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Ángulo de fase
En artículos anteriores hablamos de la ecuación diferencial que describe el movimiento oscilatorio, en particular el movimiento armónico simple. Sabemos que la solución que satisface la ecuación se expresa como
$$x=A\sin\left(\omega t+\phi_0\right).$$
Donde \(A\) es la amplitud en metros \((\mathrm m)\), \(\omega\) es la frecuencia angular en radianes por segundo \((\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s})\), y \(\phi_0\) es la fase inicial en radianes \((\mathrm{rad})\).
El ángulo de fase es la componente angular de una onda periódica, tal que se define como el argumento de la función seno, \(\omega t+\phi_0\). Al elegir \(\phi_0\), especificamos la posición inicial del objeto oscilante para asegurarnos de que tenemos la ecuación correcta con la posición del oscilador, independientemente de dónde se encuentre en \(t=0\). Podemos replantear la ecuación anterior en términos del símbolo \(\phi\) para el ángulo de fase.
$$\begin{align*}\phi&=\omega t+\phi_0,\\x&=A\sin\left(\phi\right).\end{align*}$$
Para determinar la fase inicial utilizamos la fórmula siguiente
$$\phi_0=\sin^{-1}\left(\frac{x_0}A\right),$$
donde \ (A\) es la amplitud en metros \(( \mathrm m)\ ) y \(x_0) es la posición inicial del objeto en \(t=0\) en metros \ ((\mathrm m)\).
Un oscilador armónico simple tiene una amplitud de \(3,0;\mathrm{cm}\) y una frecuencia de \ (4,0;\mathrm{Hz}\). En el tiempo \(t=0\), su posición es \(y=3,0\;\mathrm{cm}\). ¿Dónde está en el tiempo \(t=0,3\;\mathrm s\)?
La amplitud es \(A=0,03;\mathrm m\) y la frecuencia angular es \(\omega=2\pi f=2\pi(4,0;\mathrm{Hz})=8\pi;{\textstyle\frac{mathrm{rad}}{mathrm s}}). Ahora podemos determinar la fase inicial,
\begin{align*}\phi_0&=\sin^{-1}\left(\frac{y_0}A\right),\\\phi_0&=\sin^{-1}\left(\frac{0.03\;\mathrm m}{0.03\;\mathrm m}\right),\\\phi_0&=\frac\pi2.\end{align*}
Ahora conocemos la posición del oscilador en cualquier instante de tiempo,
$$y(t)=0,03\sin\izquierda(8\pi t+\frac\pi2\derecha).$$
Podemos hallar la posición del oscilador en el tiempo \ (t=0,3\;\mathrm s\),
\begin{align*}y(0.3\;\mathrm s)&=(0.03\;\mathrm m)\sin\left((8\pi\;{\textstyle\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s}})(0.3\;\mathrm s)\;+\;\frac\pi2\;\mathrm{rad}\right),\\y(0.3\;\mathrm s)&=0.0093\;m.\end{align*}
La posición de un oscilador viene dada por la ecuación
$$y=(0,04;\mathrm m)\sin\left((6\pi\;{\textstyle\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s}})t-\frac\pi2;\mathrm{rad};\right).$$
¿Dónde está el oscilador en el momento \(t=0\)?
\begin{align*}y(0\;\mathrm s)&=(0.04\;\mathrm m)\sin\left((6\pi\;{\textstyle\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s}})(0\;\mathrm s)-\frac\pi2\;\mathrm{rad}\;\right),\\y(0\;\mathrm s)&=-0.04\;\mathrm m.\end{align*}
La fase inicial determinará si se utiliza una función seno o coseno para describir la posición del objeto oscilante. Por ejemplo, si \(\phi_0=\frac\pi2\) podemos utilizar una función coseno en lugar de una función seno con la fase inicial. Esto se debe a la identidad trigonométrica, \(\sin\left(\frac\pi2+\theta\right)=\cos\left(\theta\right)\). La tabla siguiente aclara cómo las dos expresiones dan los mismos resultados en cualquier momento.
| Ecuación | \(t=0\) | \(t=\frac\pi{2\omega}\) |
| \(\sin\izquierda(\omega t+\;\frac\pi2\derecha)\) | 1 | 0 |
| \(\cos\izquierda(\omega t\derecha)\) | 1 | 0 |
Como nota al margen, el ángulo de fase desempeña un papel muy importante en la física experimental, especialmente en la electrónica, donde existe una relación directa entre la tensión y las funciones sinusoidales. En electrónica, el ángulo de fase se refiere al desplazamiento angular entre las formas de onda de tensión y corriente en un circuito de corriente alterna.
Comprender la fase inicial en un gráfico
Hemos tratado la definición teórica del ángulo de fase y de la fase inicial. ¿Cómo entendemos el impacto de cambiar la fase inicial de una función sinusoidal? Es más fácil de entender si representamos realmente las funciones sinusoidales en un gráfico.
Fig. 1 - Diferentes ejemplos de fases iniciales para visualizar el impacto de ajustar la fase inicial de una función sinusoidal.
En la imagen anterior vemos que en el valor inicial \(x=0\), \(f(0)=\sin\izquierda(0\derecha)=0\). Para la misma función seno con una fase inicial \(\phi_0=\frac{-\pi}4\), \(f(0)=\sin\izquierda(0-\frac\pi4\derecha)=-\frac{sqrt2}2\) y \(f(\frac\pi4)=\sin\izquierda(\frac\pi4-\frac\pi4\derecha)=0\). Observamos que la función seno se ha desplazado horizontalmente hacia la derecha una cantidad de \(\frac\pi4\). Si cambiamos la fase inicial a \(\phi_0=-\pi\), observamos que la función seno se desplaza hacia la derecha una cantidad de \(\pi\). Aquí observamos un patrón: una fase inicial negativa desplazará la función horizontalmente hacia la derecha, mientras que una fase inicial positiva la desplazará horizontalmente hacia la izquierda. Esto se representa visualmente en la siguiente figura.
Fig. 2 - Función seno: caso en que la fase inicial es cero.
Fig. 3 - Efecto de una fase inicial positiva en una función sinusoidal.
Fig. 4 - Efecto de una fase inicial negativa en una función sinusoidal.
Ángulo de fase - Puntos clave
- La solución de la ecuación diferencial que describe el movimiento oscilatorio, en particular el movimiento armónico simple, es, \(x=A\sin\izquierda(\omega t+\phi_0\ derecha)\).
- Elángulo de fase es la componente angular de una onda periódica, tal que se define como el argumento de la función seno, \(\omega t+\phi_0\).
- Utilizamos la fase inicial para especificar laposición inicialdel objeto oscilante para asegurarnos de que tenemos la ecuación correcta con la posición del oscilador, independientemente de dónde se haya situado en \(t=0\), \(\phi_0=\sin^{-1}\ izquierda(\frac{x_0}A\ derecha)\).
- Una fase inicial negativa desplazará la función horizontalmente hacia la derecha, mientras que una fase inicial positiva la desplazará horizontalmente hacia la izquierda.
Referencias
- Fig. 1 - Diferentes ejemplos de fases iniciales para visualizar el impacto de ajustar la fase inicial de una función sinusoidal, StudySmarter Originals
- Fig. 2 - Función senoidal: caso en que la fase inicial es cero, StudySmarter Originals
- Fig. 3 - Efecto de una fase inicial positiva en una función sinusoidal, StudySmarter Originals
- Fig. 4 - Efecto de una fase inicial negativa en una función sinusoidal, StudySmarter Originals
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