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Números reales

Números reales

Piensa en cualquier número... Por ejemplo, puedes pensar en lo que cuesta una comida en tu restaurante favorito, o la temperatura que hace ahora mismo en tu ciudad. Cualquiera de estos números pertenece al conjunto de los números reales. Y es que, como veremos, la gran mayoría de números con los que trabajamos cada día pertenece a este conjunto. Solo hay unos pocos números, llamados imaginarios, que se diferencian de estos.

Definición de los números reales

Los números reales se pueden representar, clásicamente, como una larga línea infinita que abarca los números negativos y positivos. Por tanto, estos incluyen los enteros y los números naturales, entre otros.

Ejemplos de números reales son \(\dfrac{1}{4}, \pi, 0.2, 5\).

Operaciones con números reales

Las operaciones que se pueden realizar con los números reales incluyen todos los operadores aritméticos conocidos: suma, resta, multiplicación y división, además de potencias y, en algunos casos, raíces (siempre y cuando estas no sean negativas). Además, incluyen otras funciones especiales en ciertos rangos como el logaritmo y la función exponencial.

Conjunto de los números reales y sus divisiones

Los números que se utilizan para contar se conocen como números enteros y forman parte de los números racionales. Los números racionales y los números enteros componen también los números reales, pero hay muchos más. Podemos ver una lista a continuación:

  • Números naturales, con el símbolo \( \mathbb{N} \)

  • Números naturales mas el cero, con el símbolo \( \mathbb{W} \)

  • Números enteros, con el símbolo \( \mathbb{Z} \)

  • Números racionales, con el símbolo \( \mathbb{Q} \)

  • Números irracionales con el símbolo \( \mathbb{Q'} \)

Números reales Conjunto números reales StudySmarter

Fig. 1: Diagrama de los tipos de números.

Clasificación de los números reales

Es importante saber que cualquier número real elegido podrá ser un número racional o un número irracional, que son los dos grupos principales de números reales.

Números racionales

Los números racionales son un tipo de números reales que se pueden escribir como el cociente de dos enteros.

Se expresan en la forma \(\frac{p}{q}\), donde \(p\) y\(q\) son números enteros y \(q \neq 0\).

Ejemplos de números racionales son \(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2},\dfrac{10}{12} \) y \(\dfrac{20}{5}\).

El conjunto de los números racionales se denota siempre por\( \mathbb{Q}\).

Tipos de números racionales

Hay diferentes tipos de números racionales. Estos son:

  • Números enteros. Por ejemplo, \(-3, 5\) y \(4\).

  • Fracciones de la forma: \(\frac{p}{q}\),donde \(p\) y \(q\) son números enteros. Por ejemplo, \(\frac{1}{2}\).

  • Números que no tienen infinitos decimales. Por ejemplo, \(\frac{1}{4}=0.25\).

  • Números que tienen infinitos decimales. Por ejemplo, \(\frac{1}{3}=0.333\).

Números irracionales

Los números irracionales son un tipo de números reales que no se pueden escribir como el cociente de dos enteros.

Por lo tanto, son números que no pueden expresarse en la forma \(\frac{p}{q}\), donde\(p\) y\(q\) son números enteros.

Como se mencionó anteriormente, los números reales constan de dos grupos: los números racionales e irracionales. \((\mathbb{R} - \mathbb{Q})\) expresa que los números irracionales se pueden obtener al restar el grupo de números racionales \(\mathbb{Q})\) del grupo de números reales \(\mathbb{R})\). Esto nos deja con el grupo de números irracionales denotado por\(\mathbb{Q'})\).

Ejemplos de números irracionales

Un ejemplo común de número irracional es \( \pi \) (pi). Pi se expresa como \(3.14159265...\).

En este caso, el valor decimal nunca se detiene y no tiene un patrón repetitivo. El valor fraccionario más cercano a \(\pi \approx \frac{22}{7} \), por lo que la mayoría de las veces tomamos pi como \(\frac{22}{7}\).

Otro ejemplo de número irracional e \(\sqrt{2}\). El valor de éste es también \(1.414213...\), \(\sqrt{2}\) es otro número con un decimal infinito.

Propiedades y operaciones con los números reales

Al igual que ocurre con los números enteros y naturales, el conjunto de los números reales también tiene la propiedad de cierre, la propiedad conmutativa, la propiedad asociativa y la propiedad distributiva. Estas propiedades nos permiten hacer operaciones con los números.

Propiedad de cierre

El producto y la suma de dos números reales es siempre un número real. La propiedad de cierre se establece así: para todo \((a, b) \in \mathbb{R} \), \((a+b) \in \mathbb{R}\) y \(a \cdot b \in \mathbb{R} \).

Si \(a=13\) y \(b=23\).

Entonces \(13+23=36\).

Entonces \(13 \cdot 23= 299\).

Donde \(36\) y \(299\) son ambos números reales.

Propiedad conmutativa

El producto y la suma de dos números reales siguen siendo los mismos después de intercambiar el orden de los números. La propiedad conmutativa se expresa así: para todo \((a, b) \in \mathbb{R} \), \((a+b)=(b+a) \in \mathbb{R}\) y \( (a \cdot b)= (b \cdot a) \in \mathbb{R} \).

Si \(a=0.25\) y \(b=6\)

Entonces \(0.25+6=6+0.25\).

\(6.25=6.25\)

A su vez \(0.25 \cdot 6 = 6 \cdot 0.25\)

\(1.5=1.5\)

Propiedad asociativa

La suma o el producto de tres números reales cualesquiera sigue siendo el mismo, aunque se cambie la agrupación de los números.

La propiedad asociativa se expresa como: para todo \((a, b, c) \in \mathbb{R} \), \((a+b)+c=(a+c)+b \in \mathbb{R}\) y \( (a \cdot b) \cdot c=(a \cdot c) \cdot b \in \mathbb{R} \).

Si \(a=0.5\), \(b=2\) y \(c=0\).

Entonces \(0.5+(2+0)=(0.5+2)+0\)

\(2.5=2.5\)

Entonces \(0.5 \cdot ( 2 \cdot 0)=0 \cdot ( 2 \cdot 0.5)\).

\(0=0\)

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma se expresa como: para todo \(a, b, c \in \mathbb{R} \), \(a \cdot (b+c)=(a \cdot b)+ (a \cdot c)\).

La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la resta se expresa como:

\[a \cdot (b-c)= (a \cdot b)- (a \cdot c)\].

Si \(a=19\), \(b=8.11\) y \(c=2\).

Entonces \(19 \cdot (8.11 +2)= (19 \cdot 8.11) + (19 \cdot 2)\)

\[19 \cdot (10.11)= 154.09+38\]

\[192.09=192.09\]

Entonces \(19 \cdot (8.11-2)= (19 \cdot 8.11)-(19 \cdot 2) \)

\[19 \cdot 6.11 = 154.09 -38\]

\[116.09=116.09\]

Números reales - Puntos clave

  • Los números reales son valores que se pueden expresar como una expansión decimal infinita.
  • Los dos tipos de números reales son los racionales y los irracionales.
  • La \( \mathbb{R} \) es la notación simbólica de los números reales.
  • Los números enteros, los números naturales, los números racionales y los números irracionales son todas formas de números reales.
  • Los números reales tienen algunas propiedades como la de cierre, la conmutativa, la asociativa y la distributiva, que nos ayudan a resolver operaciones de manera más sencilla.

Preguntas frecuentes sobre Números reales

Los números reales incluye los racionales e irracionales. Por tanto, son todos los números que somos capaces de representar en una larga línea infinita que abarca tanto positivos como negativos. Los únicos números que no están incluidos en este grupo son los imaginarios, que son la raíz cuadrada de números negativos. 

Existen infinitos números reales, tanto positivos como negativos. Además, existen los números racionales e irracionales con infinitos decimales. 

Son todos los números que somos capaces de representar en una larga línea infinita que abarca tantos positivos o negativos. Las propiedades de estos son la propiedad de cierre, la conmutativa, la asociativa y la distributiva. 

Los números que no son reales son los imaginarios. Estos números representan las raíces cuadradas de números negativos. Estos números se escriben con la letra i.

Un número es racional si se puede escribir como el cociente de dos números enteros. En el caso contrario, será un número irracional. 

Cuestionario final de Números reales

Pregunta

¿Cuál es el nombre de los valores que pueden ser expresados como una expansión infinita decimal?

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Answer

 Reales.

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Pregunta

¿Cuál de los siguientes es un número real?

Mostrar respuesta

Answer

Todas son correctas.

Show question

Pregunta

¿Cuáles son los tipos de números reales?

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Answer

Racionales e Irracionales.

Show question

Pregunta

¿Cuál de los siguientes es un número racional?

Mostrar respuesta

Answer

\(0,5\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es el símbolo usado para denotar a los números reales?

Mostrar respuesta

Answer

\(R\)

Show question

Pregunta

¿Cuál de estos no son números reales?

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Answer

Imaginarios.

Show question

Pregunta

Un número real que puede ser escrito como la razón de dos enteros es un número...

Mostrar respuesta

Answer

Racional.

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Pregunta

¿Cuál de los siguientes es un número racional con decimales infinitos?

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Answer

Ambas.

Show question

Pregunta

¿Cuál es un número irracional?

Mostrar respuesta

Answer

Un número que no puede ser escrito como el radio de dos enteros.

Show question

Pregunta

Pon un ejemplo de un número irracional. 

Mostrar respuesta

Answer

\(\sqrt{2}\)(o también el número \pi, entre otros)

Show question

Pregunta

¿Cuál es el símbolo usado para denotar a los números irracionales?

Mostrar respuesta

Answer

\(Q'\).

Show question

Pregunta

El producto o suma de dos números reales es el mismo, aunque se cambie el orden de los números. ¿Esta es qué propiedad es?

Mostrar respuesta

Answer

Propiedad conmutativa.

Show question

Pregunta

¿Hay números reales que no son racionales o irracionales?

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Answer

No, no hay.

Show question

Pregunta

¿Son los números negativos números reales?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, son reales.

Show question

Pregunta

Aplicando la propiedad distributiva de los números reales como \(a(b+c)=(ab+bc)\), calcula los valores, si\(a=66; b=-3; c=14\).

Mostrar respuesta

Answer

\[66(-3+14)=((-3)66)+(66(14)) \]

\[726)=726\]



Show question

Pregunta

Aplicando la propiedad asociativa de los números reales como \(a+(b+c)=(a+b)+c\), calcula los valores, si \(a=0,91; b=12; c=0\). 

Mostrar respuesta

Answer

\[(0,91+12)+0=0,91+(12+0)\]

\[12,91=12,91\]


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Pregunta

¿Cuál es la representación gráfica del espacio donde viven los números reales?

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Answer

La recta real.

Show question

Pregunta

¿Cuáles son los límites de la recta real?

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Answer

De \(-\infty\) a \(\infty\).

Show question

Pregunta

¿Cuántos números reales existen entre dos números \(a\) y \(b\)?

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Answer

Infinitos.

Show question

Pregunta

¿Cuál sí es una característica de la recta real?

Mostrar respuesta

Answer

Tiene agujeros.

Show question

Pregunta

¿Cuál no es una característica de la recta real?

Mostrar respuesta

Answer

En ella puedes encontrar los números complejos.

Show question

Pregunta

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas para los enteros en la recta real?

Mostrar respuesta

Answer

Todas son correctas.

Show question

Pregunta

¿Qué son los números racionales?

Mostrar respuesta

Answer

Son números que se pueden representar como el cociente de dos números \(a\) y \(b\) como \({{a}\over{b}}\).

Show question

Pregunta

¿Se pueden representar los números irracionales en la recta real?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, debido a que son números reales.

Show question

Pregunta

¿Cómo se representan los números en la recta real?

Mostrar respuesta

Answer

Como puntos.

Show question

Pregunta

¿Se pueden representar los números con decimales en la recta real?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, debido a que pertenecen al conjunto de los números reales.

Show question

Pregunta

¿Cuántos enteros positivos hay entre \(-2\) y \(7\)? (ambos, inclusive)

Mostrar respuesta

Answer

Siete.

Show question

Pregunta

¿Cuántos números reales hay entre \(1\) y \(2\)?

Mostrar respuesta

Answer

Infinitos.

Show question

Pregunta

¿Es el \(3\) un número racional? ¿Por qué?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, lo es; ya que puede ser expresado como la fracción de dos números \({{9}\over{3}}\).

Show question

Pregunta

¿Es el \(4\) un número racional? ¿por qué?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, lo es; ya que puede ser expresado como una fracción de dos números \({{16}\over{4}}\).

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Pregunta

¿Es el número de Euler un número racional? ¿Por qué?

Mostrar respuesta

Answer

No, ya que no puede expresarse como la fracción de dos números.

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