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Si lo pensamos por un momento, los números están en todas partes en nuestra vida cotidiana, nos ayudan a pensar con lógica y a llevar la cuenta de las cosas que hacemos. Por ejemplo, los números nos ayudan en tareas sencillas como calcular el tiempo que tardamos en llegar de casa al trabajo, la cantidad de dinero que necesitamos para…
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Jetzt kostenlos anmeldenSi lo pensamos por un momento, los números están en todas partes en nuestra vida cotidiana, nos ayudan a pensar con lógica y a llevar la cuenta de las cosas que hacemos. Por ejemplo, los números nos ayudan en tareas sencillas como calcular el tiempo que tardamos en llegar de casa al trabajo, la cantidad de dinero que necesitamos para pagar la compra y la cantidad de bolsas que necesitamos para cargarla. Pero también son especialmente útiles para resolver problemas más complejos en el mundo de la ciencia y la ingeniería, como calcular la cantidad de combustible que se necesitará para llevar un cohete al espacio o el número de camiones que necesita un almacén para transportar los pedidos de sus clientes de forma segura y puntual.
Los números se consideran el corazón de las matemáticas. Y la verdad es que es una consideración muy acertada, porque sin ellos las matemáticas no existirían. Podemos distinguir entre distintos conjuntos de números, unos dentro de otros.
Los números naturales también se conocen como números para contar, porque son los números con los que primero aprendemos a hacerlo. Incluyen todos los números positivos mayores que cero; es decir \(1, 2,3,4,5,6,7...\).
Se representan con la letra\( \mathbb{N} \). La notación de conjunto para los números naturales es la siguiente:
\[ \mathbb{N}={1,2,3,4,5,6...} \]
Los números enteros están estrechamente relacionados con los números naturales, con una diferencia principal:
Los números naturales con el cero son, básicamente, los números naturales más el cero.
Los números naturales con el cero no incluyen números negativos, fracciones o decimales. Se representan con la letra \( \mathbb{W} \), y su notación de conjunto se muestra a continuación:
\[ \mathbb{W}={1,2,3,4,5,6...} \]
Todos los números naturales están en este conjunto; pero, no a la inversa, ya que el cero no está en el conjunto de números naturales. Veamos esto en un diagrama.
Fig. 1 : Representación de los números naturales.
Ambos conjuntos se pueden representar en la recta numérica de la siguiente manera:
.
Fig. 2: Los números naturales (más el cero) se pueden representar en la recta numérica y van desde el cero hacia la derecha.
Consulta el apartado Números naturales para saber más sobre este tipo de números. Verás que, en muchas ocasiones, ya se incluye el cero en el conjunto de números naturales, sin la necesidad de especificar.
Los números enteros incluyen todos los números positivos, el cero y los números negativos. De nuevo, los enteros no incluyen fracciones ni decimales.
Se representan con la letra \(Z\), y su notación de conjunto es la siguiente:
\[ \mathbb{Z}={...,-4,-3,-2,-1,0,1, 2, 3,4,...} \]
Si ampliamos el diagrama anterior para incluir los números enteros, quedará así:
Fig. 3: Los números enteros se representan con la letra Z.
Observando el diagrama anterior, podemos decir que no todos los enteros son números naturales, pero sí que todos los números naturales son enteros.
En la recta numérica, los números enteros se pueden representar así:
Fig. 4: Representación de los enteros. .
Algunos ejemplos de números enteros son: \(-45, -12, -1, 0, 35\) y \(947\).
Consulta el artículo sobre los números enteros para ver más detalles y ejemplos.
Los números racionales incluyen todos los números que se pueden expresar como una fracción de la forma \(\frac{p}{q}\), donde\(p\) y\(q\) son enteros y \(q \neq 0\). Este grupo de números incluye las fracciones y los decimales. Los números racionales se representan con la letra \(Q\).
Todos los números naturales y enteros son números racionales, ya que pueden expresarse como una fracción con denominador \(1\). Por ejemplo, \(3\) puede expresarse como una fracción \(\frac{3}{1}\).
Fig. 5: Los números racionales se expresan con la letra Q.
Algunos ejemplos de números racionales son: \(-5.5, -\frac{3}{2}, 0, -\frac{3}{2}, 0, \frac{1}{2} \) y \(1.75\).
Los números irracionales son números que no se pueden expresar como una fracción de dos enteros. Los números irracionales tienen decimales que no se repiten nunca y no tienen ningún patrón. Se representan con la letra \( \mathbb{Q'} \).
Fig. 6: Los números irracionales, Q', los podemos representar aparte.
Algunos ejemplos de números irracionales son: \( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}\) y \(\pi\).
Hay números con decimales no terminados que son realmente racionales. Es el caso de los números con decimales no terminados que se repiten en un patrón, ya que se pueden expresar como una fracción de dos enteros. Por ejemplo, \(\frac{1}{9}=0.\overline{1}\); la barra sobre el decimal significa que se repite infinitamente. Por lo tanto, es un número racional.
Los números decimales son números racionales e irracionales. En este caso, los números decimales —que pueden ser expresados como una operación— pueden ser decimales finitos (como \(\frac{1}{4}=0.25\)) o decimales infinitos (como \(\frac{1}{3}=0.333...\) ), que tienen un infinito número de decimales.
Los decimales infinitos pueden ser también periódicos; es decir, que poseen un patrón que se repite infinitamente (como \(\frac{1}{3}\)) o no tener patrones (como el número de Euler \(e\) o el número\( \pi \)).
Los números reales incluyen todos los números que se te ocurren y que puedes encontrar en el mundo real, dejando aparte a los números imaginarios.
Fig. 7. Números reales \(\mathbb R\) y todos los subconjuntos que engloban.
Algunos ejemplos de números reales son: \(\frac{-5}{2}, -1, 0, 0.3, \sqrt{5}\) y \(\pi\).
Consulta el artículo números reales para ampliar tus conocimientos sobre este tema.
Los números imaginarios son la raíz de los números negativos.
Sabemos que no podemos sacar la raíz cuadrada de los números negativos, porque no hay ningún número que al elevar al cuadrado dé como resultado un número negativo. En este caso, tenemos que utilizar los números imaginarios. Para ello, decimos que \(i=-1\).
Resolvemos \(\sqrt{-9}\).
Solución:
Podemos escribirlo como:
\[\sqrt{9 \cdot(-1)}=\sqrt{9} \cdot \sqrt{-1}\]
Si sustituimos \(i=-1\), tenemos que:
\[sqrt{9} \cdot \sqrt{-1}=i \sqrt{9}=3i\]
Los números complejos son los números derivados de los números imaginario. Estos números consisten en un par ordenado de número real \(+\) número imaginario, como \(4+3i\).
Otros tipos especiales de números que pueden ser agrupados son aquellos que poseen propiedades específicas; por ejemplo, los números primos, los números pares, impares o los números gaussianos. Estas son clasificaciones más específicas y no tienen nada que ver con las que hemos mencionado anteriormente. Destacaremos dos que son especiales por sus propiedades:
Son aquellos números que solo pueden ser divididos exactamente entre sí mismos y el número uno. Si un número es dividido por cualquier otro número que no es sí mismo o un uno, y no produce decimales, entonces no es un primo. Pongamos un ejemplo.
\(7\) es un número primo, ya que únicamente puede ser dividido entre sí mismo y uno, sin producir decimales.
\[\frac{7}{7}=1\]
\[\frac{7}{1}=7\]
\(6\) no es un número primo, porque puede ser dividido entre sí mismo, entre uno, entre dos y entre tres, sin producir decimales.
\[\frac{6}{6}=1\]
\[\frac{6}{3}=2\]
\[\frac{6}{2}=3\]
\[\frac{6}{6}=1\]
Los números primos son importantes en temas como criptografía. Una propiedad de estos es que, hasta el momento, todo indica que no hay una fórmula para poder predecirlos; es decir, no se puede calcular cuándo aparecerá el próximo número primo, ni se pueden expresar como una serie.
Los números enteros gaussianos son aquellos números complejos en los cuales ambas partes del complejo son enteras. Estos números no los verás en tus clases de momento, solo si estudias matemáticas más complejas. Pero, podemos decirte que forman parte de una estructura especial llamada anillo de Euclides.
\(2+3i\) es un entero gaussiano.
\(0.5+i\) no es un número gaussiano.
Los números enteros incluyen todos los números positivos, el cero y los números negativos.
Los enteros no incluyen fracciones ni decimales, se denotan en matemáticas con la letra z.
Los números decimales pueden ser decimales finitos o infinitos.
Dentro de los decimales finitos encontramos números como ¼ , que pueden ser expresados como 0.25. Los decimales finitos, tienen un número finito de cifras decimales.
Los decimales infinitos no tienen un número finito de decimales; son infinitos y pueden ser periódicos, como ⅓=0.3333, o no periódicos, como π.
Los números pueden dividirse en diversos grupos, como los números enteros (los números sin decimales o fracciones que son mayores que 0), los números reales (los números enteros más el cero), los números racionales (que pueden ser representados como fracciones) y los números irracionales (que no pueden ser representados como fracciones).
Son los numeros que no tienen decimales.
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