Piensa en cualquier número... Por ejemplo, puedes pensar en lo que cuesta una comida en tu restaurante favorito, o la temperatura que hace ahora mismo en tu ciudad. Cualquiera de estos números pertenece al conjunto de los números reales. Y es que, como veremos, la gran mayoría de números con los que trabajamos cada día pertenece a este conjunto. Solo hay unos pocos números, llamados imaginarios, que se diferencian de estos.
Definición de los números reales
Los números reales se pueden representar, clásicamente, como una larga línea infinita que abarca los números negativos y positivos. Por tanto, estos incluyen los enteros y los números naturales, entre otros.
Ejemplos de números reales son \(\dfrac{1}{4}, \pi, 0.2, 5\).
Operaciones con números reales
Las operaciones que se pueden realizar con los números reales incluyen todos los operadores aritméticos conocidos: suma, resta, multiplicación y división, además de potencias y, en algunos casos, raíces (siempre y cuando estas no sean negativas). Además, incluyen otras funciones especiales en ciertos rangos como el logaritmo y la función exponencial.
Conjunto de los números reales y sus divisiones
Los números que se utilizan para contar se conocen como números enteros y forman parte de los números racionales. Los números racionales y los números enteros componen también los números reales, pero hay muchos más. Podemos ver una lista a continuación:
Números naturales, con el símbolo \( \mathbb{N} \)
Números naturales mas el cero, con el símbolo \( \mathbb{W} \)
Números enteros, con el símbolo \( \mathbb{Z} \)
Números racionales, con el símbolo \( \mathbb{Q} \)
Números irracionales con el símbolo \( \mathbb{Q'} \)
Fig. 1: Diagrama de los tipos de números.
Clasificación de los números reales
Es importante saber que cualquier número real elegido podrá ser un número racional o un número irracional, que son los dos grupos principales de números reales.
Números racionales
Los números racionales son un tipo de números reales que se pueden escribir como el cociente de dos enteros.
Se expresan en la forma \(\frac{p}{q}\), donde \(p\) y\(q\) son números enteros y \(q \neq 0\).
Ejemplos de números racionales son \(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2},\dfrac{10}{12} \) y \(\dfrac{20}{5}\).
El conjunto de los números racionales se denota siempre por\( \mathbb{Q}\).
Tipos de números racionales
Hay diferentes tipos de números racionales. Estos son:
Números enteros. Por ejemplo, \(-3, 5\) y \(4\).
Fracciones de la forma: \(\frac{p}{q}\),donde \(p\) y \(q\) son números enteros. Por ejemplo, \(\frac{1}{2}\).
Números que no tienen infinitos decimales. Por ejemplo, \(\frac{1}{4}=0.25\).
Números que tienen infinitos decimales. Por ejemplo, \(\frac{1}{3}=0.333\).
Números irracionales
Los números irracionales son un tipo de números reales que no se pueden escribir como el cociente de dos enteros.
Por lo tanto, son números que no pueden expresarse en la forma \(\frac{p}{q}\), donde\(p\) y\(q\) son números enteros.
Como se mencionó anteriormente, los números reales constan de dos grupos: los números racionales e irracionales. \((\mathbb{R} - \mathbb{Q})\) expresa que los números irracionales se pueden obtener al restar el grupo de números racionales \(\mathbb{Q})\) del grupo de números reales \(\mathbb{R})\). Esto nos deja con el grupo de números irracionales denotado por\(\mathbb{Q'})\).
Ejemplos de números irracionales
Un ejemplo común de número irracional es \( \pi \) (pi). Pi se expresa como \(3.14159265...\).
En este caso, el valor decimal nunca se detiene y no tiene un patrón repetitivo. El valor fraccionario más cercano a \(\pi \approx \frac{22}{7} \), por lo que la mayoría de las veces tomamos pi como \(\frac{22}{7}\).
Otro ejemplo de número irracional e \(\sqrt{2}\). El valor de éste es también \(1.414213...\), \(\sqrt{2}\) es otro número con un decimal infinito.
Propiedades y operaciones con los números reales
Al igual que ocurre con los números enteros y naturales, el conjunto de los números reales también tiene la propiedad de cierre, la propiedad conmutativa, la propiedad asociativa y la propiedad distributiva. Estas propiedades nos permiten hacer operaciones con los números.
Propiedad de cierre
El producto y la suma de dos números reales es siempre un número real. La propiedad de cierre se establece así: para todo \((a, b) \in \mathbb{R} \), \((a+b) \in \mathbb{R}\) y \(a \cdot b \in \mathbb{R} \).
Si \(a=13\) y \(b=23\).
Entonces \(13+23=36\).
Entonces \(13 \cdot 23= 299\).
Donde \(36\) y \(299\) son ambos números reales.
Propiedad conmutativa
El producto y la suma de dos números reales siguen siendo los mismos después de intercambiar el orden de los números. La propiedad conmutativa se expresa así: para todo \((a, b) \in \mathbb{R} \), \((a+b)=(b+a) \in \mathbb{R}\) y \( (a \cdot b)= (b \cdot a) \in \mathbb{R} \).
Si \(a=0.25\) y \(b=6\)
Entonces \(0.25+6=6+0.25\).
\(6.25=6.25\)
A su vez \(0.25 \cdot 6 = 6 \cdot 0.25\)
\(1.5=1.5\)
Propiedad asociativa
La suma o el producto de tres números reales cualesquiera sigue siendo el mismo, aunque se cambie la agrupación de los números.
La propiedad asociativa se expresa como: para todo \((a, b, c) \in \mathbb{R} \), \((a+b)+c=(a+c)+b \in \mathbb{R}\) y \( (a \cdot b) \cdot c=(a \cdot c) \cdot b \in \mathbb{R} \).
Si \(a=0.5\), \(b=2\) y \(c=0\).
Entonces \(0.5+(2+0)=(0.5+2)+0\)
\(2.5=2.5\)
Entonces \(0.5 \cdot ( 2 \cdot 0)=0 \cdot ( 2 \cdot 0.5)\).
\(0=0\)
Propiedad distributiva
La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma se expresa como: para todo \(a, b, c \in \mathbb{R} \), \(a \cdot (b+c)=(a \cdot b)+ (a \cdot c)\).
La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la resta se expresa como:
\[a \cdot (b-c)= (a \cdot b)- (a \cdot c)\].
Si \(a=19\), \(b=8.11\) y \(c=2\).
Entonces \(19 \cdot (8.11 +2)= (19 \cdot 8.11) + (19 \cdot 2)\)
\[19 \cdot (10.11)= 154.09+38\]
\[192.09=192.09\]
Entonces \(19 \cdot (8.11-2)= (19 \cdot 8.11)-(19 \cdot 2) \)
\[19 \cdot 6.11 = 154.09 -38\]
\[116.09=116.09\]
Números reales - Puntos clave
- Los números reales son valores que se pueden expresar como una expansión decimal infinita.
- Los dos tipos de números reales son los racionales y los irracionales.
- La \( \mathbb{R} \) es la notación simbólica de los números reales.
- Los números enteros, los números naturales, los números racionales y los números irracionales son todas formas de números reales.
- Los números reales tienen algunas propiedades como la de cierre, la conmutativa, la asociativa y la distributiva, que nos ayudan a resolver operaciones de manera más sencilla.
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