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¿Cuál es la diferencia entre escalares y vectores?
Un escalar es una cantidad que no tienedirección. Es simplemente una escala de cantidades como kilogramos o centímetros. Por ejemplo, tu peso y tu altura se expresan en términos de una cantidad y una unidad, pero no tienen dirección. Ejemplos de cantidades escalares son la velocidad, la masa, la temperatura, la energía, la longitud y la distancia.
Un vector, en cambio, tiene magnitud y dirección. El momento de un objeto, por ejemplo, es igual a su masa por aceleración y tiene una dirección, lo que lo convierte en una unidad vectorial. Ejemplos de magnitudes vectoriales son la velocidad, la aceleración, el momento, el desplazamiento y la fuerza, incluido el peso.
Resolver vectores en componentes
Resolver los vectores en componentes nos ayuda cuando nos enfrentamos a problemas vectoriales complejos. Para resolver un vector en sus componentes, tenemos que medir la longitud horizontal y vertical del vector y expresar estas longitudes como dos magnitudes distintas.Veamosel siguiente ejemplo para comprender mejor el concepto.
Halla las componentes del vector que se muestra a continuación.
Para hallar las componentes de este vector, tenemos que empezar por determinar sus longitudes horizontal y vertical.
Como puedes ver, la longitud horizontal es 12, y la longitud vertical es 10. Cuando resolvemos un vector en sus componentes, siempre obtenemos un valor horizontal y otro vertical. Las longitudes que hemos medido son las magnitudes de las componentes del vector.
Como puedes ver, las componentes de este vector son dos vectores, uno horizontal y otro vertical, con magnitudes de 12 y 10.
¿Podemos resolver un vector en sus componentes cuandonopodemos medir sus longitudes horizontal y vertical? Sí, podemos, peroveamoscómo sehace.
Si conocemoselángulo de gradiente de un vector, podemos determinar la magnitud de sus componentes horizontal y vertical. Para el vector v anterior, el ángulo de gradiente es a. Podemos determinar entonces la relación entre el ángulo y la magnitud de las componentescon ayuda de la trigonometría.
Determinemosla magnitud de la componente horizontal vx. Sabemos que
Si resolvemos la ecuación para vx, obtenemos
Determinemosahorala magnitud de la componente vertical vy. De nuevo, sabemos que:
Si resolvemos la ecuación para vy, obtenemos
Sumando vectores
Sumar dos vectores se llama hallar su resultante. Hay dos formas de sumar vectores. La primera consiste en utilizar diagramas a escala, mientras que la segunda utiliza la trigonometría.
Determinar los vectores resultantes mediante diagramas de escala
Para hallar los vectores resultantes utilizando diagramas a escala, necesitamos dibujar un diagrama a escala de los vectores que deseamos sumar, conectando los vectores "de punta a cola".
El siguiente ejemplo ilustra el concepto.
Un hombre camina inicialmente hacia el noreste durante 11,40 metros, luego sigue caminando hacia el este durante 6,6 metros, y finalmente camina hacia el noroeste durante 21,26 metros antes de detenerse. Determina el desplazamiento total del hombre.
Para determinarel desplazamiento total del hombre, necesitamos expresar las longitudes que recorrió como vectores, cada uno con la dirección y magnitud correctas. Llamemos vector A a su primer desplazamiento, vector B al segundo y vector C al tercero.
Si mides el desplazamiento total con una regla, verás que es de 23,094 metros en dirección norte, aunque el hombre caminó 39,26 metros.Demostremosesto matemáticamente resolviendo los vectores en sus componentes. En este ejemplo concreto, sólo necesitamos las componentes verticales, ya que el desplazamiento total es sólo vertical.
Para determinarAy, aplicamos la ecuación para resolver vectores en sus componentes:
Notenemos que determinar las componentes de B, ya que este ejemplonoincluye una componente vertical. Para determinar Cy aplicamos la misma ecuación.
El desplazamiento total es la suma deAy yCy, que puede calcularse como sigue
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Determinación de los vectores resultantes mediante trigonometría
Si dos vectores son perpendiculares entre sí, podemos hallar la resultante utilizando la trigonometría.Veamosde nuevo un ejemplo.
Dos amigos empujan una caja. Las dos fuerzas que aplican son perpendiculares entre sí. Uno de los amigos aplica una fuerza de 3 newtons (F1) en dirección este, mientras que el otro aplica una fuerza de 4 newtons (F2) en dirección norte. Determina el vector resultante de la fuerza total que se está aplicando a la caja.
Dos fuerzas,F1 y F2, son perpendiculares entre sí, lo que significa que la magnitud de Ftotal es igual a la hipotenusa del triángulo formado por estos vectores.
Problemas vectoriales - Puntos clave
- La física utiliza vectores para expresar cualquier cantidad que tenga una dirección y una magnitud.
- Para descomponer un vector en sus componentes, tenemos que medir las longitudes horizontal y vertical del vector y expresarlas como dos vectores separados.
- Para sumar vectores, podemos utilizar diagramas de escalas o trigonometría.
- Para determinar los vectores resultantes utilizando diagramas de escala, tenemos que conectar los vectores "de punta a cola".
- Si dos vectores son perpendiculares entre sí, podemos hallar la resultante mediante el teorema de Pitágoras.
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