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El significado del periodo de un péndulo
Para entender qué es el periodo de un péndulo, necesitamos conocer el significado de dos cosas: un periodo y un péndulo.
Un péndulo es un sistema que consiste en un objeto con una masa determinada que cuelga por una varilla o cuerda de un pivote fijo. El objeto colgante se llama bob.
Un péndulo oscilará hacia delante y hacia atrás, y el valor máximo que toma el ángulo θ de la cuerda con la verticalse llama amplitud. En realidad, esta situación es bastante complicada, y en este artículo sólo hablaremos de una versión simple de un péndulo.
Un péndulo simple es un péndulo en el que la varilla o cuerda no tiene masa y el pivote no tiene fricción.
Mira la figura siguiente para ver una ilustración de un péndulo simple.
Figura 1: Un péndulo simple.
En este artículo, siempre que hablemos de un péndulo, tendremos en mente un péndulo simple con una amplitud pequeña. Ahora que ya sabemos qué entendemos por péndulo, necesitamos un dato más, a saber, qué entendemos por período.
El periodo de un péndulo es la duración de una oscilación completa de la biela.
Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre dos situaciones sucesivas en las que la varilla de un péndulo está completamente a la derecha es un periodo del péndulo.
El impacto de la longitud en el periodo de un péndulo
La longitud de la cuerda de un péndulo influye en el periodo del péndulo al que pertenece. Esta afirmación es bastante convincente si nos fijamos en algunos ejemplos cotidianos.
Algunos adornos del árbol de Navidad son ejemplos bastante buenos de péndulo. Estos pequeños adornos tienen una longitud de cuerda pequeña, de un par de centímetros, y periodos pequeños, de menos de medio segundo (se tambalean rápidamente).
Un columpio de parque infantil es un ejemplo de péndulo con una longitud de cuerda de varios metros. El periodo de estos columpios suele ser superior a 3 segundos.
Un conjunto de columpios, de los cuales el izquierdo tendrá un periodo más corto que el derecho.
Por tanto, cuanto más larga sea la cuerda, mayor será el periodo del péndulo.
Otros factores que afectan al periodo de un péndulo
Hay otros dos factores que afectan al periodo de un péndulo: la aceleración gravitatoria y la amplitud del péndulo. Como sólo hablamos de péndulos con amplitudes pequeñas, el único otro factor que tenemos que tener en cuenta es la aceleración gravitatoria. Con una aceleración gravitatoria muy pequeña, podemos imaginar que las cosas se desarrollan a cámara lenta. Así, esperamos que cuanto mayor sea la aceleración gravitatoria, más rápida será la oscilación del péndulo y menor su periodo.
Pero espera, ¿por qué la masa de la bobina no afecta al periodo de un péndulo? Esto es muy parecido al hecho de que la masa de un objeto no afecta a la velocidad con la que cae: si la masa se duplica, la fuerza gravitatoria sobre él también se duplica, pero la aceleración sigue siendo la misma:. La bobina de nuestro péndulo experimenta lo mismo: la fuerza sobre la bobina 1, que es el doble de masiva que la de la bobina 2, es el doble de grande, pero la propia bobina es también el doble de pesada que la bobina 2. Por tanto, la barra 1 es el doble de difícil de desplazar que la barra 2, por lo que la aceleración de ambas barras será la misma (también en
). Por tanto, el periodo de un péndulo no depende de la masa de la barra.
Puedes comprobarlo experimentalmente yendo a un columpio de un parque infantil y midiendo el período del columpio cuando hay alguien subido y cuando no hay nadie subido. Los dos periodos medidos resultarán ser iguales: la masa de la barra no influye en el periodo del columpio.
La fórmula del periodo de un péndulo
Sies la longitud de la cuerda del péndulo y g es la aceleración gravitatoria, la fórmula para el periodo T de un péndulo es:
Vemos que acertamos en nuestras predicciones. Tanto una mayor longitud de la cuerda del péndulo como una menor aceleración gravitatoria provocan un mayor período del péndulo, y la masa de la bobina no afecta en absoluto al período del péndulo.
Es un buen ejercicio breve para comprobar que las unidades de esta ecuación son correctas.
Diagrama de un péndulo simple de pequeña amplitud con las magnitudes correspondientes.
Con un poco de cálculo, podemos deducir la fórmula del periodo de un péndulo. Necesitamos medir los ángulos en radianes, de modo que para ángulos pequeños, tenemos aproximadamente sin(θ) = θ. Las únicas fuerzas netas sobre una bobina con masa m son fuerzas horizontales, y la única fuerza horizontal que podemos encontrar es la parte horizontal de la tensión en la cuerda.
La tensión total en la cuerda es aproximadamente la componente vertical de la tensión, porque la amplitud del péndulo es pequeña. Esta componente vertical es igual a la fuerza descendente sobre la varilla (porque no hay fuerza vertical neta sobre la varilla), que es su peso mg.
La parte horizontal de la tensión es entonces -mgsin(θ) (con el signo menos porque la aceleración es en la dirección opuesta a su posición, que tomamos como positiva). Esto es aproximadamente -mgθ debido a la pequeña amplitud del péndulo. Por tanto, la aceleración de la bobina es.
La aceleración también se mide como la segunda derivada temporal de su posición horizontal, que es aproximadamente. Pero
es constante, por lo que la ecuación es ahora
, donde tenemos que resolver el ángulo θ en función del tiempo t. La solución de esta ecuación (como puedes comprobar) es
, donde A es la amplitud del péndulo. Vemos que θ es igual a A cada
unidades de tiempo, por lo que el periodo del péndulo viene dado por
. Esta derivación muestra explícitamente de dónde proceden todos los factores que afectan al periodo de un péndulo.
Llegamos a la conclusión de que, en la Tierra, el único factor que influye en el período de un péndulo es la longitud de la cuerda del péndulo.
Cálculo del período de un péndulo
Supongamos que podemos considerar un columpio de parque infantil como un péndulo simple. ¿Cuál es el período de un columpio que tiene su asiento 4 m por debajo de su pivote si sólo lo dejamos oscilar suavemente, es decir, con una amplitud pequeña?
Sabemos que g = 10 m/s2 y que. El período T de este péndulo se calcula entonces como:
.
Esto es, en efecto, lo que sabemos por experiencia propia.
Supongamos que podemos considerar un pendiente como un simple péndulo. Si alguien camina, sólo empuja un poco el pendiente, provocando una pequeña amplitud. ¿Cuál es el periodo de dicho pendiente si la longitud de la cuerda es de 1 cm?
El período de este péndulo se calcula de la siguiente manera:
.
Esto es también lo que sabemos por experiencia: un péndulo pequeño se tambalea muy rápidamente.
La frecuencia de un péndulo
La frecuencia (a menudo denotada por f ) de un sistema es siempre la inversa del período de ese sistema.
Por tanto, la frecuencia de un péndulo viene dada por:
.
Recuerda que la unidad estándar de frecuencia es el hercio (Hz), que es el inverso del segundo.
Período del péndulo - Puntos clave
Un péndulo es un sistema formado por un objeto con una masa determinada que cuelga por una varilla o cuerda de un pivote fijo. El objeto colgante se denomina bob. El ángulo máximo de la cuerda con la vertical se llama amplitud.
Un péndulo simple es un péndulo en el que la varilla o cuerda no tiene masa y el pivote no tiene fricción.
El período de un péndulo es la duración de una oscilación completa de la varilla.
Los únicos factores que influyen en el periodo de un péndulo son la aceleración gravitatoria y la longitud de la cuerda. Así, en la Tierra, sólo la longitud de la cuerda influye en el período de un péndulo.
La fórmula del período de un péndulo es
.
La frecuencia de un péndulo es la inversa del periodo, por lo que viene dada por
.
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