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El movimiento deproyectil es el movimiento de objetos que se desplazan cerca de la superficie de la Tierra en una trayectoria curva debido al efecto de la gravedad.
El ejemplo de la pelota que rebota en física
En el momento del impacto, la pelota también experimenta una deformación y el coeficiente de restitución, que depende del rebote de la pelota.
El empuje que la pelota recibe del suelo en el momento del impacto hace que rebote hacia arriba. La pelota en movimiento gana energía cinética al rebotar y pierde energía potencial al caer.
La tercera ley de Newton establece que toda fuerza o acción tiene una reacción igual y opuesta. Por tanto, cuando se aplica una fuerza a una superficie, también se aplica una fuerza igual en magnitud, pero en sentido contrario.
El coeficiente de restitución es la relación entre la velocidad final y la inicial entre dos cuerpos después de la colisión. Mientras que un valor de 1 indica una colisión perfectamente elástica, un valor de 0 indica una colisión perfectamente inelástica.
En el ejemplo de la pelota que rebota, se supone que las fuerzas externas, como la resistencia del aire, son nulas. Por tanto, la única fuerza que actúa sobre la pelota es la gravedad. El movimiento de la pelota puede dividirse en distintas etapas según la dirección del vector velocidad; estas etapas se enumeran a continuación. Como regla general, cuando la bola se desplaza en sentido positivo (hacia arriba), se puede suponer que la velocidad es positiva. Cuando la bola se desplaza en sentido negativo (hacia abajo), se puede suponer que la velocidad es negativa. Las direcciones positiva y negativa deben indicarse en cada ejemplo.
En la primera etapa, la pelota rebota en la superficie del suelo. Se desplaza hacia arriba, hacia su punto más alto.
La segunda etapa es el punto en el que la pelota se desacelera, cambia de dirección una vez que ha alcanzado el punto más alto y empieza a caer al suelo.
La tercera etapa es el punto en el que la pelota se deforma momentáneamente, y rebota en el suelo en dirección ascendente hasta alcanzar su altura máxima.
La última etapa es el punto en el que la bola ha alcanzado su desplazamiento máximo, se desacelera y cambia la dirección del movimiento de arriba hacia abajo.
Estas etapas se repiten continuamente y se muestran en la secuencia siguiente. parece que la bola experimenta un movimiento oscilatorio. En realidad, la bola experimenta una amortiguación, en la que pierde energía potencial y energía cinética a medida que cae. Esto hace que la amplitud de la altura se reduzca con el tiempo y finalmente se detenga debido a fuerzas de fricción como la resistencia del aire, que se suponen nulas en un escenario ideal. La pelota no realiza un movimiento armónico simple, ya que la aceleración no es proporcional al desplazamiento desde una posición de equilibrio.
(En este ejemplo se ha supuesto que la dirección hacia arriba es positiva. Esto se puede suponer y elegir, o se puede indicar en una pregunta).
En el punto de máxima altura, la bola tiene momentáneamente velocidad cero, y la dirección de la velocidad cambia de positiva a negativa. La aceleración sobre la bola es la aceleración de la gravedad, que actúa hacia abajo sobre la bola. En el punto más bajo, la bola tiene su energía potencial mínima, y la velocidad cambia de negativa a positiva. Estas etapas también pueden representarse gráficamente mediante tres diagramas que incluyen un gráfico de desplazamiento, velocidad y aceleración frente al tiempo. Se ilustran a continuación.
El primer gráfico es un gráfico de desplazamiento frente al tiempo. La bola se desplaza hacia arriba, alcanzando la etapa 1, es decir, la altura máxima, y su velocidad es momentáneamente cero. La aceleración debida a la gravedad hace que la bola cambie de dirección y comience a moverse hacia abajo en la etapa 2.
Una vez que la pelota toca el suelo, su desplazamiento es momentáneamente cero. Rebota, cambiando la dirección del movimiento y alcanzando de nuevo su altura máxima. Esto también se refleja en el gráfico de velocidad; la velocidad es máxima en el desplazamiento mínimo y pasa por cero en su altura máxima. El cambio de dirección cuando la pelota llega al suelo provoca una aceleración momentánea, como se ve en la gráfica de la aceleración (como aceleración).
- Laenergía potencial provoca el impacto de la pelota contra el suelo, que se transforma en energía cinética y hace que la pelota se desplace hacia arriba.
- La fuerza que recibe la pelota del suelo por la colisión hace que rebote, lo que convierte la energía potencial en energía cinética. Este fenómeno está descrito por la tercera ley de Newton.
A) Utilizando la gráfica anterior, halla el desplazamiento de la pelota a los 50 segundos.
B) Utilizando la conservación de la energía, halla la velocidad de la pelota antes de que caiga al suelo desde una altura de tres metros.
Solución A:
A partir de la gráfica anterior, podemos hallar el desplazamiento utilizando el área bajo la gráfica, que es igual al desplazamiento. El área del triángulo se puede hallar mediante la fórmula siguiente.
\(Área = \frac{1}{2} \cdot base \cdot longitud\)
\(Área = 0,5 m \cdot 50 m \cdot 50 m = 1250 m^3\)
Solución B:
Utilizamos la conservación de la energía. Por tanto, igualamos la energía potencial y la energía cinética.
\(E_{pot} = E_{kin} \cdot m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\)
La masa se anula en la ecuación anterior, y la reordenamos con respecto a la velocidad.
\(v^2 = 2 \cdot g \cdot hv = \sqrt{2 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 3 m} = 7,67 \frac{m}{s}\)
¿Qué es una sucesión geométrica?
Una sucesión geométrica es una progresión en la que cada término está relacionado con el término anterior, y está relacionado con el término anterior por un número r, que se conoce como razón común de la sucesión. El último término también se conoce como enésimo término de una progresión geométrica; n es el número de términos y a es el primer término, mientras queSn es la suma de los términos de la secuencia, como se muestra en la siguiente ecuación.
\[S_n = \frac{{alfa(1 -r^n)}{1-r}\}]
Para un número infinito de vueltas, se puede utilizar otra fórmula de secuencia geométrica. Si la razón común de la secuencia está entre 0 y 1, entonces el término r∞ se aproximaría a cero. Por tanto, la fórmula de la suma del número infinito de términos puede reescribirse como se ve aquí.
\[S_{\infty} = \frac{{alfa(1-r^{\infty})}{1-r} = \frac{{alfa(1-0)}{1-r} \qquad S_{infty} = \frac{\alpha}{1-r}]
Donde 0 < r < 1
Relación de la secuencia geométrica y una pelota que rebota
Un ejemplo real de pelota que rebota experimentaría un movimiento oscilatorio que perdería energía gradualmente, haciendo que la altura del rebote se redujera con el tiempo hasta que, finalmente, la pelota se detuviera.
Este movimiento puede describirse mediante una secuencia geométrica, ya que la altura de la pelota después de cada rebote depende de la altura inicial desde la que cayó. El último término puede ser la altura mínima de la pelota antes de que llegue a su fin, como se ve a continuación. Aquí se muestra el movimiento de una pelota real que rebota. Su altura disminuye gradualmente hasta que finalmente deja de moverse.
Una pelota cae desde una altura de 6 metros. La pelota rebota hasta alcanzar el 38% de su altura anterior y continúa cayendo.
A) Halla la distancia total de recorrido hasta que la pelota toca el suelo por 5ª vez.
B) Si se trata de un escenario ideal en el que no se pierde energía y la pelota sigue rebotando infinitamente, ¿cuál es la distancia de recorrido?
Solución A:
Utilizando la fórmula de la sucesión geométrica, la suma de los términos que son las alturas de la pelota después de cada salto:
\(S_n = \frac{alfa(1-r^n)}{1-r} = \frac{6m(1-0,38^5)}{1-0,38} = 9,6 m\)
Por último, tenemos que multiplicar la distancia hallada por 2, ya que un rebote de la pelota incluye tanto una subida como una bajada. Por tanto, la respuesta final es
\(\text{Distancia total} = 2 \cdot S_n = 2 \cdot 9,6 m= 19,2m\)
Solución B:
Utilizando la secuencia geométrica para una secuencia infinita y sustituyendo los valores dados obtenemos
\(S_{{infty} = 2 \cdot \frac{{alfa}{1-r} = 2 \cdot \frac{6m}{1-0,38} = 19,35 m\)
- Una pelota que rebota es un ejemplo de movimiento oscilatorio, ya que la pelota oscila alrededor de la posición de equilibrio. Vuelve a su posición vertical inicial al cabo de un tiempo.
- Un ejemplo de pelota que rebota no es un ejemplo de movimiento armónico simple. Su alto orden y las funciones conseguidas con operaciones diferenciales e integrales no pueden encajar en ningún círculo del movimiento armónico simple; para que pudiera calificarse de movimiento armónico simple, su velocidad tendría que ser constante.
Ejemplo de la pelota que rebota - Puntos clave
- El ejemplo de la pelota que rebota es un ejemplo utilizado para estudiar el movimiento de los proyectiles en mecánica. Rebota en una trayectoria semicircular y obedece a la segunda ley de Newton.
- La pelota pierde energía potencial al caer y gana energía cinética al moverse y ganar velocidad.
- Una pelota que rebota en un escenario ideal continuará este movimiento oscilatorio. En un escenario real, la pelota acabará dejando de moverse debido a fuerzas externas como la fricción del aire.
- El movimiento de la pelota puede describirse utilizando gráficos de velocidad, desplazamiento y aceleración, o secuencias geométricas.
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