Representaciones de datos

Muchas veces, cuando se tienen ecuaciones y se hacen operaciones matemáticas, podrías obtener resultados algo interesantes. Por ejemplo: ¿qué pasa si sumas \(\frac{1}{3}\) y \(\frac{1}{3}\)? Obtendrías \(\frac{2}{3}\), ¿no es así? 

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    Pero, ¿y si ahora te piden representar esa misma cifra en decimales, y no en fracciones? Pasaría algo interesante: si lo haces en tu calculadora, o en tu computadora, es probable que te muestre algo como: \[0,6666666666\].

    Esto se debe a que cualquier número \(\frac{n}{3}\), donde \(n\) no sea un múltiplo de tres, es un número con decimales infinitos. En este caso, podrías seguir poniendo dígitos, indefinidamente, sin parar; pero eso no es práctico. Por eso, por lo general, se usan varias técnicas cuando se tienen esta clase de resultados. Algunas de ellas son:

    • Cifras significativas

    • Redondeo

    En este artículo, aprenderás sobre estas opciones; además, sobre la notación científica en números, que te permite expresar cantidades de una manera más fácil. ¡Comencemos!

    Decimales

    Los decimales son una forma que nos permite expresar cantidades que no podríamos expresar solo con enteros.

    Por ejemplo, no podríamos expresar la mitad de un objeto, que en forma de fracción es \(\frac{1}{2}\), debido a que no existe un número entero equivalente.

    Los decimales, en este y otros casos, nos permiten expresar cantidades usando una coma o un punto; estos símbolos se denominan separador decimal.

    A lo largo de los diferentes artículos, en StudySmarter, usaremos el símbolo \(,\) como separador decimal. Tú puedes usar el \(.\), si así lo deseas, y si es la manera usual de hacerlo en tus clases.

    Decimales infinitos

    Aunque los decimales nos permiten expresar números como \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), etc., existe un problema: hay decimales que no tienen fin.

    Por ejemplo:

    \[\frac{1}{3}=0,33333333…\]

    \[\frac{2}{3}=0,6666666666666….\]

    Y, no solo eso: también hay otros números (como los irracionales) que tampoco tienen decimales finitos.

    Un ejemplo es el número \(\pi\) o, también, \(\sqrt{2}\).

    En este casos como estos, podríamos preguntar: ¿sabes cuántos decimales necesitas?, ¿cuántos debes poner? La respuesta a estas preguntas, en realidad, no es única; sería, simplemente, “depende”.

    Pero, no te preocupes: podemos enseñarte varias herramientas útiles, para que decidas con tranquilidad cuántas cifras necesitas o cómo puedes expresar estos números de manera clara y suficiente.

    Cifras significativas

    Una técnica importante para saber cuántas cifras decimales necesitas, es pensar en cuántas cifras significativas se requieren.

    Las cifras significativas son la cantidad de números después del punto decimal que no son un cero.

    Por ejemplo, la cifra\[4,0345\] tiene tres cifras significativas:

    \[3=primera\]

    \[4=segunda\]

    \[5=tercera\]

    El cero no cuenta como una cifra significativa.

    En estos casos, se te podría decir —o pedir, de antemano— que expreses un número con cierta cantidad de cifras significativas.

    Sigamos un pequeño ejemplo:

    Expresa el número \(\pi\) con 2 cifras significativas después de la marca decimal.

    Normalmente, el número \(\pi\) se aproxima como: \(\pi=3,14159\).

    Solución:

    Debido a que se te piden solo 2 cifras significativas, eso significa que debes tener:

    \[\pi=3,14\cancel{159}\]

    Las cifras significativas son muy útiles en aspectos de medición.

    Si quieres aprender más sobre esto, no olvides leer nuestros artículos de física, donde encontrarás temas sobre mediciones, errores y estándares.

    Redondeo

    Otra herramienta importante, cuando haces cálculos, es el redondeo.

    Por ejemplo, si sumas \(a=5,00006\) y \(b=2\) esto sería, simplemente, \(a+b=5,00002+2=7,00002\).

    Pero, ¿y si te decimos que esas cantidades representan pesos —kilogramos, para ser más precisos—? En realidad, las últimas cifras —que son \(0,00002\)— son más pequeñas que un miligramo. Por eso, estas cifras podrían ser un error de la báscula, una pequeña desviación durante la toma de datos, etc.

    Además de eso, es probable que no requieras saber el peso con tanta exactitud en todas las aplicaciones. Debido a esto, podemos expresar la cantidad en cuestión como: \[a+b=7kg\]

    ¡El redondeo nos puede ayudar en estos casos!

    Cuando redondeamos una cantidad, debemos decidir a partir de qué cifra queremos hacerlo. Por ejemplo, podemos redondear solo los decimales, o solo los enteros.

    Desarrollemos un procedimiento sencillo para enseñarte cómo redondear, apoyado de ejemplos:

    1. Se elige si se redondean los enteros o los decimales:

    Tenemos el número \(4,5603\), y decidimos que solo redondeamos los decimales. Por lo tanto, solo redondeamos la parte subrayada: \(4,\underline{5603}\).

    2. Se elige desde qué cifra se debe redondear:

    Elegimos redondear desde la segunda, cifra después de la marca decimal; es decir: \(4,5\underline{6}03\)

    3. Ya elegida la cifra: si el número es mayor o igual a \(5\), este y todos los que le siguen se reemplazan por cero. Si no, la cifra se deja igual.

    Debido a que tenemos un \(6\), esta cifra debe reemplazarse por un cero; al igual que los números que le siguen: \(4,5\underline{0}00\)

    4. Ahora, a la cifra que está a la izquierda de la cifra elegida se le debe sumar 1, si era mayor o igual que 5.

    Debido a que el número es mayor que 5, el número a la izquierda (que es 5) aumenta a 6: \(4,6\underline{0}00\).

    Como puedes ver, de este modo, se puede llevar un número con cifras más complejas —como \(4,5603\) a \(4,6000\)—. Además, puedes no expresar los ceros; con lo cual, siguiendo el ejemplo, tienes \(4,6\).

    Notación científica

    En ciencia, hay cantidades que son tremendamente grandes; por ejemplo, la masa del universo es igual a \(10^{53}\text{ kg}\). En cambio, la masa de algo tan pequeño como un electrón es \(9,11\cdot 10^{31}\). Pero, seguro has notado que los números que te presentamos tienen una disposición muy particular: tienen un diez elevado a una potencia. Hay tres características importantes aquí:

    1. Si la potencia es positiva, añade tantos ceros al número como el valor de la potencia de \(10\): \(5\cdot 10^1=50\).

    2. Si la potencia es negativa, se pone un punto decimal, y el número retrocede tantas posiciones como el valor de la potencia de 10: \(5\cdot 10^{-1}=0,5\).

    3. Solo hay una cifra a la izquierda de la coma; es decir, la cifra a la izquierda de la coma está comprendida entre \(1\) y \(10\).

    Esta notación se conoce como notación científica:

    La notación científica es un método por el cual se pueden expresar números usando potencias de diez. Es muy útil para representar cantidades extremadamente grandes o muy pequeñas.

    ¿Cómo usar la notación científica?

    Te enseñaremos unos pasos sencillos, para que comiences a usar la notación científica:

    1. Verifica si el número es más pequeño o mayor que la unidad. Si el número es más pequeño que la unidad, las potencias serán negativas: si es mayor, serán positivas.

    Tenemos el número \(0,0000678\), y es menor que la unidad, así que las potencias de \(10^n\) serán negativas.

    2. Debes ver cúal será la primera y única cifra que estará a la izquierda de la coma, y desde la cual expresarás la notación científica.

    En este caso es el 6: \(0,0000\underline{6}78\)

    3. Cuenta las posiciones que hay entre el marcador decimal y la cifra seleccionada.

    Tenemos cinco posiciones entre el 6 y el marcador decimal.

    4. Si el número inicial es menor que la unidad, el exponente será el número de posiciones contadas en negativo; si el número inicial es mayor que la unidad, el exponente será el número de posiciones contadas en positivo.

    En este caso, el número inicial es menor que la unidad, así que el exponente será en negativo; por tanto, se multiplica por \(10^{-5}\).

    Finalmente, el número que hemos estado utilizando, en notación científica es: \(6,78\cdot 10^{-5}\). Como puedes ver, esta expresión del número es mucho más sencilla que en la otra opción.

    Vamos a practicar:

    Expresa el número \(168.293.592\) en notación científica y con redondeo a 2 decimales.

    Solución:

    Para expresar el número en notación científica, contamos cuántas posiciones hay que quede una sola cifra a la izquierda de la coma. En este caso, el número quedará como: \[1,68293592\]

    Ahora, debemos multiplicar por \(10\) elevado a una potencia que sea el número de posiciones que hemos movido la coma; en este caso, \(8\) posiciones.

    Por lo tanto, el número en notación científica queda como: \[1,68293592\cdot 10^8\]

    Finalmente, como sólo queremos dos decimales, redondeamos a: \[1,68\cdot 10^8\]

    Expresando números

    En general, cuando combinas los tres métodos —el redondeo, las cifras significativas y la notación científica— tienes una herramienta muy poderosa para escribir números de una manera más sencilla.

    Por ejemplo, supongamos se te pide que representes de una manera fácil la masa de un electrón. Esta masa es igual a, aproximadamente, \[0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 \text{ kg}\]

    ¡Intenta decir ese número! Es complicado. Pero, podemos hacerlo más sencillo.

    Por ejemplo, podemos decidir que, debido a que no requerimos tanta precisión, solo necesitamos dos cifras significativas después del marcador decimal; esto nos deja con: \[0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 91 kg\]

    Recuerda que las cifras significativas son los números que no son un cero.

    Ahora podemos, además, usar la notación científica; por lo que decidimos mover el marcador decimal después del nueve: \[0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 \underline{9},1 \text{ kg}\]

    Como el número es menor que la unidad, y entre la nueva posición y la antigua hay treinta y un ceros, debe ser multiplicado por \(10^{-31}\): \[\underline{9},1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}\]

    Además, como esta cantidad es muy pequeña, podemos redondear los decimales —a menos que vaya a ser usado en alguna aplicación que requiera muchísima precisión—. Debido a que el decimal es menor que cinco, en este caso, se puede dejar igual o cambiarse por un cero: \[ \underline{9},0 \bullet 10^{-31}\text{ kg}\]

    Como pudiste comprobar, los tres métodos te proveen herramientas poderosas para poder expresar números grandes, pequeños, con muchos decimales o que —por el contrario— no necesiten de tantos.

    Ejercicios con notación científica, redondeo y cifras significativas

    Redondea el número siguiente a solo tres decimales: \[5,6982\]

    Solución:

    Como solo se nos piden tres decimales, en este caso, debemos redondear el tercer decimal: \[5,69\underline{8}2\]

    El número después de ocho es un 2, y este es menor que 5, así que el número 8 no puede aumentar a un 9.

    De nuevo, debido a que solo requerimos tres decimales, en este caso el 2 se omite y nos queda: \[5,69\underline{8}\]

    Expresa el número \(\pi\) usando solo 3 decimales: \[\pi=3,14159\]

    Solución:

    En este caso, no hay ningún cero entre el marcador digital y los decimales que no son cero. Por lo tanto, contamos los tres decimales desde el marcador decimal. La tercera posición es: \[\pi=3,14\underline{1}59\]

    Entonces, borramos las siguientes cifras decimales: \[\pi=3,141\]

    La edad del universo es aproximadamente igual a \(13.787\) millones de años. Expresa este número usando notación científica y dejando un solo número después del marcador decimal.

    Solución:

    Sabemos que un millón es igual a: \(1.000.000\). En consecuencia, debemos multiplicar \(13.787\) por el millón; lo cual nos da: \[13.787.000.000\]

    En este caso, debemos mover el marcador decimal de la posición final hasta una posición antes del tres: \[1,3787000000\]

    La distancia entre la posición anterior y la nueva es de 10, así que debe ser multiplicado por \(10^{10}\): \[3,787000000 \cdot 10^{10} \]

    Podemos ahora, además, borrar los ceros: \[3,787 \cdot 10^{10}\]

    Finalmente, como sólo queremos dejar un decimal después de la coma, llegamos a \[3,8\cdot 10^{10}\]

    Representaciones de datos - Puntos clave

    • Hay dos casos muy útiles para representar datos: las cifras significativas y el redondeo (que también es pertinente para hacer cálculos.
    • Además, la notación científica es un método por el cual números se pueden expresar usando potencias de diez. Resulta muy útil para representar cantidades extremadamente grandes o muy pequeñas.
    • El redondeo implica el acerca el numero a la cifra más cercana, esto en su forma más sencilla, se hace de la siguiente manera:
      • Escogiendo una cifra del número y si esta cifra es menor que cinco, el número se deja igual.
      • Si el número es mayor o igual que cinco, el número que le sigue aumenta más uno y los demás anteriores al igual que la cifra elegida se reemplazan por cero.
    Preguntas frecuentes sobre Representaciones de datos

    ¿Qué son las representaciones de datos?

    Son formas alternativas en las cuales se pueden representar números o cantidades.

    ¿Cuáles formas de representación de datos existen?

    Hay varias formas de representación; pero, dos muy útiles para expresar datos con precisión, o números muy grandes o pequeños son:

    • Cifras significativas
    • Redondeo

    ¿Qué es la notación científica?

    La notación científica es un método por el cual números se pueden expresar usando potencias de diez.

    ¿Cómo resolver ejercicios con notación científica?

    • Verificar si el número es más pequeño que la unidad o mayor que la unidad. Si el número es más pequeño que la unidad las potencias serán negativas; si es mayor, estas serán positivas.
    • Escoger una cifra en tu número desde la cual lo expresarás en notación científica.
    • Contar cuántas posiciones hay entre el marcador decimal y el número que escogiste.
    • Multiplicar el número por diez y la potencia \(10^n\) debe ser igual a las posiciones entre el marcador decimal y el número elegido, si esta es menor que la unidad; o \(n-1\), si el número es más grande que la unidad.
    • El nuevo marcador decimal debe ir después del número que has escogido, si este es menor que la unidad; o antes, si este es mayor que la unidad.
    • Remover cualquier número innecesario, como ceros.

    ¿Cómo se hace un redondeo?

    Para redondear un número a una cifra decimal se desprecian todas las demás cifras decimales siguientes:

    • Si la primera cifra despreciada es menor de 5, se aproxima el número por defecto.
    • Si la primera cifra despreciada es mayor o igual a 5, se aproxima el número por exceso.

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    ¿Es la notación científica una manera de representar datos numéricos?

    ¿Cuáles son las cifras significativas?

    En el redondeo:

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