Las matemáticas son un lenguaje muy preciso, y se requieren diferentes formas de descripción para distintos aspectos de la realidad. La dependencia de las matemáticas con la notación es esencial para los conceptos abstractos que explora.
- Primero entenderemos qué es la notación como concepto general.
- A continuación, definiremos el concepto de lenguaje matemático y la notación matemática.
- Una vez estas ideas las tengamos claras, veremos una tabla de los símbolos matemáticos.
- Finalmente, distinguiremos los distintos tipos de notaciones y las cualidades de estas.
¿Qué es la notación?
La notación es un sistema simbólico para la representación de elementos y conceptos matemáticos.
Por ejemplo: es más apropiado intentar describir un terreno a alguien (que quiere orientarse en lugares que no conoce) dibujando un mapa, en lugar de utilizar texto.
Pues esto es lo que nos pasa con la notación en las matemáticas.
Definición del lenguaje matemático
Las matemáticas dependen de un lenguaje para expresar ideas. Este lenguaje tiene reglas y símbolos que le ayudan a ser preciso y conciso:
- Preciso, porque las cantidades y operaciones deben ser iguales, independientemente de quien las exprese o las use.
- Conciso, para poder expresar ideas complejas de manera simple y con pocos símbolos.
¿Qué es la notación matemática?
La notación matemática, junto con los objetos que representa —que son números, objetos, operaciones y funciones—, se podría conocer como lenguaje matemático. Este lenguaje está hecho de tal modo que comunica ideas sin ambigüedad.
En general, cualquier expresión matemática es un ejemplo de lenguaje matemático.
Para poder hacer esto, las matemáticas emplean una notación.
Notación matemática y lenguaje matemático básico
El concepto de notación está concebido para que unos símbolos concretos representen ideas concretas, de modo que la comunicación pueda ser eficaz.
Lenguaje matemático: símbolos
En matemáticas, los símbolos ocupan un lugar especial, ya que con ellos se pueden definir operaciones, funciones o conceptos. Desglosemos estos tres puntos:
Operaciones: los símbolos matemáticos que indican operaciones incluyen los símbolos aritméticos; estos símbolos ayudan a concatenar valores o funciones. Un ejemplo de ellos es cuando el símbolo indica que los dos valores deben sumarse.
Funciones: los símbolos también pueden ser usados para representar funciones que son operaciones especiales. Estas operaciones son más complejas que los símbolos aritméticos y, muchas veces, no son lineales (como la suma o resta). Ejemplo de ello son las funciones.
Conceptos: los símbolos matemáticos también pueden representar conceptos. Por ejemplo, un grupo llamado Números reales, y el símbolo define existencia de algo.
Las letras son símbolos muy usados para representar objetos o variables; las letras pueden ser usadas como cada persona lo requiera. Pueden representar números, grupos de números, funciones, trayectorias, etc.
Tabla de símbolos matemáticos
| Símbolo | Significado |
| \(+\) | Suma |
| \(-\) | Resta |
| \(\times\) | Multiplicación |
| \(\div\) | División |
| \(\log_{10}\) | Logaritmo de base \(10\) |
| \(\ln\) | Número de Euler o natural |
| \(\pi\) | Número pi |
| \(\sqrt{x}\) | Raíz cuadrada de un numero |
| \(x^2\) | Número al cuadrado |
| \(\sqrt[a]{x}\) | Raíz de base \(a\) |
| \(x^3\) | Número al cubo |
| \(\log_a\) | Logaritmo de base "\(a\)" |
| \(\sin, \cos,\tan\) | Funciones trigonométricas |
| \(f(x)\) | Función de \(x\) |
| \(f(x)^{-1}\) | Inversa de la función de \(x\) |
Tabla 1: Símbolos matemáticos básicos y lo que representan.
Tipos de notación
La notación se compone principalmente de letras, símbolos, figuras y signos. Pero la notación puede utilizar solo símbolos, solo letras, solo números, o una mezcla —como el símbolo Factorial—. Veamos algunas notaciones básicas:
Notación de conteo
Al estudiar matemáticas, es probable que te encuentres con la notación del Factorial: \[n!=1\space \text{si}\space n=0\]
O, en caso contrario, con: \[n!=n·(n-1)·(n-2)·...·1\]
\(n!\) cuenta el número de maneras de ordenar objetos distintos. Por lo tanto, es intuitivo saber que cuando se tienen cero objetos, solo hay una forma de ordenarlos: no hacer nada.
En relación con los factoriales está la notación del coeficiente binomial:
\[\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=C^n_k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\]
La fórmula anterior es una forma de expresar el número de subconjuntos en un conjunto.
Notación de conjuntos
Este sistema se utiliza para definir los elementos y las propiedades de los conjuntos mediante símbolos. En el caso de los conjuntos, los escribimos como elementos dentro de llaves.
Por ejemplo, \(S=\{1,2,3...\}\) se utiliza para declarar que \(1,2,3...\) son elementos dentro de un conjunto \(S\), cuyos elementos aparecen entre las llaves.
Podemos tener otro escenario donde: \[S=\{1,2,3,...,n\}\], escribir lo mismo como: \[S=\{x|1<x<n\}\]
- La primera expresión establece que un grupo llamado \(S\) contiene los números en el intervalo \([1,n]\).
- La segunda expresión afirma que un grupo llamado \(S\) es igual a los elementos \(x\), tales que \(x\) existe entre \(1\) y \(n\). Sin embargo, la segunda expresión no dice nada sobre la progresión de los números: la variable \(x\) puede ser cualquier número entre \(1\) y \(n\); como, por ejemplo, \(4\)—siempre que sea entero—. En la primera, en cambio, un número con decimal podría ser parte de \(S\).
A continuación hay unos símbolos que empleamos al describir conjuntos. Los símbolos se aplican de izquierda a derecha, como el símbolo de igualdad; por lo que \(B\in A\) se leerá "\(B\) pertenece a \(A\)".
| Símbolo | Significado |
| \(\in\) | "Es un miembro de" o "es un elemento de". |
| \(\notin\) | "No es miembro de" o "no es un elemento de"; por ejemplo, "\(B\) no es miembro del grupo \(A\)", por eso se escribe como \(B\notin A\). |
| \(\{\}\) | Denota un conjunto: todo lo que está entre llaves pertenece al conjunto |
| \(|\) | "Tal que" o "por lo cual" |
| \(:\) | "Tal que" o "para el cual" |
| \(\cap\) | "Intersección", son los elementos que comparten ambos conjuntos. |
| \(\cap\) | "Unión", es la unión de los elementos de ambos conjuntos. |
Tabla 2: símbolos para conjuntos.
Los números no son lo único que se califica como elementos de conjuntos. Prácticamente, cualquier cosa de la que se quiera hablar puede hacerlo.
Por ejemplo, si \(A=\{a,b,c\}\) , se puede escribir \(a\in A\), para denotar que \(a\) es un elemento del conjunto \(A\) como \(\in A\).
Los propios conjuntos pueden ser elementos de otros conjuntos.
Notación de suma
La notación de suma es una forma conveniente de expresar sumas hasta un cierto número arbitrario. Podemos denotar estas sumas usando el símbolo \(\displaystyle\sum_i\).
\[3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+10^2=\displaystyle\sum_{n=3}^{10}n^2\]
Esto significa que estamos sumando todos los valores de \(n\), empezando por \(3\), hasta llegar a \(10\) —que es donde nos detenemos—.
Notación Pi
La notación Pi se utiliza para indicar la multiplicación repetida. También se llama notación del producto. Esta notación es bastante similar a la de suma. Se indica con el símbolo \(\displaystyle\prod_i\).
\[\displaystyle\prod_{n=5}^N (n^2-1)=(5^2-1)(6^2-1)...(N^2-1)\]
Aquí se leen los productos de \(n\), cuando \(n\geq 5\).
La notación Pi también se utiliza para definir el factorial: \[n!=\displaystyle\prod_{i=1}^n i=1·2·3·4·...·(n-1)n\]
Notación exponencial
Esta notación, en matemáticas, se utiliza para denotar cifras que se multiplican a sí mismas un número de veces.
Utilizando la notación exponencial tres por tres, se puede escribir como \(3^2\), que es lo mismo que \(9\). Esto puede leerse como tres a la potencia de dos. La expresión "el número elevado a la potencia", es el número de veces que el número base se multiplica a sí mismo.
La notación exponencial también es útil para expresar números grandes.
El número 360 puede escribirse en potencias como:
\[2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 5=2^3\times 3^2\times 5\]
Cualidades de las notaciones
Para que las notaciones funcionen, deben poseer ciertas cualidades:
Expresividad: significa la claridad de la notación. Una notación correcta debe contener toda la información pertinente, en la forma exacta en que debe utilizarse. Por ejemplo, una notación exponencial \(4^2\) puede expresarse como \(4\times 4\), que es lo mismo que \(16\).
Brevedad y sencillez: las notaciones deben ser tan breves y sencillas como sea posible. Existe la posibilidad de que se cometan errores al escribirlas largas y, teniendo en cuenta la naturaleza de la precisión que requieren para ser válidas, deben ser fáciles de leer, pronunciar y escribir.
Notación - Puntos centrales
- La notación es un sistema simbólico para la representación de elementos y conceptos matemáticos.
- El concepto de notación está pensado para que unos símbolos concretos representen cosas concretas y la comunicación sea eficaz.
- La notación de suma sirve para que podamos expresar una suma de términos hasta un valor arbitrario.
- La notación Pi nos permite indicar la multiplicación de términos, hasta multiplicar por un último valor arbitrario.
- La notación exponencial en matemáticas se utiliza para denotar figuras que se multiplican a sí mismas un número de veces.
- La notación contiene toda la información relevante tal y como debe utilizarse
- Las notaciones suelen ser lo más sencillas posible.
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