Potencias y raíces

Las potencias se utilizan cuando queremos multiplicar un número por sí mismo repetidamente.

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Índice de temas
    • En este artículo te explicaremos qué son las potencias, dónde también veremos qué son las potencias cuadradas.
    • Después pasaremos a estudiar las raíces: raíces cuadradas, raíces cúbicas y raíces de órdenes superiores.
    • Luego revisaremos las propiedades de las raíces y los exponentes fraccionarios.
    • A continuación pasaremos a ver algunos ejemplos de operaciones combinadas con potencias y raíces.
    • Por último, veremos las ecuaciones con potencias y raíces:
      • Ecuaciones con potencias cuadradas
      • Ecuaciones con raíces cuadradas

    ¿Qué son las potencias?

    La potencia es el exponente al que se eleva un número o variable. Por ejemplo: la expresión \(x^n\) se lee como \(x\) a la potencia de \(n\), lo que significa que el valor de \(x\) se multiplica por sí mismo \(n\) veces.

    Tenemos: \[x^2=x\cdot x\]

    Si el valor de \(x\) es \(5\), entonces podemos calcular \(x^2\) así:

    \[x^2=5^2=5\cdot 5=25\]

    Del mismo modo, podemos calcular \(x^3\) y \(x^4\):

    \[x^3=5^3=5\cdot 5\cdot 5=125\]

    \[x^4=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625\]

    Observa que si ya conoces el valor de \(5^2\), que es \(25\), puedes multiplicarlo por \(5\) una vez más para obtener el valor de \(5^3\).

    Si una variable no tiene potencia o exponente, se supone esta es \(1\). Es decir, \(x^1=x\).

    Además, cualquier número elevado a \(0\) (cero) es igual a \(1\). Por ejemplo, \(x^0=1\).

    Puedes consultar el artículo de Propiedades de los exponentes y logaritmos para una explicación más detallada de las reglas que debes utilizar cuando trabajes con exponentes.

    Sin embargo, como recordatorio, estas son las reglas de los exponentes que debes tener en cuenta:

    \[x^a\cdot x^b=x^{a+b}\]

    \[\dfrac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\]

    \[\left(x^a\right)^b=x^{a\cdot b}\]

    \[x^{-a}=\dfrac{1}{x^a}\]

    \[x^{\frac{a}{b}}=\sqrt[b]{x^a}\]

    \[x^0=1\]

    Potencias cuadradas

    Las potencias cuadradas son potencias cuyo índice (otro nombre que se le da al exponente) es igual a \(2\).

    Muchos fenómenos en la naturaleza describen comportamientos donde existe una potencia cuadrada: oscilaciones, lanzamiento parabólico, entre otros.

    Cuando un número está elevado a una potencia cuadrada, decimos que está elevado al cuadrado.

    En \(3^2\), el \(2\) en el exponente es una potencia cuadrada. Además, podemos decir que el número \(3\) está elevado al cuadrado.

    ¿Qué son las raíces?

    Las raíces son la inversa de las potencias. Para calcular la raíz de un número enésimo, tal que \(\sqrt[n]{x}\), estamos buscando un número que elevado a \(n\) dé \(x\).

    Raíces cuadradas

    Si queremos encontrar la raíz cuadrada de un número, tenemos que averiguar qué número multiplicado por sí mismo una vez nos da el número que está dentro de la raíz cuadrada.

    Si quieres encontrar la raíz cuadrada de \(25\), tienes que encontrar qué número multiplicado por sí mismo es igual a \(25\).

    \[\sqrt{25}=\pm 5\]

    Pero, ¿por qué el resultado es \(\pm 5\)?

    Porque la raíz cuadrada de \(25\) puede ser tanto \(5\) como \(-5\).

    \[5\cdot 5=25\]

    \[(-5)\cdot (-5)=25\]

    Por lo tanto, siempre hay dos respuestas cuando calculamos la raíz cuadrada de un número.

    \(\sqrt{-25}\neq (-5)\): La raíz cuadrada de un número negativo no tiene solución real. En este caso, se necesitan números imaginarios, porque solo los números positivos pueden obtener su raíz cuadrada de esta manera.

    Las raíces cuadradas se pueden clasificar según el tipo de número que hay dentro de la raíz, de la siguiente manera:

    • La raíz cuadrada de los cuadrados perfectos:

    La raíz cuadrada de los cuadrados perfectos da como resultado un número entero. Es muy fácil de calcular y útil para recordar cuando se trabaja con expresiones que contienen potencias y raíces. Ayuda a evaluar y simplificar este tipo de expresiones.

    A modo de recordatorio, aquí están los diez primeros:

    \(\sqrt{1}\)

    \(\sqrt{4}\)

    \(\sqrt{9}\)

    \(\sqrt{16}\)

    \(\sqrt{25}\)

    \(\sqrt{36}\)

    \(\sqrt{49}\)

    \(\sqrt{64}\)

    \(\sqrt{81}\)

    \(\sqrt{100}\)

    \(\pm 1\)\(\pm 2\)\(\pm 3\)\(\pm 4\)\(\pm 5\)\(\pm 6\)\(\pm 7\)\(\pm 8\)\(\pm 9\)\(\pm 10\)

    • La raíz cuadrada de los números que no son cuadrados perfectos:

    La raíz cuadrada de los números que no son cuadrados perfectos no es un número entero: producen números irracionales con infinitos decimales. Para representar este tipo de números de manera más exacta, se dejan en su forma de raíz y se llaman irracionales. Por ejemplo: \(\sqrt{2}\),\(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{6}\)...

    Si el número que está dentro de la raíz, tiene como factor un número cuadrado; entonces, se puede simplificar.

    Por ejemplo: \(\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{4}\sqrt{2}=2\cdot \sqrt{2}\).

    Puedes leer sobre raíces en nuestro otro artículo para más detalles.

    Raíz cúbica

    Si se quiere encontrar la raíz cúbica de un número, hay que averiguar qué número multiplicado por sí mismo tres veces nos daría el número que está dentro de la raíz cúbica. Es lo contrario de elevar un número a la tercera potencia.

    Si quieres encontrar la raíz cúbica de \(8\), necesitas encontrar qué número multiplicado por sí mismo tres veces es igual a \(8\):

    \[\sqrt[3]{8}=2\]

    Fíjate que, en este caso, solo tenemos una respuesta, no dos. Esto se debe a que cuando se multiplica un número negativo por sí mismo tres veces, el resultado también es negativo:

    \[(-2)·(-2)·(-2)=-8\]

    Por lo tanto, la única respuesta posible es:

    \[2·2·2=8\]

    \(\sqrt[3]{-8}=-2\): Las raíces cúbicas pueden tener como argumento un número negativo.

    Otras raíces

    • Raíz 4ª: Las reglas son similares a las de las raíces cuadradas.

    • Raíz 5ª: Las reglas son similares a las de las raíces cúbicas.

    En general, las raíces impares tienen una solución, y las pares tienen dos soluciones.

    Propiedades de las raíces

    Las propiedades de las raíces pueden extrapolarse a partir de las propiedades de los exponentes, puesto que las raíces pueden convertirse en exponentes fraccionarios. Puedes conocer más sobre esto en nuestro artículo Propiedades de los exponentes y logaritmos.

    Exponentes fraccionarios

    Los exponentes fraccionarios son equivalentes a las raíces, como se muestra en la siguiente regla exponencial:

    \[\sqrt[b]{x^a}=x^{\frac{a}{b}}\]

    Usando esta expresión, puedes escribir cualquier exponente fraccionario como una raíz:

    \[x^{1/2}=\sqrt{x}\]

    \[x^{a/3}=\sqrt[3]{x^a}\]

    \[x^{2/3}=\sqrt[3]{x^2}\]

    Puedes utilizar la misma expresión para escribir cualquier raíz como exponente fraccionario:

    \[\sqrt[4]{x}=x^{1/4}\]

    \[\sqrt[6]{x^5}=x^{5/6}\]

    Operaciones combinadas con potencias y raíces

    Ahora que sabes cómo trabajar con exponentes fraccionarios y, teniendo en cuenta las reglas exponenciales, tienes todo lo que necesitas para evaluar o simplificar expresiones que contengan potencias y raíces. Aquí tienes algunos ejemplos:

    Evalúa o simplifica \(\sqrt{50}\).

    Solución

    Recordando los cuadrados perfectos, puedes cambiar:

    \[\sqrt{50}=\sqrt{25·2}\]

    \[\sqrt{50}=\sqrt{25}\sqrt{2}\]

    \[\sqrt{50}=5\sqrt{2}\]

    \(5\sqrt{2}\) es un ejemplo de un irracional que no se puede simplificar más, así que se deja en su forma de raíz cuadrada (radical). ¡Recuerda leer más sobre los irracionales y radicales!

    Evalúa o simplifica:

    \[\dfrac{\sqrt{x}\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}}\]

    Solución

    Transformando las raíces en exponentes fraccionarios:

    \[\dfrac{\sqrt{x}\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}}=\dfrac{x^{1/2}\cdot x^{1/4}}{x^{1/3}}\]

    Usando la regla exponencial \(x^a·x^b=x^{a+b}\):

    \[\dfrac{x^{1/2}\cdot x^{1/4}}{x^{1/3}}=\dfrac{x^{3/4}}{x^{1/3}}\]

    Y aplicando, ahora, la regla exponencial \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\):

    \[\dfrac{x^{3/4}}{x^{1/3}}=x^{5/12}\]

    Evalúa o simplifica:

    \[\dfrac{24x^4y^5}{4x^5}\]

    Solución

    Usando la regla exponencial \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\):

    \[\dfrac{24x^4y^5}{4x^5}=6x^{-1}y^5\]

    Y aplicando, ahora, la regla exponencial \(x^{-a}=\frac{1}{x^a}\):

    \[6x^{-1}y^5=\dfrac{6y^5}{x}\]

    Evalúa o simplifica:

    \[\left(\dfrac{3xy^2}{2x^3}\right)^{-2}\]

    Solución

    Utilizando la regla exponencial, podemos primero invertir la fracción \(x^{-a}=\frac{1}{x^a}\):

    \[\left(\dfrac{3xy^2}{2x^3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{2x^3}{3xy^2}\right)^{2}\]

    Distribuir el exponente en el numerador y el denominador:

    \[\left(\dfrac{2x^3}{3xy^2}\right)^{2}=\dfrac{\left(2x^3\right)^2}{\left(3xy^2\right)^2}\]

    Y usando, ahora, la regla exponencial \(\left(x^a\right)^b=x^{a·b}\):

    \[\dfrac{\left(2x^3\right)^2}{\left(3xy^2\right)^2}=\dfrac{4x^6}{9x^2y^4}\]

    Por último, simplificamos todos los términos que podamos:

    \[\dfrac{4x^6}{9x^2y^4}=\dfrac{2x^4}{3y^4}\]

    Ecuaciones con potencias y raíces

    Muchas veces, en las matemáticas, la física, la biología y la química, encontrarás ecuaciones que contienen potencias y raíces. Algunos ejemplos de ello son las ecuaciones de movimiento en física o ecuaciones polinómicas que definen valores como la densidad del agua de mar.

    Veamos el caso de las ecuaciones de movimiento y la densidad del agua.

    Ecuaciones con potencias cuadradas

    Las ecuaciones de movimiento son ejemplos clásicos de ecuaciones con potencias cuadradas:

    • \(x=v_0+\dfrac{1}{2}at^2\)

    • \(v^2=v_0^2+2ax\)

    En estas ecuaciones \(x\) es la distancia desplazada, \(v_0\) es la velocidad inicial, \(t\) es el tiempo, \(a\) es la aceleración y \(v\) es la velocidad final.

    Ecuaciones con raíces cuadradas

    Una de las ecuaciones clásicas en matemáticas que usan raíces es la que define las raíces de una ecuación cuadrática. Las soluciones de esta ecuación se pueden ver a continuación:

    \[x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

    Aquí, los términos \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes. Esta ecuación nos permite resolver una ecuación de tipo \(ax^2+bx+c=0\), otorgándonos dos resultados.

    Cómo resolver ecuaciones con raíces y potencias

    Para resolver cualquier ecuación que contiene una potencia o raíz, lo que debes hacer es simplemente dejar la variable que tiene la potencia o raíz en un solo lado de la ecuación y, después, proceder a aplicar la operación inversa a ambos lados.

    Veamos un ejemplo:

    Supongamos que deseamos resolver la ecuación \(4x^2-3=0\). Para ello, primero debemos despejar la \(x\): esto significa que debemos pasar el \(-3\) del lado derecho.

    \[4x^2=3\]

    Ahora, debemos pasar el \(4\) dividiendo:

    \[x^2=\dfrac{3}{4}\]

    Como paso final tendrás que aplicar la operación inversa de la potencia al cuadrado en ambos lados. Esta operación es la raíz del mismo valor que la potencia; en este caso, la raíz cuadrada.

    \[\sqrt{x^2}=\sqrt{\dfrac{3}{4}}\]

    \[x=\sqrt{\dfrac{3}{4}}\]

    \[x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]

    En caso de que quieras resolver la ecuación con una raíz, se debe aplicar una potencia del mismo valor que la raíz.

    Para casos en los que se tiene un valor como \(x^{2/3}\), este implica que existe una raíz cúbica de un valor que está elevado al cuadrado. Un valor como \(5^{2/3}\) implica \((\sqrt{5})^3\), pero, también \(\sqrt{5^3}\). No hay orden de preferencia.

    Cómo hacer operaciones combinadas con potencias y raíces

    Si se tienen operaciones con raíces o potencias, estas se deben resolver siempre en el siguiente orden: de las operaciones más internas a las más externas.

    Por ejemplo, en la operación \(2x^2+\sqrt{3+4x^2}\), primero se deben elevar los valores de \(x\) al cuadrado y, después, sumar los términos, para poder obtener la raíz del resultado.

    El orden de las operaciones es de la más interna a la más externa, ya que \(3+4x^2\) está dentro de la raíz. Esto no sucede en \(2x^2\) que está solo y, por lo tanto, no hay una operación externa. En el caso de \(2x^2\), el orden de hacer primero una multiplicación y luego una potencia no altera el resultado.

    Potencias y raíces - Puntos clave

    • La potencia es el exponente al que se eleva una variable o número.
    • La raíz es el inverso de la potencia. Las raíces impares tendrán una solución, mientras que las raíces pares tendrán dos.
    • Solo se puede calcular la raíz de los números positivos sin usar números imaginarios. Se puede calcular la raíz cúbica de los números negativos. Esto lo podemos extender para raíces de números pares e impares, respectivamente.
    • Conocer las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos y las reglas exponenciales es muy útil a la hora de evaluar o simplificar expresiones algebraicas que contienen potencias y raíces.

    Preguntas frecuentes sobre Potencias y raíces

    ¿Qué son las potencias y las raíces?

    • La potencia es el exponente al que se eleva una variable o número.
    • La raíz es lo contrario de la potencia: las raíces impares tendrán una solución, mientras que las raíces pares tendrán dos.

    ¿Qué se hace primero: la raíz o la potencia?

    Si se tienen operaciones con raíces o potencias, estas se deben resolver siempre de las operaciones más internas a las más externas. 


    Por ejemplo, en la ecuación: (x2+2x+1)1/2 


    Si se tiene el valor de x, se debe primero hacer la potencia de x2, después las sumas de todos los números dentro de la raíz y, al final, obtener la raíz cuadrada.

    ¿Cuáles son las propiedades de las raíces?

    Las propiedades de las raíces pueden extrapolarse a partir de las propiedades de los exponentes, puesto que las raíces pueden convertirse en exponentes fraccionarios.

    ¿Cómo se resuelve una potencia de exponente fraccionario?

    Si una potencia es un exponente fraccionario, esta puede convertirse en una raíz. El denominador será el índice de la raíz y el numerador la potencia a la que se eleva la base de la raíz.

    ¿Cómo se resuelve una raíz cuadrada con exponente?

    Una raíz cuadrada puede contener en su base un número con un exponente: 


    • Si el exponente es par, puede simplificarse dividiendo el exponente entre 2 y eliminando la raíz. 
    • Si el exponente es impar, se puede simplificar usando la siguiente fórmula:

               √(x2n+1)=√x2n√x=xn√x

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