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Números complejos

Números complejos

Seguramente has visto lo que es es una raíz, algo del tipo \(\sqrt[n]{x}\); aquí \(n\) es un número positivo y, muchas veces, es igual a dos. La definición anterior es simplemente una raíz cuadrada.

Ahora, coge tu calculadora y obtén la raíz cuadrada de un número negativo; seguramente marca \(E\), que significa error. En efecto, no se puede calcular una raíz de un número negativo, porque su resultado no es un número real \(\mathbb R\).

Un ejemplo puede ser: \[\sqrt{-3}=\nexists\]

Sin embargo, hay una manera en la que podemos expresar estos números: usando una cantidad, que se llama números imaginarios y hace parte de un número complejo.

Números imaginarios

Supongamos que tienes el caso de una raíz cuadrada con un número negativo como \(\sqrt{-3}\). El resultado de esta no es un número real como ya lo mencionamos; pero aun así, podemos expresarla como el producto de un número real y un número llamado el número imaginario \(i\).

Un número imaginario es un número que contiene la unidad imaginaria, definida como \(i=\sqrt{-1}\).

Esta definición la podemos encontrar usando las propiedades de las raíces y potencias.

Supongamos que se tiene la raíz cuadrada de menos cuatro: \[\sqrt{-4}\]

Sabemos que esta raíz puede ser expresada como: \[(\sqrt{4})(\sqrt{-1})\]

Simplificando esto, obtienes:\[2(\sqrt{-1})\]

Y, como ya hemos definido, la unidad imaginaria como \(i=\sqrt{-1}\): \[2i\]

Los números imaginarios son una de las dos partes que componen un número complejo; esto lo veremos más adelante en mayor detalle.

Definición de números complejos

Ya sabes lo que es un número imaginario. Pero, ¿qué tal si te decimos que los imaginarios son solo una componente de un número más complejo? Parece algo redundante, pero estos números son los llamados números complejos.

Un número complejo es un par de números que están unidos por una operación, suma o resta. Uno de los números es imaginario y el otro es un número real.

Las características que cumplen los números complejos son:

  • El conjunto de los números complejos \(\mathbb C\) contiene los números reales \(\mathbb R\).

  • En \(\mathbb C\) se encuentra la unidad imaginaria definida como \(i=\sqrt{-1}\).

  • Los números complejos \(z\) se escriben como \(z=a+bi\), donde \(a\) y \(b\) son números reales, y \(a\) es la parte real de \(z\), Re \(z\) y \(b\) es la parte imaginaria de \(z\), Im \(z\).

  • En \(\mathbb C\) también encontramos las reglas de la suma y la multiplicación, tal como se conocen para \(\mathbb R\).

Podemos ver varios ejemplos de números complejos a continuación:

El número \(z=3+4i\) es un número complejo.

La parte imaginaria es: Im \(z=i4\)

La parte real es: Re \(z=3\)

El número \(3-\sqrt{-9}\) es un número complejo.

La parte imaginaria es: Im \(z=-{\sqrt{9}}=-\sqrt{9}=-i3\)

La parte real es: Re \(z=3\)

Los números complejos pueden ser representados en un diagrama de dos dimensiones, donde la coordenada \(y\) es la parte imaginaria y la coordenada \(x\) es la parte real.

Representación gráfica de números complejos

Para representar los números complejos gráficamente se usa un sistema de coordenadas de dos dimensiones, en el denominado plano imaginario. Los números complejos, en este caso, son vectores que salen desde el origen \((0,0)\) hasta el punto \((a,b)\).

Por ejemplo, el número complejo \(4+6i\) es un vector que sale desde el punto \((0,0)\) hasta el punto \(x=4\) e \(y=6\). Esto lo puedes ver en el siguiente gráfico:

Números complejos componentes StudySmarterFig. 1. Número complejo y sus componentes.

El ángulo que forman las componentes se llama argumento; el argumento de un complejo se mide en radianes o grados, y se representa por Arg\(z\), en la grafica se ve como \(\theta\)

Numeros complejos argumento StudySmarterFig. 2. Número complejo, sus componentes \(a,b\) y su argumento.

Para calcular el argumento, debes simplemente aplicar la función \(\arctan\) al cociente de los componentes.

Hagamos un ejercicio sencillo de ejemplo:

Se tiene el número complejo \(z=12+7i\).

Calcula el argumento de este número complejo.

Solución

El argumento \(\alpha\) de un número complejo se calcula como: \[\tan\alpha=\dfrac{b}{a}\]

Definimos, entonces:

\[a=12\]

\[b=7\]

\[\tan\alpha=\dfrac{7}{12}\]

Y, despejando la función tangente, obtenemos: \[\alpha=\arctan\left(\dfrac{7}{12}\right)=30,26º\]

La imagen del numero se ve debajo.

Números complejos, ejemplo de argumento, StudySmarterFig. 3. Número complejo y su argumento dibujados en el plano imaginario.

Conjugado de números complejos

El conjugado de un número complejo es el número complejo cuando su parte imaginaria cambia de signo.

Por ejemplo, del número \(z=3+4i\), el conjugado es \(\bar{z}=3-4i\).

El número complejo conjugado permanece con la misma longitud (magnitud) y la misma forma, solo que se encuentra reflejado en el plano de las \(x\), como se ve en la imagen siguiente:

Números complejos, número complejo y su conjugado en el plano imaginario, StudySmarterFig. 4. Número complejo \(u\) y su conjugado \(v\) en el plano imaginario.

Veamos un pequeño ejemplo, para que esto quede claro:

Se tiene el número complejo \(z=2+9i\).

Obtén su complejo conjugado.

Solución

Como mencionamos, esto significa que debes multiplicar su parte imaginaria por menos uno; así que:

\[\bar{z}=2+9i(-1)\]

\[\bar{z}=2-9i\]

De este modo, el número se ve reflejado con el eje de las \(x\), si lo representas en el plano imaginario.

El teorema fundamental del álgebra y los números complejos

El teorema fundamental del álgebra nos dice que:

Cualquier polinomio de grado \(n\) con coeficientes complejos tiene exactamente \(n\) raíces complejas.

Lo que este teorema expresa es que cualquier polinomio \(P^n(z)\) de grado \(n\) tiene \(n\) raíces, lo que hace que se pueda factorizar el polinomio en cada uno de estos factores dados por las raíces: \[P^n(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)...(z-z_n)\]

Supongamos que tienes el polinomio \(x^2-x-2\), y sus raíces son \(x=-1\) y \(x=2\). Pero, mencionamos que las raíces son números complejos, ¿no es así? Esto tiene que ver con los distintos tipos de números: los números reales son un subconjunto de los números complejos.

Un número real es un número complejo cuya parte imaginaria es \(0\).

Dicho esto, podemos deducir que todo polinomio va a tener soluciones, aunque estas sean complejas. Por tanto, todo polinomio se va a poder descomponer en factores.

Descomposición factorial de un polinomio

La descomposición factorial de un polinomio es otra propiedad interesante de los polinomios y los números complejos: un polinomio puede descomponerse en tantos factores de grado uno o monomios como sea el grado del polinomio.

El polinomio de segundo grado \(x^2+4x+4\) se descompone en dos factores: \((x+2)\) y \((x+2)\). Pero si, por ejemplo, tenemos el polinomio \(x^2+4x+8\), vemos que no podemos descomponerlo en dos factores con raíces reales.

Entonces, debemos calcular su factorización utilizando el teorema fundamental del álgebra:

Encuentra las raíces de la función: \(f(x)=x^2+4x+8=0\).

Solución

Como en tantas otras ocasiones, para hallar las raíces de un polinomio de segundo grado, aplicamos la fórmula cuadrática, en este caso \(a=1, b=4, c=8\): \[x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-4·8}}{2·1}=\dfrac{-4\pm\sqrt{-16}}{2}=-2\pm 2i\]

Por tanto, vemos que llegamos a dos soluciones que son números complejos:

\[x_1=-2+2i\]

\[x_2=-2-2i\]

Entonces, aplicando el teorema fundamental del álgebra, podemos expresar el polinomio como:

\[f(x)=\left(x-(-2+2i)\right)\left(x-(-2-2i)\right)\]

Esto cumple el teorema fundamental del álgebra, ya que el polinomio es de grado mayor que cero y, además, sus raíces están en el grupo de los complejos.

Recuerda que, aunque tuviese raíces reales, debido a que los números reales son un subgrupo de los números complejos, estas soluciones son números complejos sin un número imaginario.

Módulo de un número complejo

Los números complejos, al ser expresados como vector en dos dimensiones, tienen también una magnitud. Como todo vector, su magnitud esta dada por la siguiente fórmula: \[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\]

  • Donde \(a\) y \(b\) son las partes real e imaginaria, respectivamente, del número complejo.

Veamos un ejemplo sencillo:

Calcula el módulo o magnitud del siguiente número complejo: \[z=7+8i\]

Solución

Aplicamos la fórmula del módulo, sustituyendo \(a=7\) y \(b=8\), y obtenemos: \[|z|=\sqrt{7^2+8^2}=\sqrt{113}=10,63\]

Números complejos - Puntos clave

  • Un número imaginario es un número real multiplicado por la unidad imaginaria \(i=\sqrt{-1}\).
  • Un número complejo es un par de números que están unidos por una operación, suma o resta. Uno de los números es imaginario y el otro es un número real; por ejemplo, \(3-7i\).
  • El conjugado de un número complejo es el número complejo cuando su parte imaginaria cambia de signo.
  • Un número real es un número complejo para el cual su parte imaginaria es 0.

Preguntas frecuentes sobre Números complejos

Un número complejo es un par de números que están unidos por una operación, suma o resta. Uno de los números es imaginario y el otro es un número real.


Un ejemplo es 4+5i, donde 4 es la parte real y 5 es la parte imaginaria.

Solo hay un tipo de números complejos: del tipo a+ib. Sin embargo, se puede decir que los números reales son números complejos sin parte imaginaria y que los imaginarios son complejos sin parte real.

Para representar los números complejos gráficamente se usa un sistema de coordenadas de dos dimensiones, en el plano imaginario. 


Los números complejos, en este caso, son vectores que salen desde el origen (0,0) hasta el punto (a,b), aquí x=a es la parte real del número complejo y y=b es la parte imaginaria.

El conjugado de un número complejo es el número complejo cuando su parte imaginaria cambia de signo; por ejemplo, del número 3+4i, el conjugado es 3−4i.

Cualquier polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene exactamente n raíces complejas.

Cuestionario final de Números complejos

Pregunta

¿Qué pasa si intentas calcular la raíz de un número negativo en tu calculadora?

Mostrar respuesta

Answer

Obtendrás un error.

Show question

Pregunta

¿Qué tipo de raíz es \(\sqrt[2]{x}\)?

Mostrar respuesta

Answer

Cuadrada.

Show question

Pregunta

Una raíz del tipo \(\sqrt[2]{x}\) es una raíz:

Mostrar respuesta

Answer

Cúbica.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el valor del número imaginario?

Mostrar respuesta

Answer

\(\sqrt{-1}\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es el símbolo del número imaginario?


Mostrar respuesta

Answer

\(i\).

Show question

Pregunta

Si se tiene el número \(\sqrt[2]{-7}\), ¿a qué es equivalente?

Mostrar respuesta

Answer

Ambas son correctas.

Show question

Pregunta

Si se tiene el número \(\sqrt{-9}\), ¿a qué es equivalente?

Mostrar respuesta

Answer

\(i{\sqrt{9}}\).

Show question

Pregunta

¿Qué es un número complejo?

Mostrar respuesta

Answer

Un número complejo es un par de números que están unidos por una operación, suma o resta. Uno de los números es imaginario y el otro es un número real.

Show question

Pregunta

Si un número complejo no tiene parte imaginaria es un número:

Mostrar respuesta

Answer

Real

Show question

Pregunta

Si un número complejo no tiene parte real es un número:

Mostrar respuesta

Answer

Imaginario

Show question

Pregunta

El conjunto de los números complejos contienen los números:

Mostrar respuesta

Answer

Reales

Show question

Pregunta

¿Cómo es la forma binómica de un número complejo?

Mostrar respuesta

Answer

\(z=a+ib\).

Show question

Pregunta

Si se tiene el número complejo \(z=4+i5\), ¿cuál es su conjugado?

Mostrar respuesta

Answer

\(z=4-i5\).

Show question

Pregunta

Calcula el módulo del siguiente número complejo: \(z=4-3i\).

Mostrar respuesta

Answer

5

Show question

Pregunta

¿Cómo es un número complejo en forma binómica?

Mostrar respuesta

Answer

\((a+ib)\).

Show question

Pregunta

Cuando se usa la forma binómica, ¿se puede sumar una parte real a una parte compleja en un imaginario?

Mostrar respuesta

Answer

No, solo se pueden sumar partes reales con reales e imaginarias con imaginarias.

Show question

Pregunta

Cuando se usa la forma binómica, ¿se puede restar una parte real a una parte compleja en un imaginario?

Mostrar respuesta

Answer

No, solo se pueden restar partes reales con reales e imaginarias con imaginarias.

Show question

Pregunta

¿Cuánto es la suma de los números imaginarios \(2+i3\) y \(4+i5\)?

Mostrar respuesta

Answer

\((2+i3) + (4+i5)=(2+4)+i(5+3)=6+i8\).

Show question

Pregunta

¿Cuánto es la resta de los siguientes números imaginarios: \(1+i1\) y \(0+i23\)?

Mostrar respuesta

Answer

\((1+i1) - (0+i23)=(1+0)+i(1-23)=1-i22\).

Show question

Pregunta

¿Cuánto es la multiplicación de los números imaginarios \(2+i7\) y \(8+i9\)?

Mostrar respuesta

Answer

\( (2+i7)(8+i9)=2·8+2·i9+i7·8-7·9=-47+74i\).

Show question

Pregunta

En la forma polar de los números complejos, ¿qué representa \(r\)?

Mostrar respuesta

Answer

El módulo del número complejo.

Show question

Pregunta

El ángulo de los complejos en forma polar y trigonométrica es el ángulo ____________.

Mostrar respuesta

Answer

que forma el número complejo en el plano imaginario con el eje \(x\).

Show question

Pregunta

En la forma trigonométrica de los números complejos, ¿qué es \(r\)?

Mostrar respuesta

Answer

El módulo del vector.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la fórmula para calcular el módulo de un número complejo?

Mostrar respuesta

Answer

\(\sqrt{a^2+b^2}\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es el ángulo en el plano complejo del número complejo \(3+i3\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(45º\).

Show question

Pregunta

Eleva el número complejo \((2+3i)\) al cuadrado.

Mostrar respuesta

Answer

\( (2+3i)^2=2^2+2·2·3i+(3i)^2=4+12i-9=-5+12i\).

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Pregunta

Eleva el número complejo \(z=3(\cos(3\pi/5)+i\sin(3\pi/5))\) a la quinta potencia.

Mostrar respuesta

Answer

\(z^5=3^5(\cos(3\pi)+i\sin(3\pi))=3^5(\cos(\pi)+i\sin(\pi))=-243\).

Show question

Pregunta

Eleva el número complejo \(z=4(\cos(\pi)+i\sin(\pi))\) a la séptima potencia.

Mostrar respuesta

Answer

\(z^5=4^7(\cos(7\pi)+i\sin(7\pi))\).

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Pregunta

Multiplica los números \((2+2i)\) y \((2-i2)\) usando la forma polar.

Mostrar respuesta

Answer

\(z=8_0\).

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