Demostración por casos

Se tiene que \(x=2n\) es par, siempre que \(n\) es entero. Primero probamos con \(n=1\).

\[x=2(1)=2\]

Para comprobar que el resultado es par basta con tomar algo que demuestre que 2 es par, esto es dividir entre 2. Al dividir entre 2 se tiene que el residuo es 0.

\[r=(2/2)=0\]

Ahora vayamos con \(n=2\):

\[x=2(2)=4\]

El resto es:

\[r=(4/2)=0\]

Seguimos con \(n=3\):

\[x=2(3)=6\]

El resto es:

\[r=(6/2)=0\]

Podemos seguir con \(x=4\) pero después de dos casos nos podemos dar cuenta de algo. Podemos descomponer \(n=(2; 4; 6… m)\) como \(n=2(1); 2(2); 2(3)... 2(m)\). Por lo tanto podemos decir que la división de \(2/2(n)\) siempre será par ya que \(2/2\) siempre da un resto de 0.

Demuestra que \(n²-1\) es múltiplo de 3 si \(n\) no es múltiplo de 3.

Solución

Paso 1: Si \(n\) no es un múltiplo de 3, es 1 ó 2 más que un múltiplo de 3. Así podemos escribir : \(n=3k+1\) o \(n=3k+2\) , siendo \(k\) un número entero cualquiera.

Paso 2: Demuestra ahora que la afirmación es verdadera para cada caso.

Caso 1: Demuestra que si \(n=3k+1\) , entonces es un múltiplo de 3.

\[n^2-1=(3k+1)^2-1\]

\[n^2-1=(3k)^2+6k+1-1\]

\[n^2-1=9k^2+6k\]

\[n^2-1=3((3k)^2+2k)\]

Como \(3((3k)^2+2k)\) es 3 veces \((3k)^2+2k)\), podemos concluir que \(3((3k)^2+2k)\) es un múltiplo de 3.

Por tanto, \(n^2-1\) es un múltiplo de 3 para \(n=3k+1\).

Ahora, vamos a comprobar el segundo caso.

Caso 2: Para comprobar si \(n=3k+2\) , entonces \(n^2-1\) es un múltiplo de 3:

\[n^2-1=(3k+1)^2-1\]

\[n^2-1=(3k+1)^2-1\]

\[n^2-1=9k^2+12k+3\]

\[n^2-1=3(3k^2+4k+1)\]

La expresión resultante \(3(3k^2 +4k+1)\) también es un múltiplo de 3 para cualquier valor de \(k\).

Por tanto, \(n^2-1\) es un múltiplo de 3 para \(n=3k+2\).

Como ambos casos satisfacen el enunciado, hemos demostrado que el enunciado dado es correcto.

Ejemplo 1: Demostrar que \(p=n^2+2\) no es múltiplo de 4; donde \(n\) es un número entero, \(2 \leq n \leq 7 \).

Solución

Paso 1: Dividir el enunciado en un número finito de casos.

Tenemos que \(2 \leq n \leq 7\) y para cada valor de \(n\) tenemos que comprobar si \(p=n^2+2\) es múltiplo de 4 o no.

Entonces, tendremos seis casos, como se muestra a continuación:

\[Caso\hspace{0,2cm}1: n=2\]

\[Caso\hspace{0,2cm}2: n=3\]

\[Caso\hspace{0,2cm}3: n=4\]

\[Caso\hspace{0,2cm}4: n=5\]

\[Caso\hspace{0,2cm}5: n=6\]

\[Caso\hspace{0,2cm}6: n=7\]

Paso 2: Demuestra que la afirmación es cierta para cada caso.

Demostremos cada caso, uno por uno.

Caso 1: \(n=2\)

Sustituye \(n=2\) en \(p=n^2+2\) y comprueba si el valor obtenido es múltiplo de 4 o no: \[p=(2)^2+2=6\]

Como 6 no es divisible por 4, podemos concluir que \(p\) no es múltiplo de 4.

Caso 2: \(n=3\)

Sustituye \(n=3\) en \(p=n^2+2\) y comprueba si el valor obtenido es múltiplo de 4 o no: \[p=(3)^2+2=11\]

Como 11 no es divisible por 4, podemos concluir que \(p\) no es múltiplo de 4.

Caso 3: \(n=4\)

Sustituye \(n=4\) en \(p=n^2+2\) y comprueba si el valor obtenido es un múltiplo de 4 o no: \[p=(4)^2+2=18\]

Como 18 no es divisible por 4, podemos concluir que p no es múltiplo de 4.

Caso 4: \(n=5\)

Sustituye \(n=5\) en \(p=n^2+2\) y comprueba si el valor obtenido es múltiplo de 4 o no: \[p = (5)^2+2=27\]

Como 27 no es divisible por 4, podemos concluir que \(p\) no es múltiplo de 4.

Caso 5: \(n=6\)

Sustituye \(n=6\) en \(p=n^2+2\) y comprueba si el valor obtenido es múltiplo de 4 o no: \[p=(6)^2+2=38\]

Como 38 no es divisible por 4, podemos concluir que \(p\) no es múltiplo de 4.

Caso 6: \(n=7\)

Sustituye \(n=7\) en \(p=n^2+2\) y comprueba si el valor obtenido es múltiplo de 4 o no: \[p=(7)^2+2=51\]

Como 51 no es divisible por 4, podemos concluir que \(p\) no es múltiplo de 4.

Como todos los casos satisfacen el enunciado. El enunciado" \(p=n+2\) no es múltiplo de 4 cuando \(n\) es un número entero y \(2 \leq n \leq 7\)" es correcto.

Ejemplo 2: Si \(p\) es un número primo tal que \(3<p<25\), demuestra por agotamiento que \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de \(12\).

Solución

Paso 1: Dividir el enunciado en un número finito de casos.

Ya que \(p\) es un número primo, tal que \(3<p<25\), y para cada \(p\), hay que comprobar si \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de \(12\) o no.

Los números primos entre \(3\) y \(25\) son: \(5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\).

Tendremos siete casos, como se muestra:

\[Caso\hspace{0.2cm}1: p=5\]

\[Caso\hspace{0.2cm}2: p=7\]

\[Caso\hspace{0.2cm}3: p=11\]

\[Caso\hspace{0.2cm}4: p=13\]

\[Caso\hspace{0.2cm}5: p=17\]

\[Caso\hspace{0.2cm}6: p=19\]

\[Caso\hspace{0.2cm}7: p=23\]

Paso 2: Demostrar que la afirmación es verdadera para cada caso.

Demostremos cada caso, uno por uno.

Caso 1: Comprobar si \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=5\).

\[(p-1)(p+1)=(5-1)(5+1)\]

\[(p-1)(p+1)=(4)(6)\]

\[(p-1)(p+1)=24\]

\[(p-1)(p+1)=2(12)\]

\((p-1)(p+1)\) es un múltiplo de 12 cuando \(p=5\).

Caso 2: Comprobar si \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=7\).

\[(p-1)(p+1)=(7-1)(7+1)\]

\[(p-1)(p+1)=(6)(8)\]

\[(p-1)(p+1)=48\]

\[(p-1)(p+1)=4(12)\]

\((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=7\).

Caso 3: Comprobar si \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=11\).

\[(p-1)(p+1)=(11-1)(11+1)\]

\[(p-1)(p+1)=(10)(12)\]

\[(p-1)(p+1)=120\]

\[(p-1)(p+1)=10(12)\]

\((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=11\).

Caso 4: Comprobar si \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=13\).

\[(p-1)(p+1)=(13-1)(13+1)\]

\[(p-1)(p+1)=(12)(14)\]

\[(p-1)(p+1)=168\]

\[(p-1)(p+1)=14(12)\]

\((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=13\).

Caso 5: Comprobar si \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=17\).

\[(p-1)(p+1)=(17-1)(17+1)\]

\[(p-1)(p+1)=(16)(18)\]

\[(p-1)(p+1)=288\]

\[(p-1)(p+1)=24(12)\]

\((p-1)(p+1)\) es un múltiplo de 12 cuando \(p=17\).

Caso 6: Comprobar si \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=19\).

\[(p-1)(p+1)=(19-1)(19+1)\]

\[(p-1)(p+1)=(18)(20)\]

\[(p-1)(p+1)=360\]

\[(p-1)(p+1)=30(12)\]

\((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=19\).

Caso 7: Comprobar si \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=23\).

\[(p-1)(p+1)=(23-1)(23+1)\]

\[(p-1)(p+1)=(22)(24)\]

\[(p-1)(p+1)=528\]

\[(p-1)(p+1)=44(12)\]

\((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=23\).

Por tanto, todos los casos satisfacen el enunciado. Entonces, la afirmación "si \(p\) es un número primo, tal que \(3<p<25\), entonces \((p-1)(p+1)\) es un múltiplo de 12" es correcta.