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Demostración por contraejemplo

Imagínate que tienes un amigo que dice que el Guadalquivir es el río más largo de España. Tú sabes que no es cierto, pero, ¿cómo se lo podrías demostrar? Muy sencillo, tan solo tendrías que mostrarle que hay ríos en España más largos, como, por ejemplo, el Ebro o el Tajo. Pues algo similar es lo que hacemos en matemáticas para demostrar que una proposición es incorrecta.

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Demostración por contraejemplo

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Imagínate que tienes un amigo que dice que el Guadalquivir es el río más largo de España. Tú sabes que no es cierto, pero, ¿cómo se lo podrías demostrar? Muy sencillo, tan solo tendrías que mostrarle que hay ríos en España más largos, como, por ejemplo, el Ebro o el Tajo. Pues algo similar es lo que hacemos en matemáticas para demostrar que una proposición es incorrecta.

  • En primer lugar aprenderemos qué es un contraejemplo.
  • Después veremos la definición de contraejemplo en matemáticas y los usos de las pruebas por contraejemplo.
  • A continuación, aprenderemos sobre lógica proposicional y su relación con los contraejemplos.
  • Después estudiaremos el contraejemplo con conjuntos.
  • Por último, haremos algunos ejemplos de demostración por contraejemplo.

¿Qué es un contraejemplo?

La demostración o prueba por contraejemplo se basa en encontrar uno o más casos que demuestran que una conjetura es incorrecta.

Esta es diferente al resto de los métodos de prueba, ya que es la única que refuta directamente una afirmación: encontrar un ejemplo adecuado es la forma más rápida de refutarla. Solamente necesitamos un ejemplo de cuando la afirmación o conjetura que se nos da es falsa.

Definición de contraejemplo en matemáticas

A nivel matemático, un contraejemplo es un tipo de prueba lógica que se usa a menudo en casos del tipo: todos los \(X\) son \(Y\). \(X\) es un grupo de objetos, números, etc. y, por otro lado, \(Y\) es una propiedad que todos estos objetos deben compartir. Con esta prueba lógica encontraríamos una \(x\) que no fuese de \(Y\), lo que refutaría la afirmación.

En ocasiones también recibe el nombre de contramodelo.

Usos de las pruebas de contraejemplo

Cuando se tiene un teorema, o se quiere generalizar un resultado, se pueden utilizar demostraciones. Las pruebas de contraejemplo son uno de estos métodos para probar una generalización.

Las pruebas de contraejemplo son empleadas para los casos en los que se requiere probar una generalización, pues es más fácil hacerlo encontrando algún caso que no se cumpla. Veamos un ejemplo.

Considera la siguiente afirmación relacionada con las puntuaciones de los estudiantes después de un examen.

"Todos los estudiantes obtuvieron más de \(80\) puntos en el examen".

Para demostrar que el enunciado es verdadero, se necesita ver las puntuaciones de todos los estudiantes y comprobar que cada una de ellas es superior a \(80\).

Sin embargo, para refutar la afirmación, necesitas encontrar un estudiante con una puntuación menor o igual a \(80\). La puntuación de ese alumno será tu contraejemplo, ya que solo necesitamos un ejemplo que no cumpla (que es la definición de contraejemplo).

Construyendo una prueba por contraejemplo

Cuando se da una conjetura, a menudo es bueno pensar en cuáles serían las condiciones para refutar por contraejemplo, puesto que esto nos da una idea de por qué la conjetura sería o no cierta.

Introducir algunos valores al azar puede funcionar, a veces; pero, en general, es mejor planificar.

He aquí un método sistemático:

Paso 1: Interpretar el enunciado dado.

El primer paso es, siempre, asegurarse de que sabemos exactamente lo que dice el enunciado. Esto es muy importante para entender qué es lo que no cumple las condiciones del enunciado.

Paso 2: Elaborar los criterios para que un ejemplo no funcione con la conjetura.

Este es el paso más crucial: podemos localizar los criterios para cuando la conjetura falla, estamos encaminados para encontrar un contraejemplo.

Paso 3: Utilizar los criterios para refutar el enunciado.

Utiliza los criterios antes mencionados para encontrar o calcular un valor u afirmación que no cumple las premisas iniciales (contraejemplo).

Paso 4: Comprobar si el enunciado es refutado.

Ahora, comprobamos que este valor refuta el contraejemplo y que está dentro de las limitaciones de los valores. Si se superan estas comprobaciones, ¡hemos refutado con éxito una conjetura por contraejemplo!

La lógica proposicional y el contraejemplo

Como hemos mencionado en el tema de razonamiento matemático y lógica básica, la lógica es la parte más fundamental de las matemáticas. No solo es la lógica, sino también son los axiomas y teoremas, que son verdades o reglas que han sido probadas previamente. Pero los contraejemplos y muchos tipos de demostraciones involucran también otra rama de la lógica conocida como lógica proposicional.

Esta rama es muy importante, ya que estudia los enunciados que componen una afirmación y las conexiones entre estas, además de decir si esto es cierto. Pongamos un ejemplo muy sencillo con palabras:

"Juan tiene \(18\) años y es menor de edad"

Aquí se tienen dos enunciados. El primero es que Juan tiene cierta edad (el conector es la palabra) y el segundo enunciado dice que, como tiene cierta edad, es menor.

La cuestión es que esto podría ser o no cierto, ya que en ciertos países Juan sería menor hasta los \(22\), mientras en otros sería mayor apenas tenga \(18\). Así que podría ser falso o verdadero, en función de dónde vive Juan.

La lógica proposicional se basa en elementos para conectar proposiciones que contienen ideas, como en el caso anterior con la edad y la pertenencia a cierto grupo. Tú usas estas conexiones todos los días para comparar ideas o decir ciertas frases que implican una verdad. Veamos cuáles son estas letras y su símbolo matemático.

IdeaSímboloDefinición
No\(¬\)Indica negación.
Y\(∧\)Indica que dos cosas pasan al mismo tiempo.
O\(∨\)Indica que debe pasar algo u otro.
Por lo tanto\(\Longleftrightarrow\)Si hay un evento a, entonces b debe ocurrir.
Si y solo si\(\longleftrightarrow\)Indica que algo pasa solo si el otro evento pasa también.
Ni\(\downarrow\)Indica que un evento no pasa y tampoco otro.
O bien\(≢\)O pasa un evento o pasa otro.

Tabla 1: Ideas y símbolos para lógica proposicional

La lógica proposicional y las matemáticas

La lógica proposicional se encuentra no solamente en texto, sino también en matemáticas. Esto no debería ser una sorpresa, ya que una expresión matemática es una forma de expresar ideas, utilizando símbolos, tal y como hemos visto. Un ejemplo sería:

Veamos la siguiente expresión matemática:

\[a^2+b^2=c^2; a^2+b^2>0\]

Este es el teorema de Pitágoras y se lee:

La suma de \(a\) al cuadrado más \(b\) al cuadrado es igual a \(c\) al cuadrado si, y solo si, la suma de\(a\) al cuadrado y \(b\) al cuadrado es positiva.

La primera parte de esta expresión es muy conocida. Pero la segunda es importante también, ya que implica que si la suma es negativa, esa operación no existe; porque, al despejar \(c\), implicaría:

\[c=\sqrt{-x}\]

Donde \(x\) es la suma de los cuadrados. Lo cual, en los números reales no existe; sin embargo, sí en los complejos.

Si quieres saber más acerca del porqué y porque los números reales son una parte de los complejos, lee nuestro artículo sobre los tipos de números.

Contraejemplo con conjuntos

Las pruebas de contraejemplo pueden ser usadas, también, con conjuntos. Un ejemplo de esto es cuando se tienen grupos de objetos o elementos que pertenecen a ciertos conjuntos y se necesita saber si ciertos objetos \(b\), que no se sabe si están en ese grupo, pertenecen a ese conjunto.

Veamos un ejemplo:

Se afirma que, "los números que pueden ser sustituidos en la función \(f(x)=0\) pueden ser cualquier número dentro del rango \(n=[-200, 200]\) y el resultado será un número entero". La función es: \(f(x)=1-\sqrt{x}\).

Solución

Según el enunciado, el número \(x\) puede ser cualquier número real en el rango \([-200, 200]\) , y no podemos probar número tras número porque sería tedioso. Pero podemos encontrar un caso que no cumpla para refutarlo. Por tanto, debemos encontrar un contraejemplo.

En este caso, puedes observar si hay alguna condición que pueda negar esta función:

Tú sabes que no existen raíces cuadradas negativas, así que basta encontrar un número que, al ser sustituido en la función, no esté definido.

Toma por ejemplo \(x=-4\) que existe en el rango \([-200, 200]\). Si lo sustituyes en la función, obtenemos:

\[1-\sqrt{-4}\]

Esta expresión no existe y, por lo tanto, no se cumple con que la función sea igual a un número entero.

\[1-\sqrt{-4}=\nexists\]

Ejemplos de demostración por contraejemplo

Ejemplo 1: Refutar por contraejemplo que el producto de dos números irracionales es siempre irracional.

Solución

Sean nuestros dos números \(\sqrt{2}\) y \(\sqrt{2}\). El producto sería entonces \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \). El \(2\) es un número racional; por tanto, se refuta por contraejemplo.

Ejemplo 2: Refutar la afirmación dada a continuación por contraejemplo.

La ecuación \(p^4=q^4\) es verdadera si, y solamente si, \(p=q\), donde \(p\) y \(q\) son números reales.

Solución

Sea \(p=1\). Entonces \(p^4=1\). Lo que significa que ahora debemos encontrar un valor\(q\), tal que \(q^4=1\). Por inspección, podemos ver que \(q=-1\) funcionaría; sin embargo, en este caso, \(p \neq q\), por lo que se trata de un contraejemplo.

Podemos refutar la igualdad \(p^4=q^4\) de forma general. Si \(p^4= q^4\), entonces \( p^4-q^4=0\). Por la diferencia de los dos cuadrados, obtenemos entonces \( (p^2-q^2)(p^2+q^2)=0\). Trabajando con esto, obtenemos \((p - q) (p + q) (p^2 + q^2) = 0\). Esto significa \(p =-q\), que es suficiente y, por lo tanto, la afirmación es refutada.

Ejemplo 3: Demuestra que la afirmación " \(n^2-n+5\) no es un cuadrado perfecto para cualquier de los valores de \(n\), donde \(n \in \mathbb{N} \)" es falsa.

Solución

En primer lugar, hay que entender el enunciado. El enunciado significa que si sustituimos cualquier número natural en la expresión, esta no dará como resultado un número cuadrado.

Para demostrar que la afirmación es falsa, tenemos que encontrar un valor depara el que \(n^2-n+5\) sea un número cuadrado.

La clave aquí es observar que \(-n+5=0\) si, entonces nos queda un resultado de soloy, por tanto, un cuadrado perfecto.

Si \(-n+5=0\)

entonces \(n=5\)

\[n^2-n+5=25=5^2\]

Como resultado, existe un contraejemplo, y nuestra afirmación queda refutada.

Contraejemplo - Puntos clave

  • La refutación por contraejemplo es un método para demostrar que una afirmación es falsa.
  • Únicamente necesitamos un contraejemplo para refutar una conjetura.
  • Los contraejemplos suelen ser la forma más rápida de refutar una conjetura.
  • Las pruebas de contraejemplo pueden ser usadas, también, con conjuntos.
  • A veces las pruebas y demostraciones son útiles para generalizar si un objeto pertenece a algún conjunto. Por ejemplo, si se tiene una ecuación o solución, basta con encontrar un número, condiciones o elemento en ese conjunto que no cumple para poder refutar esa fórmula o ecuación.
  • Para formular un contraejemplo necesitas:
    • Paso 1: Interpretar el enunciado dado.
    • Paso 2: Elaborar los criterios para que un ejemplo no funcione con la conjetura.
    • Paso 3: Utilizar los criterios para refutar el enunciado.
    • Paso 4: Comprobar si el enunciado es refutado.

Preguntas frecuentes sobre Demostración por contraejemplo

Paso 1: Interpretar el enunciado dado.

Paso 2: Elaborar los criterios para que un ejemplo no funcione con la conjetura.

Paso 3: Utilizar los criterios.

Paso 4: Comprobar.

La demostración, o prueba por contraejemplo, es cuando encontramos uno o más casos que demuestran que una conjetura es incorrecta.

Cuando se tiene un teorema o se quiere generalizar un resultado, se pueden usar demostraciones. Las pruebas de contraejemplo son uno de estos métodos para probar una generalización.

Dar un contraejemplo significa dar una prueba que refuta la idea original.  Esta es diferente al resto de los métodos de prueba, ya que es la única que refuta directamente una afirmación.

Un contramodelo es un contraejemplo. Se trata de un modelo o ejemplo que refuta la idea original.  

Pon a prueba tus conocimientos con tarjetas de opción múltiple

Para la afirmación: "Cualquier número elevado al cubo es impar", ¿cuál de los siguientes sería un contraejemplo?

Si quieres encontrar un contraejemplo, lo primero que debes hacer es:

¿Cuál de los siguiente es un contraejemplo para la afirmación: "Todos los números con un 3 en la posición de unidades son primos"?

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