péndulo físico

Definición de péndulo físico

En el artículo "Péndulo simple", definimos un péndulo simple como un péndulo ideal que tiene toda la masa concentrada en un punto. Sólo podemos utilizar la idea de péndulo simple cuando un objeto que cuelga de una cuerda puede modelarse como una masa puntual, y la masa de la cuerda es despreciable. En la vida real, sin embargo, la mayoría de los péndulos reales no pueden modelarse con precisión como masas puntuales sobre cuerdas sin masa. Nos referimos a un péndulo real de este tipo como péndulo físico.

Al principio de este artículo hemos mencionado un columpio de neumáticos como ejemplo de péndulo físico. La forma en que un columpio de neumático gira durante su movimiento es una prueba de que no puede modelarse como un simple péndulo. Modelizar el columpio de neumático sería bastante complicado, teniendo en cuenta cómo puede girar no sólo alrededor del punto de giro, sino también del eje paralelo a la cuerda. Un ejemplo más sencillo de péndulo físico es una varilla recta con un pivote en un extremo, como se muestra a continuación. No podemos ignorar la masa de la varilla como hicimos con la cuerda en un péndulo simple, por lo que debemos considerar la ubicación del centro de masa y el momento de inercia al describir su movimiento.

Fig. 2 - Una varilla uniforme con un pivote en un extremo es un péndulo físico.

Ecuación de un péndulo físico

Utilizando la segunda ley de Newton, podemos hallar una ecuación de movimiento para un péndulo físico. Considera un objeto no uniforme de masa \(m\) que cuelga de un pivote de modo que puede girar libremente alrededor de ese punto. La distancia desde el punto de pivote al centro de gravedad del objeto es \(d.\) Cuando el objeto experimenta un desplazamiento angular de \(\theta,\) el par restaurador sobre el objeto viene dado por:

\[\tau=-mgd\sin\theta,\]

donde \(g\) es la aceleración debida a la gravedad, \(g=9,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}.\) Hay un signo menos en esta ecuación porque el par restaurador apunta en el sentido de las agujas del reloj cuando el desplazamiento es en sentido contrario.

Como el par restaurador es proporcional a \(\sin\theta\) en lugar de \(\theta,\), el movimiento no es simplemente armónico. Sin embargo, para pequeñas amplitudes de movimiento, podemos aproximar que \(\sin\theta\aprox\theta.\) En esta aproximación, la fuerza restauradora es:

\[\tau=-mgd\sin\theta\approx-mgd\theta,\]

y el movimiento es aproximadamente simplemente armónico.

Ahora, sustituimos la fuerza restauradora en la segunda ley de Newton en la forma rotacional para obtener una ecuación de movimiento para un péndulo físico:

\[\begin{align*}\sum\tau&=I\alpha\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal -mgd\theta&=I\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}\\[8pt] xml-ph-0001@deepl.internal \frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}&=-\frac{mgd}{I}\theta.\end{align*}\]

En esta ecuación, \(I\) es el momento de inercia y \(\alpha\) es la aceleración angular. Reconocemos el término de la parte derecha de la ecuación, \(\frac{mgd}{I},\) como el cuadrado de la frecuencia angular, \(\omega,\) de modo que \(\omega=\sqrt{\frac{mgd}{I}.\) En términos de frecuencia angular, la ecuación del movimiento viene dada por:

\[\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}=-\omega^2\theta.\]

Período de un péndulo físico

El periodo de un péndulo físico puede deducirse de la frecuencia angular hallada en el apartado anterior. El periodo en términos de la frecuencia angular viene dado por:

\[\begin{align*}T&=\frac{1}{f}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{2\pi}{\omega}\\[8pt] xml-ph-0001@deepl.internal &=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{mgd}{I}}}\\[8pt] xml-ph-0002@deepl.internal &=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}.\end{align*}\]

Momento de inercia de un péndulo físico

El momento de inercia de un objeto de forma compleja puede calcularse hallando primero su período de movimiento. Primero se determina el centro de gravedad del objeto. A continuación, se deja que el objeto pivote alrededor de un punto determinado que esté a una distancia \(d\) del centro de gravedad. Finalmente medimos el periodo de la oscilación. Resolviendo el momento de inercia en la ecuación hallada en el apartado anterior, obtenemos

\[\begin{align*}T&=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal \frac{T}{2\pi}&=\sqrt{\frac{I}{mgd}}\\[8pt] xml-ph-0001@deepl.internal \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2&=\frac{I}{mgd}\\[8pt] xml-ph-0002@deepl.internal I&=mgd\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2.\end{align*}\]

A continuación, sustituimos los valores medidos por la masa, la distancia al centro de gravedad y el periodo de oscilación para calcular el momento de inercia.

Péndulo simple vs. péndulo físico

Un péndulo simple es un caso especial de péndulo físico que puede modelarse como una masa puntual sobre una cuerda sin masa. En el caso de un péndulo simple, el periodo sólo depende de la longitud de la cuerda \(l\) y de la aceleración debida a la gravedad:

\[T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.\]

Aunque los cálculos de un péndulo simple son menos complejos que los de un péndulo físico, la mayoría de los péndulos de la vida real no pueden modelizarse como un péndulo simple y deben tratarse como un péndulo físico.

Ejemplos de péndulos físicos

¡Hagamos un par de ejemplos con péndulos físicos para practicar!