A veces te explican en clase fórmulas y teoremas para que los apliques en tus ejercicios para llegar a un resultado. Pero es posible que te surja la duda de, ¿pero esta fórmula de dónde viene? Pues la solución a esto son las demostraciones matemáticas. Cualquier fórmula o teorema matemático tiene una demostración, lo que hace que veamos que las fórmulas o teoremas tienen un sentido lógico.
- En primer lugar veremos la definición de las definiciones matemáticas.
- Después aprenderemos a abordar una demostración matemática.
- A continuación veremos las técnicas y los tipos de demostraciones matemáticas:
- Luego veremos algunas demostraciones trigonométricas como las identidades trigonométricas o el teorema del coseno.
- Por último, estudiaremos la justificación del teorema de Pitágoras.
Demostraciones matemáticas
Una demostración matemática es una serie de pasos lógicos para demostrar un argumento. Su función es, pues, demostrar un argumento matemático o una hipótesis usando lógica. Una vez que la hipótesis ha sido demostrada, se convierte en un teorema.
Un ejemplo de un teorema es el hecho de que un número par elevado al cuadrado da un número par.
Los teoremas están basados en axiomas. Los axiomas son proposiciones en las cuales se basa la hipótesis. Esencialmente, los axiomas es aquello que asumimos como cierto y no podemos demostrar.
Algunos ejemplos de axiomas son:
Cómo abordar una demostración matemática
Los elementos clave cuando se escribe una demostración matemática son:
Escribir cualquier información que se esté usando.
Asegurarse de que cada paso siga una sucesión lógica.
Asegurarse de que todos los casos posibles están cubiertos. Si la demostración se aplica a cualquier número entero y una demostración solo funciona con los números impares, se debe demostrar que funciona también con los números pares, si se pretende que sea válida para todos los números enteros.
Finalizar la demostración con un enunciado.
Técnicas y tipos de demostración matemática
Las distintas técnicas de demostración matemática se definen dependiendo del método usado para demostrarla. Algunos de los tipos principales se enumeran a continuación:
Demostración por deducción
La demostración por deducción es el método más usado para demostraciones matemáticas. Este método involucra el uso de hechos o teoremas, y sigue una secuencia lógica de pasos que muestran al razonamiento usado para llegar a la conclusión que prueba la conjetura.
La ecuación \(kx2-2kx+4=0\) no tiene raíces reales.
Demuestra que \(k\) satisface la desigualdad \(0 \leq k < 4\).
Esta prueba involucra el uso del discriminante: \(b^2-4ac=0\).
Cuando una ecuación de segundo grado genérica no tiene raíces reales, el valor del discriminante debe ser:
\[b^2-4ac<0\]
Sustituyamos para este caso los valores de \(a\), \(b\) y \(c\): \((-2k)^2-4(k)(4)=4k^2-16k\).
Esto implica que el determinante es: \(k(4k-16)<0\).
Entonces, debería suceder que, para que la ecuación no tenga raíces reales, el valor del discriminante debe ser menor que \(0\).
Si representamos gráficamente esto, obtenemos lo siguiente:
Fig. 1. Gráfica de la desigualdad \(4k2-16k<0\).
Puedes observar que, \(k(4k-16)<0\) en la gráfica, cuando la curva está debajo del eje \(x\), es decir, cuando \(0<k<4\).
Sin embargo, cuando \(k=0\) la ecuación no es válida.
Si sustituimos en la ecuación original \(kx^2-2kx+4=0\), obtenemos:\((0)x^2-2(0)x+4=0(4)=0\).
Esto no es posible, así que no hay raíces válidas.
Así que es cierto que: \(0 \leq k <4\).
Lee nuestra explicación Demostración por deducción para más ejemplos y ejercicios.
Demostración por contraejemplo
Algunas hipótesis matemáticas pueden ser descartadas encontrando un contraejemplo.
Un contraejemplo es un ejemplo en el cual la hipótesis no es verdadera y, por tanto, no se cumple.
Veamos uno de estos casos:
Prueba que lo que se dice a continuación no es cierto:
la suma del cuadrado de dos enteros es siempre un número que es resultado de elevar otro número entero al cuadrado.
Podemos encontrar un contraejemplo. Para ello, necesitamos encontrar un solo ejemplo que no demuestre la hipótesis (que sea falso). En este caso, necesitamos dos números al cuadrado que al sumarse den como resultado un número que no sea resultado de elevar dos números al cuadrado. Intentemos con \(4\) y \(9\):
\(4\) es el resultado de elevar \(2^2\) al cuadrado.
\(9\) es el resultado de elevar \(3^2\) al cuadrado.
\(9+4=13\)
Que no es un número que sea resultado de elevar ningún entero al cuadrado.
Esto significa que la hipótesis de la que hemos partido no es cierta.
Demostración por casos
La demostración por casos consiste en examinar cada caso posible y verificar cada uno por separado.
Prueba que la suma de dos números enteros al cuadrado consecutivos, cuyo cuadrado se encuentre entre \(1\) y \(81\), es un número impar.
Los números resultado de elevar un entero al cuadrado entre \(1\) y\(81\) son: \(4,9, 16, 25,36, 49, 64\).
Ahora, usemos la demostración por casos:
\[4+9=13\]
\[9+16=25\]
\[16+25=41\]
\[25+36=61\]
\[...\]
Vemos que todos los números sumados dan como resultado un número impar, por lo cual la hipótesis que intentábamos demostrar es cierta.
Demostración por contradicción
La demostración por contradicción funciona de manera diferente. En este caso, para demostrar que algo es cierto, debes primero asumir lo opuesto, por lo cual debería ser falso, y con esto debes intentar demostrar que es falso.
Prueba que no hay dos enteros \(a\) y \(b\), para los cuales se cumpla que \(5a+10b=1\).
\[5a+10b=1 \\ \dfrac{5}{5}a + \dfrac{10}{5}b=\dfrac{1}{5}a+2b=\dfrac{1}{5}\]
En este caso, el resultado de sumar \(a+2b\) no puede ser una fracción como \(\frac{1}{5}\).
Por lo cual tenemos una contradicción, que hace que nuestro enunciado sea falso.
Como hemos demostrado lo opuesto, entonces el enunciado original es cierto. Por lo tanto, el enunciado “no hay dos enteros \(a\) y \(b\), para los cuales \(5a+10b=1\)” es cierto.
Si quieres saber más acerca de este tipo de prueba, lee nuestra explicación sobre Demostración por contradicción.
Demostraciones trigonométricas
En matemáticas, hay fórmulas llamadas identidades trigonométricas. Estas identidades trigonométricas son relaciones entre funciones trigonométricas y los ángulos. Puedes ver algunas de ellas a continuación:
\[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)\sin(-x)=-\sin(x)\cos(x+\pi)=\cos(x)\]
Estas identidades pueden ser usadas para resolver muchos problemas, pero también se pueden usar para que practiques demostraciones matemáticas; en este caso, demostraciones trigonométricas.
¿Qué son las identidades?
Una identidad es una expresión matemática que es siempre cierta. Esta afirmación recoge el hecho de que dos partes de una expresión son idénticas.
Para demostrar una identidad, simplemente se debe manipular un lado de la ecuación algebraicamente hasta que sea idéntico al otro. Un símbolo que se encuentra normalmente en las identidades es \(\equiv\), que significa “idéntico a”. A continuación se muestran algunos ejemplos.
Demuestra que: \((2x+3)(x+4)(x-1) \equiv 2x^3+9x^2+x-12\).
Expande el contenido de los paréntesis en la parte izquierda de la identidad y combina los términos:
\[(2x+3)(x+4)(x-1)=(2x+3)(x^2-x+4x-4)=(2x+3)(x^2+3x-4)=2x^3+6x^2-8x+3x^2+9x-12\]
\[2x^3+9x^2+x-12\]
De este modo, podemos decir que:
\[(2x+3)(x+4)(x-1) \equiv 2x^3+9x^2+x-12\]
Ejemplo de demostración de una identidad trigonométrica
Vamos a realizar un ejemplo para demostrar una identidad trigonométrica.
Demuestra que: \(\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta) \equiv 1\).
Considera la siguiente figura:
Fig. 2. Prueba de una identidad trigonométrica.
Si escribimos las expresiones trigonométricas para \(a\) y \(b\): \(a=c \sin(\theta)\) y \(b=c \cos(\theta)\) .
Usando el teorema de Pitágoras: \(a^2+b^2=c^2\).
es decir, \(c^2 \sin^2(\theta) + c^2 \cos^2(\theta)=c^2 (\sin^2(\theta)+ \cos^2(\theta))=c^2 \).
Si dividimos ambos lados por\(c^2\)bajo la suposición de que \(c \neq 0\): \(\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\).
Demostración del teorema del coseno
Una demostración importante es la del teorema del coseno, para esto se tiene el triángulo siguiente:
Fig. 3. Demostración del teorema del coseno.
El teorema nos dice:
\[a^2=b^2+c^2-bc (\cos(\alpha))\]
Para demostrar el teorema del coseno, debemos primero dividir el triángulo en dos con una línea; en este caso, amarilla, en la imagen inferior:
Fig. 4. Demostración del teorema del coseno.
Con lo cual, se tienen las distancias siguientes:
Fig. 5. Demostración del teorema del coseno.
Si aplicamos el teorema de Pitágoras a ambos triángulos, tenemos:
\[b^2=x^2+h^2a^2=(c-x)^2+h^2\]
Si desarrollas el binomio de la segunda expresión: \(a^2=c^2-2cx+x^2+h^2\).
Ahora, podemos despejar \(x\) y usarlo en la primera ecuación. De este modo, se obtiene:
\[a^2-c^2-2cx-h^2=x^2\]
\[b^2=a^2-c^2+2cx+h^2-h^2\]
Eliminando términos como \(h\) y despejando \(a\), se tiene: \(a^2=b^2+c^2-2cx\)
Pero, si \(x\) en el triángulo es: \(x=b \cos(\alpha)\)
Entonces, se tiene:\(a^2=b^2+c^2-bc (\cos(\alpha))\)
Justificando el teorema de Pitágoras
Un ejemplo básico que podemos usar en demostraciones es el teorema de Pitágoras. El teorema dice que los catetos de un triángulo rectángulo al cuadrado sumados entre sí son iguales al cuadrado del cateto más largo, también conocido como hipotenusa.
Para justificar el teorema de Pitágoras, empezamos por dibujar un triángulo rectángulo.
Fig. 6. Triángulo rectángulo para demostrar el teorema de Pitágoras.
Supongamos ahora que tomamos cada lado del triángulo por separado, y formamos tres cuadrados de área igual al cuadrado de cada lado; aquí son los lados del triángulo rectángulo.
Fig. 7. Demostración del teorema de Pitágoras, usando cuadrados.
En este caso, el área de los cuadrados formados por los catetos es igual al área del cuadrado formado por la hipotenusa. Puedes comprobar esto asignando números arbitrarios y observando que la igualdad siempre se cumple.
Demostración - puntos clave
- Una demostración es una secuencia de pasos lógicos usados para demostrar una hipótesis o enunciado matemático.
- Las demostraciones por deducción son el método más comúnmente usado para hacer una demostración. Esta consiste en empezar por hechos o teoremas conocidos y seguir una secuencia lógica de pasos para alcanzar una conclusión que prueba la conjetura original.
- La demostración de identidades consiste en manipular los distintos lados de una igualdad matemática hasta que los dos sean iguales.
- Las demostraciones por casos demuestran cada caso posible de una hipótesis por separado.
- Las demostraciones por contradicción muestran que un enunciado o hipótesis es cierta, asumiendo que lo opuesto debe ser falso. Para esto, se debe demostrar que lo contrario a lo que se supone es falso.
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