Ángulos

¿Qué son los ángulos?

La siguiente figura muestra un ejemplo, donde \(\theta\) es el vértice del ángulo y las rectas que lo forman son \(\bar{OA}\) y \(\bar{OB}\).

Fig. 1: Ángulo con símbolo \(\theta\) entre dos rectas.

Notación de ángulos

Los ángulos se denotan por \(\angle\) o, comúnmente, por letras griegas.

Hay que conocer ciertas terminologías relacionadas con los ángulos para poder navegar sin problemas por esta sección. A continuación, encontrarás una lista de algunos términos útiles.

• Vértice: es el punto de encuentro de las semirrectas que forman un ángulo. También se conoce como punto de giro.

• Lado inicial: es la posición de la semirrecta donde comienza la rotación.

• Lado terminal: es el destino de la semirrecta después de la rotación.

• Ángulos positivos: son el resultado de una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj.

• Ángulos negativos: los ángulos negativos son el resultado de una rotación en el sentido de las agujas del reloj.

• Posición estándar: se da en planos de coordenadas, cuando el lado inicial se encuentra a lo largo del eje x y su vértice está en el origen de un plano.

Los ángulos también se miden en grados. Esto lo veremos más adelante, pero te adelantaremos que ángulo de noventa grados se escribe \(90º\).

Nombrando un ángulo

El ángulo mostrado arriba (Figura 1) también puede llamarse \(\angle 0\), \(\angle AOB\) o \(\angle BOA\). En este usamos los puntos de cada segmento de línea, mientras incluimos el vértice del ángulo —que es siempre la letra del medio—.

Veamos un ejemplo de lo aprendido:

¿Cómo se miden los ángulos?

• Un ángulo se mide en grados (o radianes), que describen su amplitud.

• Los ángulos están comprendidos en el intervalo entre \(0º\) y \(360º\).

• Un transportador es una herramienta que se utiliza para medir ángulos (Figura 3). Tiene la forma de un semicírculo y se divide en 180 secciones iguales.

Fig. 3: Transportador para medir ángulos.

Por ejemplo:

Con las terminologías claramente definidas anteriormente, podemos describir con seguridad la medición de ángulos como la cantidad de rotación desde el lado inicial hasta el lado terminal.

Los ángulos se miden en diferentes unidades:

• Grados, que usan el símbolo \(º\)

• Radianes, que usan las unidades \(rad\).

Grados

Los grados son tales que la ocurrencia de una rotación completa se divide en 360 unidades. Esto significa que \(360º\) se producen en una rotación completa desde el lado inicial —ya sea en el sentido contrario a las agujas del reloj—, hasta el lado terminal —estando en la misma posición que el lado inicial—.

Una unidad de la rotación completa se considera como \(1º\). Los grados, como ya mencionamos, se denotan con "\(°\)". Así pues, la rotación completa se escribe adecuadamente como \(360º\), mientras que el de la unidad se escribe también como \(1º\).

Radianes

La medida del radián de un ángulo es el ángulo formado en términos de su radio alrededor de un círculo. Para ser más detallados, podemos tomar primero la longitud de un radio de una circunferencia; luego podemos medir la misma distancia en la circunferencia del círculo, y ese ángulo que se forma al proyectar los extremos del arco hacia el centro es un radián.

La medida del radián se denota por "\(rad\)". La rotación alrededor de un punto (ángulo completo) mide radianes. Esto significa que la circunferencia completa es un ángulo de \(2\pi\) radianes.

Medir ángulos en triángulos y rectas

Algo muy importante es que los ángulos se pueden medir, de manera indirecta, usando relaciones trigonométricas. Esto sucede en triángulos, en rectas y entre vectores. Hay tres casos simples:

1. El ángulo entre dos lados de un triángulo se puede conocer usando las funciones seno, coseno o tangente —si se conocen al menos dos lados del triángulo—.

2. El ángulo entre dos vectores se puede calcular si se sabe la magnitud y las coordenadas de los vectores.

3. El ángulo entre dos rectas que se cruzan en un punto puede ser calculado cuando se trazan vectores sobre la recta.

¿Cuáles son los tipos de ángulos?

Existen diferentes tipos de ángulos, que se clasifican según sus características:

Ángulos rectos

Los ángulos rectos son los iguales a \(90º\). Los lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí. Normalmente, utilizamos dos líneas perpendiculares que conectan los dos lados del ángulo \(\angle AOB\), como se muestra en la fig. 4.

Ángulos agudos

Los ángulos agudos son más pequeños que un ángulo recto (que es de \(90º\)).

Puedes ver a continuación, un ejemplo de un ángulo agudo. Estos es \(\angle \theta\), donde este es menor que \(90º\), ya que los lados del ángulo no son perpendiculares.

Fig. 4: Rectas \(f\) y \(g\) definiendo un angulo agudo.

Ángulo llano

Los ángulos llanos tienen un valor de \(180º\) y están formados por una línea recta . El vértice del ángulo también forma un semicírculo, como se muestra en el ejemplo de la fig. 4, donde el ángulo \(\angle A\) está formado por un segmento de recta y es igual a \(180º\).

Si un ángulo crea un vértice de un círculo completo será igual al doble del ángulo de una línea recta, por lo tanto, medirá \(360º\). Esto se conoce como un ángulo completo.

Ángulos obtusos

Los ángulos obtusos son mayores que los rectos, pero menores que los llano. Por tanto, su medida en grados está entre \(90º\) y \(180º\).

Ángulos cóncavos

Los ángulos cóncavos son ángulos mayores que \(180º\), pero menores que \(360º\). Un ángulo cóncavo tiene un ángulo convexo en el otro lado que, cuando se suma, tiene como resultado \(360º\)

Se muestra un ejemplo en la Figura 5, donde \(\angle B\) es un ángulo cóncavo. También se puede identificar el convexo correspondiente.

Fig. 5: Rectas \(f\) y \(g\) definiendo un ángulo cóncavo.

Ángulos en las formas geométricas

Los ángulos formados por diferentes formas geométricas tienen diferentes propiedades. Estos ángulos pueden ser: Triángulos.

• Rectángulos.
• Trapecios.
• Cuadrados.
• Paralelogramos.
• Rombos.

A continuación, se indican las propiedades de los ángulos de cada tipo de forma:

1. Los ángulos de cualquier tipo de triángulo suman 180º.

2. Los ángulos de los cuadriláteros suman 360º.

¿Qué son las relaciones entre ángulos?

Las relaciones entre ángulos se refieren a ls que se dan entre un par de ángulos. Dos relaciones importantes son las de los ángulos complementarios y los ángulos suplementarios.

Ángulos complementarios

Fig. 6: Ángulos complementarios.

Ángulos suplementarios

Por ejemplo, en el diagrama siguiente, los ángulos \(\phi\) y \(\theta\) son ángulos suplementarios, ya que forman una línea recta.

Fig. 7: Rectas \(g\), \(g\) y \(h\) definiendo ángulos suplementarios.