano cómo resolver el problema. ¿Sabías que, también, puedes diseñar tus propios algoritmos para resolver problemas?
Heurística
Otra técnica que puede usarse para resolver problemas es la heurística. La heurística no es metódica, como los algoritmos; más bien es lo contrario: una manera de resolver problemas, usando métodos que pueden no ser eficientes.
Un ejemplo clásico de la heurística es el método de prueba y error (o aproximación):
En el caso de los algoritmos, donde nos acercábamos a la raíz haciendo el intervalo \([a, b]\) más pequeño, podríamos resolverlo por heurística. Para ello, usamos números al azar en el intervalo \([a, b]\), hasta que obtengamos un número suficientemente cercano a cero.
Conjetura
Una parte importante del modelado de problemas son las conjeturas.
Una conjetura es algo que se asume como cierto, a pesar de no haberse comprobado; sin embargo, de hecho, es un punto de partida que nos permite resolver algunos problema.
En estos, casos lo que se hace es:
- Observar el problema.
- Elaborar una idea sobre la estructura o patrón de los resultados o datos.
- Ofrecer una conjetura, una idea general sobre lo que pasa después de analizar los datos o resultados.
- Verificar la conjetura, mediante predicciones.
Veamos un ejemplo sencillo:
Se tienen los números primos \(2, 3, 5, 7, 11…\).
Encuentra una característica de su máximo común divisor y su mínimo común divisor, y define si esto se aplica a los otros primos.
Solución:
En primer lugar, si observamos todos los números primos que se nos dan, notaremos que solo hay dos números que los dividen exactamente: el uno y el mismo número.
- El mínimo común divisor de \(2, 3, 5, 7, 11…\) es uno.
- El máximo común divisor de \(2, 3, 5, 7, 11…\) son ellos mismos.
Debido a que todos estos números son primos, podemos decir que un número primo solo tiene dos divisores: uno y el mismo número. Para poder comprobar esto, debemos encontrar más números que sean primos y con los que esto mismo ocurra.
- Otros primos en la lista son: \((13, 17, 19, 23…)\); podemos ver que estos también tienen solo dos divisores, que son uno y ellos mismos.
Modelado de problemas - Puntos clave
- Hay diversos métodos de modelado matemático; algunos de ellos buscan relacionar datos y otros solo comprobar ideas y conjeturas.
- Algunas herramientas y estrategias para resolver problemas matemáticos son:
- Modelado, usando funciones.
- Heurística.
- Algoritmos.
- Una actividad común es que una vez que se conoce cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente, se deben relacionar los datos para obtener la función que describe nuestro problema.
- Los algoritmos son muy útiles, porque te permiten planear los pasos para resolver un problema específico.
- Un ejemplo clásico de la heurística es el método de prueba y error, o aproximación.
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