Identidades trigonométricas

Te habrás dado cuenta en tus ejercicios de trigonometría de que muchas veces necesitas hacer operaciones que implican cambiar de una función a otra; por ejemplo, del seno al coseno. Estas operaciones se realizan usando lo que se conoce como identidades trigonométricas.

Como es posible que ya sepas, las identidades trigonométricas nos permiten manipular las funciones trigonométricas, de manera que podemos cambiar de una a otra o, incluso, a varias. Hay muchas de estas relaciones, por lo que en este artículo te haremos un resumen de las que deberás aprender para poder hacer tus ejercicios y exámenes.

Identidades trigonométricas: fórmulas

Antes de pasar a las fórmulas de las identidades trigonométricas, debes saber qué funciones las relacionan. Las principales funciones trigonométricas son el seno, el coseno y la tangente. Puedes saber más sobre estas funciones en nuestros artículos sobre trigonometría. Además de éstas, también están sus recíprocas, que son la cosecante, la secante y la cotangente.

Entre estas seis funciones existen muchas relaciones que aparecen a partir de la circunferencia unitaria. Aquí no vamos a explicar mucho sobre las demostraciones. Pero, además de las relaciones entre las distintas funciones, sí vamos a ver las fórmulas para los cambios de argumentos: las del ángulo doble y las del ángulo mitad.

Relación entre seno y coseno

Como ya hemos mencionado, las funciones trigonométricas más importantes son el seno, el coseno y la tangente. También, ya sabrás que estas aparecen al dividir los lados de un triángulo rectángulo. Sin embargo, estas funciones tienen la característica de que son periódicas y, más aún, el seno y el coseno son la misma función, pero desplazadas una con respecto a la otra en el eje de las \(x\).

Lo mismo ocurre con la tangente y la cotangente. Esto es:

\[\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos(\alpha)\]

\[\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin(\alpha)\]

\[\tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot(\alpha)\]

En este caso, \(\frac{\pi}{2}\) es el ángulo en radianes. Si estás trabajando en grados, simplemente sustituye esta cantidad por \(90º\).

Otra propiedad importante de estas funciones es su paridad. Es decir si son simétricas o antisimétricas con respecto al eje \(y\).

Esto proporciona las siguientes relaciones:

\[\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)\]

\[\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)\]

\[\tan(-\alpha)=-\tan(\alpha)\]

Estas relaciones son muy importantes, ya que en algunos casos podrás aplicarlas para simplificar tus resultados.

Relaciones fundamentales de la trigonometría

A partir de la circunferencia unitaria surgen ciertas relaciones llamadas relaciones fundamentales de la trigonometría. Haciendo uso del teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo sobre la circunferencia unitaria, llegamos a:

\[\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1\]

Si dividimos esta expresión entre \(\cos^2(\alpha)\), llegamos a la siguiente relación:

\[\tan^2(\alpha)+1=\cot^2(\alpha)\]

Por último, si dividimos la primera relación entre \(\sin^2(\alpha)\), llegamos a:

\[1+\cot^2(\alpha)=\csc^2(\alpha)\]

Razones trigonométricas de la suma y la diferencia de ángulos

¿Qué pasa si tienes una función trigonométrica cuyo argumento es una suma o resta de ángulos? Puedes hacer, primero, esa operación; entonces ya tendrás un argumento del que puedes obtener el resultado:

\[\sin(70º-40º)=\sin(30º)=\dfrac{1}{2}\]

Pero, ¿y si en el argumento hay una incógnita? Por ejemplo:

\[\cos(x+30º)\]

En este caso, no podemos realizar primero la suma, porque no conocemos el valor de \(x\). Por eso, recurrimos a las relaciones de suma y resta de ángulos en las funciones trigonométricas.

Para el seno estas son:

\[\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)\]

\[\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)\]

Para el coseno:

\[\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\]

\[\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\]

Para la tangente:

\[\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}\]

\[\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\tan(\beta)}\]

Identidades trigonométricas del ángulo doble

También puede ocurrir que en el argumento de una función trigonométrica te encuentres con que está multiplicado por \(2\). Igual que antes, puedes realizar la multiplicación y así aplicar la función al ángulo obtenido.

Pero, si en el argumento hay una incógnita, ¿qué puedes hacer en este caso? Por ejemplo:

\[\tan(2x)\]

Pues, gracias a las identidades trigonométricas del ángulo doble, existen relaciones entre las funciones que eliminan esa necesidad de multiplicar por \(2\). Estas identidades aparecen al sustituir el argumento por la suma de la incógnita por sí misma:

\[\tan(2x)=\tan(x+x)\]

Con las fórmulas que te hemos dado anteriormente, puedes hacer esta suma. Si hacemos estas operaciones para las tres funciones llegamos a:

\[\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\]

\[\cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)\]

\[\tan(2\alpha)=\dfrac{2\tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)}\]

Identidades trigonométricas del ángulo mitad

De la misma manera que puede aparecer el argumento multiplicado por \(2\), puede aparecer dividido entre \(2\); es decir, el ángulo mitad. Estas fórmulas surgen al sustituir el ángulo mitad en la primera relación fundamental de la trigonometría.

Se obtiene, entonces:

\[\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos(\alpha)}{2}}\]

\[\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos(\alpha)}{2}}\]

\[\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}}\]

Identidades de suma a producto

Muchas otras veces deberás simplificar expresiones. Para esto necesitas, en vez de una suma, un producto de las funciones, o viceversa. Estas conversiones de suma a producto o de producto a suma son las siguientes identidades trigonométricas.

Para el seno:

\[\sin(\alpha)+\sin(\beta)=2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\]

\[\sin(\alpha)-\sin(\beta)=2\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\]

Para el coseno:

\[\cos(\alpha)+\cos(\beta)=2\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\]

\[\cos(\alpha)-\cos(\beta)=-2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\]