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Las potencias se utilizan cuando queremos multiplicar un número por sí mismo repetidamente.
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Enviar comentariosLa potencia es el exponente al que se eleva un número o variable. Por ejemplo: la expresión \(x^n\) se lee como \(x\) a la potencia de \(n\), lo que significa que el valor de \(x\) se multiplica por sí mismo \(n\) veces.
Tenemos: \[x^2=x\cdot x\]
Si el valor de \(x\) es \(5\), entonces podemos calcular \(x^2\) así:
\[x^2=5^2=5\cdot 5=25\]
Del mismo modo, podemos calcular \(x^3\) y \(x^4\):
\[x^3=5^3=5\cdot 5\cdot 5=125\]
\[x^4=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625\]
Observa que si ya conoces el valor de \(5^2\), que es \(25\), puedes multiplicarlo por \(5\) una vez más para obtener el valor de \(5^3\).
Si una variable no tiene potencia o exponente, se supone esta es \(1\). Es decir, \(x^1=x\).
Además, cualquier número elevado a \(0\) (cero) es igual a \(1\). Por ejemplo, \(x^0=1\).
Puedes consultar el artículo de Propiedades de los exponentes y logaritmos para una explicación más detallada de las reglas que debes utilizar cuando trabajes con exponentes.
Sin embargo, como recordatorio, estas son las reglas de los exponentes que debes tener en cuenta:
\[x^a\cdot x^b=x^{a+b}\]
\[\dfrac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\]
\[\left(x^a\right)^b=x^{a\cdot b}\]
\[x^{-a}=\dfrac{1}{x^a}\]
\[x^{\frac{a}{b}}=\sqrt[b]{x^a}\]
\[x^0=1\]
Las potencias cuadradas son potencias cuyo índice (otro nombre que se le da al exponente) es igual a \(2\).
Muchos fenómenos en la naturaleza describen comportamientos donde existe una potencia cuadrada: oscilaciones, lanzamiento parabólico, entre otros.
Cuando un número está elevado a una potencia cuadrada, decimos que está elevado al cuadrado.
En \(3^2\), el \(2\) en el exponente es una potencia cuadrada. Además, podemos decir que el número \(3\) está elevado al cuadrado.
Las raíces son la inversa de las potencias. Para calcular la raíz de un número enésimo, tal que \(\sqrt[n]{x}\), estamos buscando un número que elevado a \(n\) dé \(x\).
Si queremos encontrar la raíz cuadrada de un número, tenemos que averiguar qué número multiplicado por sí mismo una vez nos da el número que está dentro de la raíz cuadrada.
Si quieres encontrar la raíz cuadrada de \(25\), tienes que encontrar qué número multiplicado por sí mismo es igual a \(25\).
\[\sqrt{25}=\pm 5\]
Pero, ¿por qué el resultado es \(\pm 5\)?
Porque la raíz cuadrada de \(25\) puede ser tanto \(5\) como \(-5\).
\[5\cdot 5=25\]
\[(-5)\cdot (-5)=25\]
Por lo tanto, siempre hay dos respuestas cuando calculamos la raíz cuadrada de un número.
\(\sqrt{-25}\neq (-5)\): La raíz cuadrada de un número negativo no tiene solución real. En este caso, se necesitan números imaginarios, porque solo los números positivos pueden obtener su raíz cuadrada de esta manera.
Las raíces cuadradas se pueden clasificar según el tipo de número que hay dentro de la raíz, de la siguiente manera:
La raíz cuadrada de los cuadrados perfectos:
La raíz cuadrada de los cuadrados perfectos da como resultado un número entero. Es muy fácil de calcular y útil para recordar cuando se trabaja con expresiones que contienen potencias y raíces. Ayuda a evaluar y simplificar este tipo de expresiones.
A modo de recordatorio, aquí están los diez primeros:
\(\sqrt{1}\) | \(\sqrt{4}\) | \(\sqrt{9}\) | \(\sqrt{16}\) | \(\sqrt{25}\) | \(\sqrt{36}\) | \(\sqrt{49}\) | \(\sqrt{64}\) | \(\sqrt{81}\) | \(\sqrt{100}\) |
| \(\pm 1\) | \(\pm 2\) | \(\pm 3\) | \(\pm 4\) | \(\pm 5\) | \(\pm 6\) | \(\pm 7\) | \(\pm 8\) | \(\pm 9\) | \(\pm 10\) |
La raíz cuadrada de los números que no son cuadrados perfectos:
La raíz cuadrada de los números que no son cuadrados perfectos no es un número entero: producen números irracionales con infinitos decimales. Para representar este tipo de números de manera más exacta, se dejan en su forma de raíz y se llaman irracionales. Por ejemplo: \(\sqrt{2}\),\(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{6}\)...
Si el número que está dentro de la raíz, tiene como factor un número cuadrado; entonces, se puede simplificar.
Por ejemplo: \(\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{4}\sqrt{2}=2\cdot \sqrt{2}\).
Puedes leer sobre raíces en nuestro otro artículo para más detalles.
Si se quiere encontrar la raíz cúbica de un número, hay que averiguar qué número multiplicado por sí mismo tres veces nos daría el número que está dentro de la raíz cúbica. Es lo contrario de elevar un número a la tercera potencia.
Si quieres encontrar la raíz cúbica de \(8\), necesitas encontrar qué número multiplicado por sí mismo tres veces es igual a \(8\):
\[\sqrt[3]{8}=2\]
Fíjate que, en este caso, solo tenemos una respuesta, no dos. Esto se debe a que cuando se multiplica un número negativo por sí mismo tres veces, el resultado también es negativo:
\[(-2)·(-2)·(-2)=-8\]
Por lo tanto, la única respuesta posible es:
\[2·2·2=8\]
\(\sqrt[3]{-8}=-2\): Las raíces cúbicas pueden tener como argumento un número negativo.
Raíz 4ª: Las reglas son similares a las de las raíces cuadradas.
Raíz 5ª: Las reglas son similares a las de las raíces cúbicas.
En general, las raíces impares tienen una solución, y las pares tienen dos soluciones.
Las propiedades de las raíces pueden extrapolarse a partir de las propiedades de los exponentes, puesto que las raíces pueden convertirse en exponentes fraccionarios. Puedes conocer más sobre esto en nuestro artículo Propiedades de los exponentes y logaritmos.
Los exponentes fraccionarios son equivalentes a las raíces, como se muestra en la siguiente regla exponencial:
\[\sqrt[b]{x^a}=x^{\frac{a}{b}}\]
Usando esta expresión, puedes escribir cualquier exponente fraccionario como una raíz:
\[x^{1/2}=\sqrt{x}\]
\[x^{a/3}=\sqrt[3]{x^a}\]
\[x^{2/3}=\sqrt[3]{x^2}\]
Puedes utilizar la misma expresión para escribir cualquier raíz como exponente fraccionario:
\[\sqrt[4]{x}=x^{1/4}\]
\[\sqrt[6]{x^5}=x^{5/6}\]
Ahora que sabes cómo trabajar con exponentes fraccionarios y, teniendo en cuenta las reglas exponenciales, tienes todo lo que necesitas para evaluar o simplificar expresiones que contengan potencias y raíces. Aquí tienes algunos ejemplos:
Evalúa o simplifica \(\sqrt{50}\).
Solución
Recordando los cuadrados perfectos, puedes cambiar:
\[\sqrt{50}=\sqrt{25·2}\]
\[\sqrt{50}=\sqrt{25}\sqrt{2}\]
\[\sqrt{50}=5\sqrt{2}\]
\(5\sqrt{2}\) es un ejemplo de un irracional que no se puede simplificar más, así que se deja en su forma de raíz cuadrada (radical). ¡Recuerda leer más sobre los irracionales y radicales!
Evalúa o simplifica:
\[\dfrac{\sqrt{x}\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}}\]
Solución
Transformando las raíces en exponentes fraccionarios:
\[\dfrac{\sqrt{x}\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}}=\dfrac{x^{1/2}\cdot x^{1/4}}{x^{1/3}}\]
Usando la regla exponencial \(x^a·x^b=x^{a+b}\):
\[\dfrac{x^{1/2}\cdot x^{1/4}}{x^{1/3}}=\dfrac{x^{3/4}}{x^{1/3}}\]
Y aplicando, ahora, la regla exponencial \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\):
\[\dfrac{x^{3/4}}{x^{1/3}}=x^{5/12}\]
Evalúa o simplifica:
\[\dfrac{24x^4y^5}{4x^5}\]
Solución
Usando la regla exponencial \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\):
\[\dfrac{24x^4y^5}{4x^5}=6x^{-1}y^5\]
Y aplicando, ahora, la regla exponencial \(x^{-a}=\frac{1}{x^a}\):
\[6x^{-1}y^5=\dfrac{6y^5}{x}\]
Evalúa o simplifica:
\[\left(\dfrac{3xy^2}{2x^3}\right)^{-2}\]
Solución
Utilizando la regla exponencial, podemos primero invertir la fracción \(x^{-a}=\frac{1}{x^a}\):
\[\left(\dfrac{3xy^2}{2x^3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{2x^3}{3xy^2}\right)^{2}\]
Distribuir el exponente en el numerador y el denominador:
\[\left(\dfrac{2x^3}{3xy^2}\right)^{2}=\dfrac{\left(2x^3\right)^2}{\left(3xy^2\right)^2}\]
Y usando, ahora, la regla exponencial \(\left(x^a\right)^b=x^{a·b}\):
\[\dfrac{\left(2x^3\right)^2}{\left(3xy^2\right)^2}=\dfrac{4x^6}{9x^2y^4}\]
Por último, simplificamos todos los términos que podamos:
\[\dfrac{4x^6}{9x^2y^4}=\dfrac{2x^4}{3y^4}\]
Muchas veces, en las matemáticas, la física, la biología y la química, encontrarás ecuaciones que contienen potencias y raíces. Algunos ejemplos de ello son las ecuaciones de movimiento en física o ecuaciones polinómicas que definen valores como la densidad del agua de mar.
Veamos el caso de las ecuaciones de movimiento y la densidad del agua.
Las ecuaciones de movimiento son ejemplos clásicos de ecuaciones con potencias cuadradas:
\(x=v_0+\dfrac{1}{2}at^2\)
\(v^2=v_0^2+2ax\)
En estas ecuaciones \(x\) es la distancia desplazada, \(v_0\) es la velocidad inicial, \(t\) es el tiempo, \(a\) es la aceleración y \(v\) es la velocidad final.
Una de las ecuaciones clásicas en matemáticas que usan raíces es la que define las raíces de una ecuación cuadrática. Las soluciones de esta ecuación se pueden ver a continuación:
\[x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
Aquí, los términos \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes. Esta ecuación nos permite resolver una ecuación de tipo \(ax^2+bx+c=0\), otorgándonos dos resultados.
Para resolver cualquier ecuación que contiene una potencia o raíz, lo que debes hacer es simplemente dejar la variable que tiene la potencia o raíz en un solo lado de la ecuación y, después, proceder a aplicar la operación inversa a ambos lados.
Veamos un ejemplo:
Supongamos que deseamos resolver la ecuación \(4x^2-3=0\). Para ello, primero debemos despejar la \(x\): esto significa que debemos pasar el \(-3\) del lado derecho.
\[4x^2=3\]
Ahora, debemos pasar el \(4\) dividiendo:
\[x^2=\dfrac{3}{4}\]
Como paso final tendrás que aplicar la operación inversa de la potencia al cuadrado en ambos lados. Esta operación es la raíz del mismo valor que la potencia; en este caso, la raíz cuadrada.
\[\sqrt{x^2}=\sqrt{\dfrac{3}{4}}\]
\[x=\sqrt{\dfrac{3}{4}}\]
\[x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]
En caso de que quieras resolver la ecuación con una raíz, se debe aplicar una potencia del mismo valor que la raíz.
Para casos en los que se tiene un valor como \(x^{2/3}\), este implica que existe una raíz cúbica de un valor que está elevado al cuadrado. Un valor como \(5^{2/3}\) implica \((\sqrt{5})^3\), pero, también \(\sqrt{5^3}\). No hay orden de preferencia.
Si se tienen operaciones con raíces o potencias, estas se deben resolver siempre en el siguiente orden: de las operaciones más internas a las más externas.
Por ejemplo, en la operación \(2x^2+\sqrt{3+4x^2}\), primero se deben elevar los valores de \(x\) al cuadrado y, después, sumar los términos, para poder obtener la raíz del resultado.
El orden de las operaciones es de la más interna a la más externa, ya que \(3+4x^2\) está dentro de la raíz. Esto no sucede en \(2x^2\) que está solo y, por lo tanto, no hay una operación externa. En el caso de \(2x^2\), el orden de hacer primero una multiplicación y luego una potencia no altera el resultado.
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¿Qué son las potencias y las raíces?
¿Qué se hace primero: la raíz o la potencia?
Si se tienen operaciones con raíces o potencias, estas se deben resolver siempre de las operaciones más internas a las más externas.
Por ejemplo, en la ecuación: (x2+2x+1)1/2
Si se tiene el valor de x, se debe primero hacer la potencia de x2, después las sumas de todos los números dentro de la raíz y, al final, obtener la raíz cuadrada.
¿Cuáles son las propiedades de las raíces?
Las propiedades de las raíces pueden extrapolarse a partir de las propiedades de los exponentes, puesto que las raíces pueden convertirse en exponentes fraccionarios.
¿Cómo se resuelve una potencia de exponente fraccionario?
Si una potencia es un exponente fraccionario, esta puede convertirse en una raíz. El denominador será el índice de la raíz y el numerador la potencia a la que se eleva la base de la raíz.
¿Cómo se resuelve una raíz cuadrada con exponente?
Una raíz cuadrada puede contener en su base un número con un exponente:
√(x2n+1)=√x2n√x=xn√x
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Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
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Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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