Demostración por casos

Imagina que se te pide probar que todos los números \(x=2n\) son pares. Aquí \(n\) es un número entero que crece, primero es \(n=1\), después es \(n=2\) y así sucesivamente. ¿Cómo lo haces? Básicamente podrías probar que \(x=2(1)\) es par que ya que es \(x=2\), y después tendrías que hacerlo con \(n=2\) y así sucesivamente. Esto se llama prueba por casos de agotamiento.

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    El enunciado diría algo como: “prueba que todos los números \(x=2(n)\) donde \(n\) es un entero, son pares. Este enunciado debe ser demostrado ya que no se sabe si es cierto, es de hecho una conjetura. Y lo que se te pide es hacer una demostración matemática.

    Demostraciones matemáticas y demostraciones por casos

    Una demostración matemática consiste simplemente en una serie de pasos lógicos que se siguen para decir que algo es cierto o falso. Esto podría parecer sencillo, porque muchas veces parece lógico como el enunciado donde se te pide demostrar que \(x=2n\) es par siempre que \(n\) sea un entero.

    La dificultad de una demostración matemática como las demostraciones por casos es que se debe dar un argumento lógico que sea capaz por sí solo de confirmar que algo siempre sea cierto o falso.

    Veamos el ejemplo del enunciado inicial, donde usaremos casos e inducción:

    Se tiene que \(x=2n\) es par, siempre que \(n\) es entero. Primero probamos con \(n=1\).

    \[x=2(1)=2\]

    Para comprobar que el resultado es par basta con tomar algo que demuestre que 2 es par, esto es dividir entre 2. Al dividir entre 2 se tiene que el residuo es 0.

    \[r=(2/2)=0\]

    Ahora vayamos con \(n=2\):

    \[x=2(2)=4\]

    El resto es:

    \[r=(4/2)=0\]

    Seguimos con \(n=3\):

    \[x=2(3)=6\]

    El resto es:

    \[r=(6/2)=0\]

    Podemos seguir con \(x=4\) pero después de dos casos nos podemos dar cuenta de algo. Podemos descomponer \(n=(2; 4; 6… m)\) como \(n=2(1); 2(2); 2(3)... 2(m)\). Por lo tanto podemos decir que la división de \(2/2(n)\) siempre será par ya que \(2/2\) siempre da un resto de 0.

    Es una larga explicación, pero debido a esto podemos decir que lógicamente \(x=2n\) es siempre par.

    ¿Qué tipos de demostraciones matemáticas hay?

    Hay varios tipos de demostraciones matemáticas:

    • Algunas de ellas son directas y se encargan de establecer una relación entre dos elementos matemáticos o lógicos.

    • Otras son demostraciones que se encargan de demostrar que lo contrario no existe, como las demostraciones por contradicción.

    • Otras se encargan de demostrar que algo pasa para un caso \(a\) y después para \(a+1\), \(a+2\) y así sucede lógicamente hasta que se demuestra que se cumple para cualquier caso \(a+n\), estas son parte de la inducción matemática.

    • Otras se encargan de demostrar solo que hay un solo caso que niegue la demostración.

    Otro tipo de demostraciones es aquella que se encarga de demostrar todos los casos posibles y crear una fórmula general, esta se llama demostración por agotamiento o casos. Este tipo de demostración será el tema central de este artículo.

    Una conjetura es un enunciado matemático que aún no ha sido demostrado rigurosamente. Cuando tenemos un número finito de casos para los que una conjetura puede ser válida, podemos utilizar la prueba por agotamiento. En este método, comprobamos cada caso para ver si lo que afirma el enunciado se cumple.

    ¿Qué es el método por casos?

    La demostración por casos, también conocida como demostración por agotamiento, es un método de demostración directa. Puede llevar mucho tiempo completarlo, ya que puede haber muchos casos que comprobar. Es posible dividir los casos, por ejemplo, si es una demostración que requiere usar números en, demostraciones para números pares y demostraciones para números impares.

    La demostración por agotamiento es diferente de otros métodos directos de demostración, ya que no es necesario elaborar argumentos lógicos. Basta con demostrar que "ninguno de los casos considerados refuta la conjetura; por tanto, la conjetura es cierta". La única vez que utilizamos la demostración por agotamiento es cuando hay un número finito de casos.

    ¿Cómo se demuestra por agotamiento?

    Podemos generalizar el método de la demostración por agotamiento mediante dos pasos:

    1. Establecer los casos que se aplican al enunciado.

    2. Demostrar que el enunciado es verdadero para cada caso.

    Hay que demostrar cada caso de la afirmación por separado, uno por uno. Hay que agotar todos los casos para verificar la afirmación.

    Si se puede refutar alguno de los casos identificados, toda la conjetura puede considerarse refutada. Puedes consultar la sección de demostración por contraejemplo para profundizar en este concepto. Las demostraciones por casos o agotamiento son usadas cuando se requiere comprobar caso por caso hasta que se encuentra que esto debe ser cierto para todos los casos.

    Veamos un ejemplo para entender cómo aplicar los pasos anteriores.

    Demuestra que \(n²-1\) es múltiplo de 3 si \(n\) no es múltiplo de 3.

    Solución

    Paso 1: Si \(n\) no es un múltiplo de 3, es 1 ó 2 más que un múltiplo de 3. Así podemos escribir : \(n=3k+1\) o \(n=3k+2\) , siendo \(k\) un número entero cualquiera.

    Paso 2: Demuestra ahora que la afirmación es verdadera para cada caso.

    Caso 1: Demuestra que si \(n=3k+1\) , entonces es un múltiplo de 3.

    \[n^2-1=(3k+1)^2-1\]

    \[n^2-1=(3k)^2+6k+1-1\]

    \[n^2-1=9k^2+6k\]

    \[n^2-1=3((3k)^2+2k)\]

    Como \(3((3k)^2+2k)\) es 3 veces \((3k)^2+2k)\), podemos concluir que \(3((3k)^2+2k)\) es un múltiplo de 3.

    Por tanto, \(n^2-1\) es un múltiplo de 3 para \(n=3k+1\).

    Ahora, vamos a comprobar el segundo caso.

    Caso 2: Para comprobar si \(n=3k+2\) , entonces \(n^2-1\) es un múltiplo de 3:

    \[n^2-1=(3k+1)^2-1\]

    \[n^2-1=(3k+1)^2-1\]

    \[n^2-1=9k^2+12k+3\]

    \[n^2-1=3(3k^2+4k+1)\]

    La expresión resultante \(3(3k^2 +4k+1)\) también es un múltiplo de 3 para cualquier valor de \(k\).

    Por tanto, \(n^2-1\) es un múltiplo de 3 para \(n=3k+2\).

    Como ambos casos satisfacen el enunciado, hemos demostrado que el enunciado dado es correcto.

    Cuándo se debe utilizar la demostración por agotamiento

    Solo es posible usar la demostración por agotamiento cuando podemos reducir la conjetura a un número finito de casos: en el ejemplo anterior hemos reducido la conjetura a dos casos posibles. Supongamos que, en cambio, intentamos resolver la demostración por agotamiento para todos los valores posibles de \(n\). Eso sería un proceso interminable, ya que el dominio de \(n\) es ilimitado; es decir, \(n\) puede tomar un número infinito de valores.

    Si podemos reducir la conjetura dada a un pequeño número de casos posibles, cada uno de los cuales puede ser probado (o refutado), entonces podría ser bueno utilizar la demostración por agotamiento. Para un número muy grande de casos, la demostración por agotamiento no suele ser eficiente.

    Demostraciones matemáticas por agotamiento: algunos ejemplos

    Ejemplo 1: Demostrar que \(p=n^2+2\) no es múltiplo de 4; donde \(n\) es un número entero, \(2 \leq n \leq 7 \).

    Solución

    Paso 1: Dividir el enunciado en un número finito de casos.

    Tenemos que \(2 \leq n \leq 7\) y para cada valor de \(n\) tenemos que comprobar si \(p=n^2+2\) es múltiplo de 4 o no.

    Entonces, tendremos seis casos, como se muestra a continuación:

    \[Caso\hspace{0,2cm}1: n=2\]

    \[Caso\hspace{0,2cm}2: n=3\]

    \[Caso\hspace{0,2cm}3: n=4\]

    \[Caso\hspace{0,2cm}4: n=5\]

    \[Caso\hspace{0,2cm}5: n=6\]

    \[Caso\hspace{0,2cm}6: n=7\]

    Paso 2: Demuestra que la afirmación es cierta para cada caso.

    Demostremos cada caso, uno por uno.

    Caso 1: \(n=2\)

    Sustituye \(n=2\) en \(p=n^2+2\) y comprueba si el valor obtenido es múltiplo de 4 o no: \[p=(2)^2+2=6\]

    Como 6 no es divisible por 4, podemos concluir que \(p\) no es múltiplo de 4.

    Caso 2: \(n=3\)

    Sustituye \(n=3\) en \(p=n^2+2\) y comprueba si el valor obtenido es múltiplo de 4 o no: \[p=(3)^2+2=11\]

    Como 11 no es divisible por 4, podemos concluir que \(p\) no es múltiplo de 4.

    Caso 3: \(n=4\)

    Sustituye \(n=4\) en \(p=n^2+2\) y comprueba si el valor obtenido es un múltiplo de 4 o no: \[p=(4)^2+2=18\]

    Como 18 no es divisible por 4, podemos concluir que p no es múltiplo de 4.

    Caso 4: \(n=5\)

    Sustituye \(n=5\) en \(p=n^2+2\) y comprueba si el valor obtenido es múltiplo de 4 o no: \[p = (5)^2+2=27\]

    Como 27 no es divisible por 4, podemos concluir que \(p\) no es múltiplo de 4.

    Caso 5: \(n=6\)

    Sustituye \(n=6\) en \(p=n^2+2\) y comprueba si el valor obtenido es múltiplo de 4 o no: \[p=(6)^2+2=38\]

    Como 38 no es divisible por 4, podemos concluir que \(p\) no es múltiplo de 4.

    Caso 6: \(n=7\)

    Sustituye \(n=7\) en \(p=n^2+2\) y comprueba si el valor obtenido es múltiplo de 4 o no: \[p=(7)^2+2=51\]

    Como 51 no es divisible por 4, podemos concluir que \(p\) no es múltiplo de 4.

    Como todos los casos satisfacen el enunciado. El enunciado" \(p=n+2\) no es múltiplo de 4 cuando \(n\) es un número entero y \(2 \leq n \leq 7\)" es correcto.

    Ejemplo 2: Si \(p\) es un número primo tal que \(3<p<25\), demuestra por agotamiento que \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de \(12\).

    Solución

    Paso 1: Dividir el enunciado en un número finito de casos.

    Ya que \(p\) es un número primo, tal que \(3<p<25\), y para cada \(p\), hay que comprobar si \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de \(12\) o no.

    Los números primos entre \(3\) y \(25\) son: \(5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\).

    Tendremos siete casos, como se muestra:

    \[Caso\hspace{0.2cm}1: p=5\]

    \[Caso\hspace{0.2cm}2: p=7\]

    \[Caso\hspace{0.2cm}3: p=11\]

    \[Caso\hspace{0.2cm}4: p=13\]

    \[Caso\hspace{0.2cm}5: p=17\]

    \[Caso\hspace{0.2cm}6: p=19\]

    \[Caso\hspace{0.2cm}7: p=23\]

    Paso 2: Demostrar que la afirmación es verdadera para cada caso.

    Demostremos cada caso, uno por uno.

    Caso 1: Comprobar si \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=5\).

    \[(p-1)(p+1)=(5-1)(5+1)\]

    \[(p-1)(p+1)=(4)(6)\]

    \[(p-1)(p+1)=24\]

    \[(p-1)(p+1)=2(12)\]

    \((p-1)(p+1)\) es un múltiplo de 12 cuando \(p=5\).

    Caso 2: Comprobar si \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=7\).

    \[(p-1)(p+1)=(7-1)(7+1)\]

    \[(p-1)(p+1)=(6)(8)\]

    \[(p-1)(p+1)=48\]

    \[(p-1)(p+1)=4(12)\]

    \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=7\).

    Caso 3: Comprobar si \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=11\).

    \[(p-1)(p+1)=(11-1)(11+1)\]

    \[(p-1)(p+1)=(10)(12)\]

    \[(p-1)(p+1)=120\]

    \[(p-1)(p+1)=10(12)\]

    \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=11\).

    Caso 4: Comprobar si \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=13\).

    \[(p-1)(p+1)=(13-1)(13+1)\]

    \[(p-1)(p+1)=(12)(14)\]

    \[(p-1)(p+1)=168\]

    \[(p-1)(p+1)=14(12)\]

    \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=13\).

    Caso 5: Comprobar si \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=17\).

    \[(p-1)(p+1)=(17-1)(17+1)\]

    \[(p-1)(p+1)=(16)(18)\]

    \[(p-1)(p+1)=288\]

    \[(p-1)(p+1)=24(12)\]

    \((p-1)(p+1)\) es un múltiplo de 12 cuando \(p=17\).

    Caso 6: Comprobar si \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=19\).

    \[(p-1)(p+1)=(19-1)(19+1)\]

    \[(p-1)(p+1)=(18)(20)\]

    \[(p-1)(p+1)=360\]

    \[(p-1)(p+1)=30(12)\]

    \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=19\).

    Caso 7: Comprobar si \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=23\).

    \[(p-1)(p+1)=(23-1)(23+1)\]

    \[(p-1)(p+1)=(22)(24)\]

    \[(p-1)(p+1)=528\]

    \[(p-1)(p+1)=44(12)\]

    \((p-1)(p+1)\) es múltiplo de 12 cuando \(p=23\).

    Por tanto, todos los casos satisfacen el enunciado. Entonces, la afirmación "si \(p\) es un número primo, tal que \(3<p<25\), entonces \((p-1)(p+1)\) es un múltiplo de 12" es correcta.

    Demostración por casos - Puntos clave

    • La demostración por agotamiento se utiliza cuando hay un número finito de casos.
    • Primero, debemos encontrar los casos y, luego, demostrar cada uno de los casos para verificar que se cumple.
    • La demostración se completa si todos los valores son verdaderos.
    Preguntas frecuentes sobre Demostración por casos

    ¿Qué tipos de demostraciones matemáticas hay?

    • Algunas de ellas son directas y se encargan de establecer una relación entre dos elementos matemáticos o lógicos.
    • Otras son demostraciones que se encargan de demostrar que lo contrario no existe, como las demostraciones por contradicción.
    • Otras se encargan de demostrar que algo pasa para un caso \(a\) y después para \(a+1\), \(a+2\) y así, sucesivamente, hasta que se demuestra que se cumple para cualquier caso a+n; estas son parte de la inducción matemática.
    • Otras se encargan de demostrar que hay un solo caso que niegue la demostración. 

    ¿En qué consiste la demostración por casos?

    Son procesos que se encargan de demostrar todos los casos posibles y crear una fórmula general: esta se llama demostración por agotamiento, exhausción o casos.

    ¿Cómo se realiza la demostración por casos?

    1. Establecer los casos que se aplican al enunciado.

    2. Demostrar que el enunciado es verdadero para cada caso. 

    Hay que demostrar cada caso de la afirmación por separado: uno por uno. Se deben agotar todos los casos, para verificar la afirmación.

    ¿Cuándo se realizan demostraciones por casos?

    Las demostraciones por casos o agotamiento son usadas cuando se requiere comprobar, caso por caso, hasta que se encuentra que algo debe ser cierto para todos los casos.

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