Velocidad media

¿Qué es la velocidad media?

Antes de definir a la velocidad media, recordemos brevemente qué es la velocidad de un cuerpo en movimiento.

Comencemos definiendo a la velocidad media:

Fórmula de la velocidad media

La velocidad media de un objeto describe la distancia recorrida en un intervalo de tiempo. La fórmula matemática correspondiente a esta definición es:

\[v_{m}=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\]

Donde, \(\Delta x\) representa el cambio en la posición y \(\Delta t\) indica el cambio en el tiempo.

También se puede calcular la velocidad media en el tiempo utilizando los valores inicial y final de la velocidad:

\[v_m=\dfrac{v_0+v}{2}\]

Donde, \( v_0 \) es la velocidad inicial y \( v \) es la velocidad final.

Esta ecuación es derivable de la ecuación cinemática para la distancia media de la siguiente manera:

\[\begin{aligned}\Delta{x}=& \frac{v_o+v}{2}(t) \\ \\ \dfrac{\Delta{x}}{t}= & \frac{v_o+v}{2} \\ \\ v_m= & \frac{v_o+v}{2}. \end{aligned}\]

Gráfica de la velocidad media

Además de resolver numéricamente la velocidad media, también es útil representar gráficamente diferentes variables de movimiento para visualizar el problema. Podemos usar una gráfica de posición-tiempo como herramienta para examinar la velocidad de un objeto, dada una función de posición. Empleemos la siguiente gráfica para practicar la búsqueda de la velocidad entre algunos puntos diferentes a lo largo de una curva.

Fig. 1: Gráfica de la posición en función del tiempo, donde la pendiente entre dos puntos es igual a la velocidad media.

Podemos hallar la velocidad media calculando la pendiente entre dos puntos de la curva. Calculemos la velocidad media de tres segmentos diferentes de la gráfica utilizando dos puntos de la misma, a través de la fórmula \(v_{m}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\) para cada cálculo.

En primer lugar, vamos a encontrar la velocidad media entre el segundo punto \((4,8)\) y el cuarto punto \((12,2)\):

\[\begin{aligned} v_m =& \dfrac{2\,\,\mathrm{m}-8\,\,\mathrm{m}}{12\,\,\mathrm{s}-4\,\,\mathrm{s}} \\ v_m=& -0,8\,\,\mathrm{\dfrac{m}{s}}\end{aligned}\]

Aquí, la velocidad media es negativa, y podemos ver una tendencia a la baja en el gráfico.

A continuación, vamos a encontrar la velocidad media entre el tercer punto \((8,6)\) y el quinto punto \((18, 6)\):

\[\begin{aligned} v_m =& \dfrac{6\,\,\mathrm{m}-6\,\,\mathrm{m}}{18\,\,\mathrm{s}-8\,\,\mathrm{s}} \\ v_m=& \, 0\,\,\mathrm{\dfrac{m}{s}}\end{aligned}\]

La velocidad media es cero, porque no hay cambio de posición.

Por último, vamos a calcular la velocidad media entre los puntos uno \((1, 3)\) y dos \((4,8)\):

\[\begin{aligned} v_m =& \dfrac{8\,\,\mathrm{m}-3\,\,\mathrm{m}}{4\,\,\mathrm{s}-1\,\,\mathrm{s}} \\ v_m=& \dfrac{5}{3}\,\,\mathrm{\dfrac{m}{s}}\end{aligned}\]

Como en los puntos uno y dos hay una tendencia ascendente, la velocidad media es positiva.

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea de un objeto nos da tanto la magnitud como la dirección de la velocidad en un momento determinado.

La velocidad media no es lo mismo que la velocidad instantánea: al considerar la velocidad media, tenemos en cuenta la diferencia entre una velocidad final y una inicial, en un tiempo determinado, e incluye la dirección. Por eso la velocidad media de un viaje puede ser cero, como en nuestro ejemplo inicial.

Fórmula de la velocidad instantánea

Consideremos un coche que circula por una carretera recta. Para encontrar la velocidad media del coche entre dos instantes, tomamos el cambio en la posición dividido por el cambio en el tiempo:

\[v_{m_x}=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}.\]

A medida que tomamos diferencias de tiempo cada vez más pequeñas, nos acercamos a la velocidad en un momento específico en el tiempo, o la velocidad instantánea. Así, en el límite en el que el cambio en el tiempo \(\Delta t\) se aproxima a cero, llegamos a la velocidad instantánea:

\[v_x=\lim_{t\rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta x}{\Delta t}.\]

Esto se muestra en la siguiente figura, donde los puntos azules en las tres primeras representaciones dan las posiciones final e inicial del coche, hasta que la representación final muestra un punto azul para la posición exacta del coche en ese momento. Tomar el límite a medida que el cambio en el tiempo llega a cero implica utilizar el cálculo; por eso, en la siguiente sección discutiremos cómo encontrar la velocidad instantánea utilizando gráficos de posición frente al tiempo.

Dado que \(\Delta t\) es siempre una cantidad positiva, el signo de \(v-x\) viene determinado por el signo de \(\Delta x\). También es importante señalar que, aunque solo consideramos el movimiento unidimensional, la velocidad instantánea es un vector que tiene componentes \(x,\) \(y,\) y \(z\) que se encuentran tomando el cambio de posición en cada dimensión dividido por el cambio en el tiempo. Escribimos el vector de la velocidad instantánea tal que:

\[\vec{v}=v_x\hat{x}+v_y\hat{y}+v_z\hat{z}.\]

Gráfica de la velocidad instantánea

En esta sección discutiremos cómo usar una gráfica de posición-tiempo para encontrar la velocidad instantánea. Como se mencionó anteriormente, la velocidad instantánea de un objeto en movimiento es la tasa de cambio de la posición o, en otras palabras, la pendiente de la curva posición-tiempo.

Consideremos la curva de posición en función del tiempo mostrada por la curva azul de abajo. La pendiente de una línea que pasa por dos puntos a lo largo de la curva da la velocidad media del objeto durante el periodo de tiempo entre los dos puntos. Las curvas verde y roja del gráfico son ejemplos de líneas cuyas pendientes representan la velocidad media durante esos periodos. A medida que los dos puntos se aproximan, se acercan a la línea tangente de la curva en un único punto. La línea tangente de una curva es la que coincide con la pendiente de la curva en ese punto.

Fig. 3: La pendiente de la recta tangente a la curva de posición en función del tiempo da la velocidad instantánea en ese punto.

La línea púrpura en el gráfico es la línea tangente a la curva en \(t=1\,\,\mathrm{s}\), y tiene una pendiente de \(2\,\,\mathrm{\frac{m}{s}}\). La pendiente de la línea tangente en cada punto a lo largo de una gráfica de posición en función del tiempo da la velocidad instantánea en cada punto. Por lo tanto, la velocidad instantánea en \(t = 1\,\,\mathrm{s}\) es \(v_x = 2\,\,\mathrm{\frac{m}{s}}\).

Ahora, ¿cuál sería la velocidad instantánea en la posición máxima \(t = 2\,\,\mathrm{s}\) de la gráfica de posición en función del tiempo? La pendiente de la recta tangente a la curva en esta posición es cero, ya que en ese punto es simplemente una recta horizontal. Por lo tanto, la velocidad instantánea en este punto es \(v_x=0\,\,\mathrm{\frac{m}{s}}\).

Diferencia entre la velocidad media e instantánea

Ahora que ya conocemos las características de la velocidad media y de la velocidad instantánea podemos pasar a las diferencias entre ellas:

• La velocidad media es el desplazamiento dividido por el tiempo transcurrido; en cambio, la velocidad instantánea es el límite de la velocidad media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
• La velocidad media se mide a lo largo de una trayectoria, mientras que la velocidad instantánea se mide en un solo punto.
• La velocidad media se puede calcular a partir de las mediciones de velocidad instantánea.
• La pendiente de una línea que pasa por dos puntos a lo largo de la curva da la velocidad media del objeto durante el periodo de tiempo entre los dos puntos. Por otro lado, la pendiente de la línea tangente en cada punto a lo largo de una gráfica de posición en función del tiempo da la velocidad instantánea en cada punto.