Seguro que has visto alguna película donde hay una señal en una pantalla que hace una figura de ondas muy definidas y redondeadas. Es muy probable que lo que hayas visto sea una función seno. Esta señal que representan en la película o serie es falsa, porque ninguna señal es así de definida; pero, la función seno que se muestra es verdadera. De hecho, las señales en el mundo real pueden ser representadas como la suma de funciones seno, pero eso es un tema más avanzado.
En este artículo veremos las funciones sencillas. Aprenderemos sobre todo lo relacionado con las funciones trigonométricas: funciones seno, coseno y tangente, y sus respectivas gráficas. A continuación, vamos a explorar las funciones secante, cosecante, cotangente, arcoseno, arcocoseno y arctangente.
Puedes encontrar más información en nuestro artículo sobre Trigonometría.
Las funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas se relacionan con los ángulos y las longitudes de un triángulo. Las más comunes son el seno, el coseno y la tangente. Sin embargo, existen funciones trigonométricas recíprocas, como la cosecante, la secante y la cotangente; y funciones trigonométricas inversas, como el arcoseno, el arcocoseno y la arctangente.
A las funciones trigonométricas también se las conoce como razones trigonométricas. Esto se debe a que aparecen como la razón o cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo.
La función seno
Como ya sabemos por el artículo de Trigonometría, el seno de un ángulo se puede calcular en un triángulo rectángulo dividiendo el lado opuesto entre la hipotenusa. La gráfica de la función seno tiene este aspecto:
Fig. 1. Gráfica de la función seno.
A partir de esta gráfica, podemos observar las características clave de la función seno:
La función tiene un periodo de 2\(\pi\).
El valor mínimo del seno es -1.
El valor máximo del seno es 1.
Esto significa que la amplitud de la gráfica es 2 y su período es 2\(\pi\).
La gráfica corta en el origen de coordenadas y al eje x en \(\pi+n\pi\) radianes.
La función seno alcanza su valor máximo en \(\pi/2+2n\pi\).
La función seno alcanza su valor mínimo en \(3\pi/2+2n\pi\).
La función presenta simetría impar.
La función coseno
Puedes encontrar el valor del coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo dividiendo el adyacente por la hipotenusa. La gráfica del valor del coseno es exactamente igual a la del seno, excepto que está desplazada hacia la izquierda en \(\pi/2\) radianes:
Fig. 2. Gráfica de la función coseno.
Observando esta gráfica, podemos determinar las características clave de la función coseno:
La función tiene un periodo de \(2\pi\).
El valor mínimo del coseno es -1.
El valor máximo del coseno es 1.
Esto significa que la amplitud de la gráfica es 2 y su período es \(2\pi\).
La gráfica corta al eje y en \(\pi/2\), y al eje x en \(\pi/2+n\pi\).
La función coseno alcanza su valor máximo en \(2n\pi\).
La función coseno alcanza su valor mínimo en \(\pi+2n\pi\).
La función presenta simetría par.
La función tangente
Puedes calcular la tangente de un ángulo dividiendo el opuesto entre el adyacente, en un triángulo rectángulo. Sin embargo, la función tangente tiene un aspecto algo diferente al de las funciones coseno y seno. No es una onda, sino una función no continua, con asíntotas:
Fig. 3. Gráfica de la función tangente.
Observando esta gráfica, podemos determinar las características clave de la función tangente:
La función tiene un periodo de \(\pi\).
El valor mínimo de la tangente es \(-\infty\).
El valor máximo de la tangente es \(+\infty\).
Esto significa que la función tangente no tiene amplitud y su período es de \(\pi\).
La gráfica corta en el origen de coordenadas y tiene un periodo de \(\pi\) radianes.
La gráfica de la tangente tiene asíntotas, que son valores en los que la función se acerca al infinito.
Estas asíntotas están en \(\pi/2+n\pi\).
La función presenta simetría impar.
Recuerda que la tangente de un ángulo también se puede encontrar con esta fórmula:
\[\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\]
Funciones trigonométricas definidas por un triángulo
Las tres funciones también se pueden definir usando un triángulo rectángulo y uno de sus ángulos. Esto se puede ver en la imagen siguiente:
Fig. 4. Triángulo rectángulo con ángulo \(\theta\), cateto opuesto CO, cateto adyacente CA e hipotenusa H.
En este triángulo se tiene un cateto opuesto al ángulo \(CO\), un cateto adyacente \(CA\) y la hipotenusa \(H\). Las funciones se pueden definir usando estos ángulos como:
\[\sin(\theta)=\dfrac{CO}{H}\]
\[\cos(\theta)=\dfrac{CA}{H}\]
\[\cos(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=\dfrac{CO}{CA}\]
Funciones trigonométricas recíprocas
Las tres funciones trigonométricas anteriores tienen sus funciones recíprocas; es decir, el inverso de cada función. Así aparecen la cosecante, la secante y la cotangente:
\[\csc(\theta)=\dfrac{H}{CO}\]
\[\sec(\theta)=\dfrac{H}{CA}\]
\[\cot(\theta)=\dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}=\dfrac{CA}{CO}\]
Funciones trigonométricas inversas
Las funciones trigonométricas inversas se refieren a las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente. Estas funciones hacen lo contrario de las funciones seno, coseno y tangente; lo que significa que devuelven un ángulo cuando introducimos en ellas un valor de seno, coseno o tangente.
Estas funciones también se representan como:
Arcoseno: \(\arcsin(x)=\sin^{-1}(x)\)
Arcocoseno: \(\arccos(x)=\cos^{-1}(x)\)
Arcotangente: \(\arctan(x)=\tan^{-1}(x)\)
Como verás abajo, las gráficas de estas funciones son muy diferentes a las del seno, coseno y tangente:
Fig. 5. Gráfica de las funciones arcoseno y arcocoseno.
Fig. 6. Gráfica de la función arcotangente.
Dominio de funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas tienen dominios y rangos que son limitados, además tienen ciertas características importantes:
Las funciones seno, coseno y arcotangente tienen un dominio igual a \((-\infty, \infty)\) y un rango entre \([-1, 1]\).
Las funciones arcoseno y arcocoseno tienen tanto un dominio como un rango limitado: \([-1, 1]\). La función arcoseno tiene un rango de \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) y la función arcocoseno tiene un rango de \([0, \pi]\).
Hay otras funciones que tienen un comportamiento más extraño, debido a que tienen discontinuidad y asíntotas:
La función tangente tiene discontinuidades cada múltiplo de \(\frac{\pi}{2}\).
La función cosecante tiene discontinuidades cada múltiplo de \(\pi\).
La función secante tiene discontinuidades cada múltiplo de \(\frac{\pi}{2}\).
Esto lo puedes ver en las gráficas anteriores.
Puedes leer más al respecto en nuestro artículo sobre discontinuidades y límites.
Características de las funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas tienen ciertas características, como:
1. Son cíclicas: sus valores se repiten. En el caso de las funciones seno y coseno repiten sus valores cada múltiplo de \(2\pi\); por ejemplo:
\[\sin(\alpha)=\sin(\alpha+2\pi)\]
\[\cos(\alpha)=\cos(\alpha+2\pi)\]
La función tangente repite sus valores cada \(\pi\):
\[\tan(\alpha)=\tan(\alpha+\pi)\]
2. Las funciones seno y coseno entre sí y tangente y cotangente entre sí tienen un desplazamiento del argumento de \(\pi/2\). Esto significa que:
\[\sin(\tfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cos(\alpha)\]
\[\cos(\tfrac{\pi}{2}-\alpha)=\sin(\alpha)\]
\[\tan(\tfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cot(\alpha)\]
3. Se pueden usar para representar las otras:
\[\cos(\alpha)=\sin(\alpha+\tfrac{\pi}{2})\]
\[\sin(\alpha)=\cos(\alpha+\tfrac{\pi}{2})\]
\[\tan(\alpha)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\]
Derivación de las funciones trigonométricas
Un dato muy importante es que las razones trigonométricas tienen derivadas muy bien definidas para las tres básicas:
\[f(x)\] | \[f'(x)\] |
\[\sin(x)\] | \[\cos(x)\] |
\[\cos(x)\] | \[-\sin(x)\] |
\[\tan(x)\] | \[\sec^2(x)\] |
\[\cot(x)\] | \[-\csc^2(x)\] |
\[\sec(x)\] | \[\sec(x)\tan(x)\] |
\[\csc(x)\] | \[-\csc(x)\cot(x)\] |
Tabla 1: Tabla de derivadas de las razones trigonométricas.
Si sabes un poco sobre derivadas y métodos para derivar, puedes comprobar la derivada de la función \(\tan(x)\).
Sabemos que la función tangente es igual a:
\[\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\]
Usando un método denominado cambio de variable, podemos observar que si:
\[\cos(x)=u\]
Entonces podemos tener, también:
\[\sin(x)=-du\]
Al hacer eso, se tiene:
\[\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}=\dfrac{-du}{u}\]
Esto lo convierte en la función:
\[\tan(x)=-u^{-1}\]
Al derivarlo, tenemos:
\[\dfrac{d}{dx} x^n=nx^{n-1}\]
Aquí \(n=-1\), así que tenemos:
\[\dfrac{d}{dx} (-u^{-1})=1(-1)u^{-1-1}=u^{-2}\]
Regresando a la variable original:
\[u^{-2}=(\cos(x))^{-2}=\dfrac{1}{cos^2(x)}\]
Y debido a que \(\sec(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}\):
\[\dfrac{1}{\cos^2(x)}=\sec^2(x)\]
Como puedes ver, cumple su derivada.
Integración de las funciones trigonométricas
Debido a que la integral es la antiderivada, las integrales de las funciones trigonometricas básicas son:
\[f(x)\] | \[F(x)\] |
\[\sin(x)\] | \[-\cos(x)+c\] |
\[\cos(x)\] | \[\sin(x)+c\] |
\[\tan(x)\] | \[-\ln |\cos(x)|+c\] |
\[\sec(x)\] | \[\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c\] |
\[\csc(x)\] | \[-\ln|\csc(x)+\cot(x)|+c\] |
\[\cot(x)\] | \[\ln|\sin(x)|+c\] |
Tabla 2: Integrales de las funciones trigonométricas básicas.
Como has visto, las derivadas e integrales de las funciones seno y coseno son cíclicas; es decir que al integrar y derivar continuamente, te darán:
\(\sin \rightarrow \cos \rightarrow -\sin \rightarrow -\cos \rightarrow … \)
Esta propiedad es muy importante, ya que en temas como integración por partes o cambio de variables este comportamiento cíclico puede simplificar mucho las operaciones.
En otros temas, como cambio de variables, es muy útil que una función sea la derivada de la otra, ya que:
\[u=\sin(x)\]
Entonces, podemos decir que:
\[du=\cos(x)dx\]
Funciones trigonométricas: ejercicios
Hagamos algunos ejercicios de las funciones trigonométricas. Vamos primero con las definiciones de triángulos.
Se tiene un triángulo rectángulo, cuyos catetos son \(a=3\) y \(b=2\).
Calcula el valor de la hipotenusa y del ángulo \(\theta\) que se ven en la imagen.
Fig. 7. Triángulo con lados \(a=3\) y \(b=2\).
Solución:
En primer lugar, usamos la fórmula de Pitágoras para obtener la hipotenusa:
\[c=\sqrt{a^2+b^2}\]
Al sustituir los valores de ambos catetos, esto es, aproximadamente:
\[c=3{,}60…\]
Ahora, para calcular \(\theta\) podemos usar la función seno:
\[\sin(\theta)=\dfrac{CO}{H}\]
O, lo que es lo mismo:
\[\sin(\theta)=\dfrac{b}{c}\]
Despejando para dejar \(\theta\) de un solo lado, tenemos:
\[\theta=\sin^{-1}\left(\frac{b}{c}\right)\]
Si sustituimos los valores, obtenemos:
\[\theta=0{,}98\,\mathrm{rad}\]
Que es lo mismo que:
\[56{,}14º\]
Calcula los dos ángulos de un triangulo rectángulo cuyos catetos son \(a=5\) y \(b=5\).
Solución:
Esto se puede resolver por deducción o por cálculo; veamos ambos.
Por deducción:
Si sabemos que los ángulos internos de un triángulo suman \(180º\), esto significa que el triángulo rectángulo tiene un ángulo de \(90º\) y dos ángulos desconocidos.
Sin embargo, como los catetos son iguales, los ángulos deben ser iguales, por lo que:
\[2\theta+90º=180º\]
Despejando, tenemos:
\[\theta=\dfrac{180º - 90º}{2}=45º\]
Por cálculos:
En este caso usaremos la función tangente de un ángulo desconocido. Como ya sabemos que ambos miden lo mismo, nos basta con calcular uno.
\[\tan(\theta)=\dfrac{CO}{CA}\]
Que es lo mismo que:
\[\tan(\theta)=\dfrac{a}{b}\]
Pero, en este caso \(a=b\); así que se tiene:
\[\tan(\theta)=1\]
Despejando la función tangente, tenemos:
\[\theta=\tan^{-1}(1)=\dfrac{\pi}{4}\]
Y si pasamos esto a grados tenemos:
\[\theta=45º\]
Deriva la siguiente función:
\[f(x)=4\sin(x)+4\cos(x)\]
Solución:
Si seguimos las reglas de las derivadas, sabemos que:
\[(\sin(x))'=\cos(x)\]
\[(\cos(x))'=-\sin(x)\]
Así que, curiosamente, tenemos:
\[f'(x)=4\cos(x)-4\sin(x)\]
Funciones Trigonométricas - Puntos clave
- Las funciones seno y coseno tienen un periodo de \(2\pi\).
- Las funciones seno y coseno tienen una amplitud no mayor de 1.
- La función tangente tiene discontinuidades cada múltiplo de \(\dfrac{1}{2}\).
Las funciones trigonométricas recíprocas son: cosecante, secante y cotangente.
Las funciones inversas son: arcoseno, arcocoseno, arcotangente.
Puedes definir las funciones trigonométricas usando un triángulo rectángulo; estas son:
\(\sin(\theta)=\dfrac{CO}{H} \)
\(\cos(\theta)=\dfrac{CA}{H}\)
\(\cos(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=\dfrac{CO}{CA}\)
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