Seguramente has visto lo que es es una raíz, algo del tipo \(\sqrt[n]{x}\); aquí \(n\) es un número positivo y, muchas veces, es igual a dos. La definición anterior es simplemente una raíz cuadrada.
Ahora, coge tu calculadora y obtén la raíz cuadrada de un número negativo; seguramente marca \(E\), que significa error. En efecto, no se puede calcular una raíz de un número negativo, porque su resultado no es un número real \(\mathbb R\).
Un ejemplo puede ser: \[\sqrt{-3}=\nexists\]
Sin embargo, hay una manera en la que podemos expresar estos números: usando una cantidad, que se llama números imaginarios y hace parte de un número complejo.
Números imaginarios
Supongamos que tienes el caso de una raíz cuadrada con un número negativo como \(\sqrt{-3}\). El resultado de esta no es un número real como ya lo mencionamos; pero aun así, podemos expresarla como el producto de un número real y un número llamado el número imaginario \(i\).
Un número imaginario es un número que contiene la unidad imaginaria, definida como \(i=\sqrt{-1}\).
Esta definición la podemos encontrar usando las propiedades de las raíces y potencias.
Supongamos que se tiene la raíz cuadrada de menos cuatro: \[\sqrt{-4}\]
Sabemos que esta raíz puede ser expresada como: \[(\sqrt{4})(\sqrt{-1})\]
Simplificando esto, obtienes:\[2(\sqrt{-1})\]
Y, como ya hemos definido, la unidad imaginaria como \(i=\sqrt{-1}\): \[2i\]
Los números imaginarios son una de las dos partes que componen un número complejo; esto lo veremos más adelante en mayor detalle.
Definición de números complejos
Ya sabes lo que es un número imaginario. Pero, ¿qué tal si te decimos que los imaginarios son solo una componente de un número más complejo? Parece algo redundante, pero estos números son los llamados números complejos.
Un número complejo es un par de números que están unidos por una operación, suma o resta. Uno de los números es imaginario y el otro es un número real.
Las características que cumplen los números complejos son:
El conjunto de los números complejos \(\mathbb C\) contiene los números reales \(\mathbb R\).
En \(\mathbb C\) se encuentra la unidad imaginaria definida como \(i=\sqrt{-1}\).
Los números complejos \(z\) se escriben como \(z=a+bi\), donde \(a\) y \(b\) son números reales, y \(a\) es la parte real de \(z\), Re \(z\) y \(b\) es la parte imaginaria de \(z\), Im \(z\).
En \(\mathbb C\) también encontramos las reglas de la suma y la multiplicación, tal como se conocen para \(\mathbb R\).
Podemos ver varios ejemplos de números complejos a continuación:
El número \(z=3+4i\) es un número complejo.
La parte imaginaria es: Im \(z=i4\)
La parte real es: Re \(z=3\)
El número \(3-\sqrt{-9}\) es un número complejo.
La parte imaginaria es: Im \(z=-{\sqrt{9}}=-\sqrt{9}=-i3\)
La parte real es: Re \(z=3\)
Los números complejos pueden ser representados en un diagrama de dos dimensiones, donde la coordenada \(y\) es la parte imaginaria y la coordenada \(x\) es la parte real.
Representación gráfica de números complejos
Para representar los números complejos gráficamente se usa un sistema de coordenadas de dos dimensiones, en el denominado plano imaginario. Los números complejos, en este caso, son vectores que salen desde el origen \((0,0)\) hasta el punto \((a,b)\).
Por ejemplo, el número complejo \(4+6i\) es un vector que sale desde el punto \((0,0)\) hasta el punto \(x=4\) e \(y=6\). Esto lo puedes ver en el siguiente gráfico:
Fig. 1. Número complejo y sus componentes.
El ángulo que forman las componentes se llama argumento; el argumento de un complejo se mide en radianes o grados, y se representa por Arg\(z\), en la grafica se ve como \(\theta\)
Fig. 2. Número complejo, sus componentes \(a,b\) y su argumento.
Para calcular el argumento, debes simplemente aplicar la función \(\arctan\) al cociente de los componentes.
Hagamos un ejercicio sencillo de ejemplo:
Se tiene el número complejo \(z=12+7i\).
Calcula el argumento de este número complejo.
Solución
El argumento \(\alpha\) de un número complejo se calcula como: \[\tan\alpha=\dfrac{b}{a}\]
Definimos, entonces:
\[a=12\]
\[b=7\]
\[\tan\alpha=\dfrac{7}{12}\]
Y, despejando la función tangente, obtenemos: \[\alpha=\arctan\left(\dfrac{7}{12}\right)=30,26º\]
La imagen del numero se ve debajo.
Fig. 3. Número complejo y su argumento dibujados en el plano imaginario.
Conjugado de números complejos
El conjugado de un número complejo es el número complejo cuando su parte imaginaria cambia de signo.
Por ejemplo, del número \(z=3+4i\), el conjugado es \(\bar{z}=3-4i\).
El número complejo conjugado permanece con la misma longitud (magnitud) y la misma forma, solo que se encuentra reflejado en el plano de las \(x\), como se ve en la imagen siguiente:
Fig. 4. Número complejo \(u\) y su conjugado \(v\) en el plano imaginario.
Veamos un pequeño ejemplo, para que esto quede claro:
Se tiene el número complejo \(z=2+9i\).
Obtén su complejo conjugado.
Solución
Como mencionamos, esto significa que debes multiplicar su parte imaginaria por menos uno; así que:
\[\bar{z}=2+9i(-1)\]
\[\bar{z}=2-9i\]
De este modo, el número se ve reflejado con el eje de las \(x\), si lo representas en el plano imaginario.
El teorema fundamental del álgebra y los números complejos
El teorema fundamental del álgebra nos dice que:
Cualquier polinomio de grado \(n\) con coeficientes complejos tiene exactamente \(n\) raíces complejas.
Lo que este teorema expresa es que cualquier polinomio \(P^n(z)\) de grado \(n\) tiene \(n\) raíces, lo que hace que se pueda factorizar el polinomio en cada uno de estos factores dados por las raíces: \[P^n(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)...(z-z_n)\]
Supongamos que tienes el polinomio \(x^2-x-2\), y sus raíces son \(x=-1\) y \(x=2\). Pero, mencionamos que las raíces son números complejos, ¿no es así? Esto tiene que ver con los distintos tipos de números: los números reales son un subconjunto de los números complejos.
Un número real es un número complejo cuya parte imaginaria es \(0\).
Dicho esto, podemos deducir que todo polinomio va a tener soluciones, aunque estas sean complejas. Por tanto, todo polinomio se va a poder descomponer en factores.
Descomposición factorial de un polinomio
La descomposición factorial de un polinomio es otra propiedad interesante de los polinomios y los números complejos: un polinomio puede descomponerse en tantos factores de grado uno o monomios como sea el grado del polinomio.
El polinomio de segundo grado \(x^2+4x+4\) se descompone en dos factores: \((x+2)\) y \((x+2)\). Pero si, por ejemplo, tenemos el polinomio \(x^2+4x+8\), vemos que no podemos descomponerlo en dos factores con raíces reales.
Entonces, debemos calcular su factorización utilizando el teorema fundamental del álgebra:
Encuentra las raíces de la función: \(f(x)=x^2+4x+8=0\).
Solución
Como en tantas otras ocasiones, para hallar las raíces de un polinomio de segundo grado, aplicamos la fórmula cuadrática, en este caso \(a=1, b=4, c=8\): \[x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-4·8}}{2·1}=\dfrac{-4\pm\sqrt{-16}}{2}=-2\pm 2i\]
Por tanto, vemos que llegamos a dos soluciones que son números complejos:
\[x_1=-2+2i\]
\[x_2=-2-2i\]
Entonces, aplicando el teorema fundamental del álgebra, podemos expresar el polinomio como:
\[f(x)=\left(x-(-2+2i)\right)\left(x-(-2-2i)\right)\]
Esto cumple el teorema fundamental del álgebra, ya que el polinomio es de grado mayor que cero y, además, sus raíces están en el grupo de los complejos.
Recuerda que, aunque tuviese raíces reales, debido a que los números reales son un subgrupo de los números complejos, estas soluciones son números complejos sin un número imaginario.
Módulo de un número complejo
Los números complejos, al ser expresados como vector en dos dimensiones, tienen también una magnitud. Como todo vector, su magnitud esta dada por la siguiente fórmula: \[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\]
Veamos un ejemplo sencillo:
Calcula el módulo o magnitud del siguiente número complejo: \[z=7+8i\]
Solución
Aplicamos la fórmula del módulo, sustituyendo \(a=7\) y \(b=8\), y obtenemos: \[|z|=\sqrt{7^2+8^2}=\sqrt{113}=10,63\]
Números complejos - Puntos clave
- Un número imaginario es un número real multiplicado por la unidad imaginaria \(i=\sqrt{-1}\).
- Un número complejo es un par de números que están unidos por una operación, suma o resta. Uno de los números es imaginario y el otro es un número real; por ejemplo, \(3-7i\).
- El conjugado de un número complejo es el número complejo cuando su parte imaginaria cambia de signo.
- Un número real es un número complejo para el cual su parte imaginaria es 0.
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