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La geometría analítica
La geometría analítica es un área de estudio que permite representar líneas, curvas y figuras geométricas, o planos, que normalmente no se podrían representar con una simple gráfica.
La geometría analítica (también conocida como geometría coordenada) describe todo lo relacionado con el plano cartesiano y los objetos que puedan representarse en él. Es también conocida como geometría cartesiana y usa un plano de dos o tres dimensiones para representar objetos en el llamado plano cartesiano.
Plano cartesiano
El plano cartesiano es el espacio de una cierta dimensión \(n\) donde se utilizan coordenadas \((x_0; x_1; x_2... x_n)\).
El ejemplo más común, antes de la universidad, es el plano de dos dimensiones; donde se suelen usar las variables \(x\)e \(y\). Para el espacio en tres dimensiones, se emplean las coordenadas \((x; y; z)\). Cuando, además de esto, se tiene una dirección donde las cantidades son negativas, un punto designado como el punto 0 y un sistema de vectores unitarios, se dice que se tiene un sistema de coordenadas.
Cuando se tiene una serie de líneas de referencia con direcciones positivas y negativas, un punto de origen, un sistema para localizar puntos usando estas líneas de referencia y además de ello se tiene una escala, se dice que se tiene un sistema de coordenadas.
Sistema de coordenadas cartesianas
El plano cartesiano en \(2D\), también conocido como sistema de coordenadas cartesianas, posee un punto llamado origen y cada punto en el plano es representado por una serie de coordenadas. Cada coordenada nos da como resultado un punto en el espacio. El plano cartesiano más común que se conoce es el que posee coordenadas rectangulares, pero también existen los planos en coordenadas polares.
Ejes de coordenadas
Los ejes de coordenadas son las líneas que sirven para hacer referencia a los objetos en un plano cartesiano. Estas líneas son perpendiculares entre sí; es decir, que el ángulo entre ellas es de noventa grados.
Puedes ver una imagen de un sistema de coordenadas cartesiano en dos dimensiones, con los ejes \(x\) e \(y\), debajo:
Fig. 1. Sistema de coordenadas con dos dimensiones.
Los ejes, en este caso, tienen dos características:
Los ejes son infinitos.
El eje marca la coordenada \(0\) del otro eje. Esto lo puedes ver ya que el eje \(x\) pasa a la altura de \(y=0\), mientras el eje y pasa a la altura de \(x=0\).
Los ejes se usan para ubicar puntos importantes y objetos en un sistema de coordenadas. Para ubicar, por ejemplo, un punto en el eje de coordenadas, debemos hacer lo siguiente:
Saber las coordenadas del punto.
Encontrar en el eje \(x\). y el eje \( y\)., los valores de cada coordenada.
Trazar líneas imaginarias o reales desde los valores de las coordenadas, hasta el punto donde se cruzan estas líneas.
Veamos un ejemplo:
Encuentra el punto \( (3; 5)\) en la gráfica siguiente:
Fig. 2. Sistema de coordenadas con dos dimensiones.
Primero, debemos saber que las coordenadas son:\(x=3; y=5\).
Lo segundo es trazar las rectas desde los ejes hasta el punto donde se cruzan:
Fig. 3. Sistema de coordenadas en dos dimensiones.
Lo siguiente, ahora, es simplemente marcar el punto:
Fig. 4. Sistema de coordenadas en dos dimensiones.
Sistemas de coordenadas bidimensionales
Los sistemas de coordenadas pueden ser clasificados por sus dimensiones o sus tipos. Por ejemplo, el sistema que viste en los párrafos anteriores usa dos coordenadas. Cuando un sistema usa dos coordenadas, usa dos dimensiones. Los sistemas con dos dimensiones son conocidos como bidimensionales. El sistemas de coordenadas \(x, y\) es un sistemas bidimensional.
También, si usas las coordenadas \(x\) y \(z\), este es un sistema de dos dimensiones.
Como mencionamos, los sistemas también pueden ser divididos por su tipo, uno de ellos es el sistema cartesiano. El sistema que viste también en los párrafos anteriores, para poder ubicar un punto en un plano, es de hecho un sistema cartesiano. Pero, también existe lo que se llama el sistema de coordenadas polar.
Sistema cartesiano de dos dimensiones
El sistema de coordenadas de dos dimensiones cartesiano tiene las siguientes características:
Posee dos ejes.
Sus ejes están a \(90^o\) el uno del otro.
Sus coordenadas básicas son \((x;y)\).
El sistema de ejes cartesiano se aplica en muchos problemas de física, ingeniería o mecánica.
Sistema de coordenadas polares
Otro sistema de coordenadas muy importante es el sistema de coordenadas polar. Este sistema también de dos dimensiones usa un vector para poder ubicar los objetos en el espacio de dos dimensiones. Se usa de la siguiente manera:
Se ubica el punto que se desea ubicar en el espacio:
Fig. 5. Sistema de coordenadas, el sistema polar.
Se dibuja un vector desde el origen hasta el punto:
Fig. 6. Sistema de coordenadas, el sistema polar.
La distancia desde el origen hasta el punto es el valor de la primera coordenada \(r\).
La segunda coordenada viene dada por el ángulo entre el eje \(x\) y el vector.
Fig. 7. Sistema de coordenadas, el sistema polar.
Esta coordenada se mide en el sentido contrario a las agujas del reloj, donde el eje de abscisas marca los \(0^o\). En este caso, el punto \(A\) tiene coordenadas \((2,30^o)\). El ángulo también se puede expresar en radianes, lo que quedaría como \((2,\frac{\pi}{6})\).
El sistema de coordenadas polares es muy útil, ya que simplifica problemas que ocurren en movimiento circular.
Por ejemplo, el movimiento de un objeto en una órbita circular es más fácil de ser representado usando el ángulo con respecto al eje \(x\) y la posición relativa desde el centro donde orbita.
En un sistema polar de dos dimensiones, las coordenadas \(x\) y \(y\) son reemplazadas por una longitud radial \(r\) y un angulo \(\theta\) con respeto al eje \(x\).
Sistema de coordenadas tridimensional
El sistema de coordenadas que conoces es un sistema de dos dimensiones: una dimensión es \(z\). y la otra es \(y\). También, podrías decir que una dimensión es el alto y otra es el ancho. Usando este sistema, puedes representar casi cualquier figura; y te decimos casi, porque tiene una limitante: "solo puedes crear figuras planas".
Por ejemplo puedes representar un cuadrado, una línea, un círculo, pero ¿qué pasa si quieres representar un cubo? ¿o una esfera? En este caso, no podrías, ya que requieres una tercera dimensión.
Un sistema de tres dimensiones te permite representar objetos en tres dimensiones como la esfera o el cubo. En un sistema de tres dimensiones, la tercera coordenada es \(z\), que podríamos denominar también como la profundidad. Puedes ver un sistema tridimensional en la siguiente imagen:
Fig. 8. Sistema de coordenadas en tres dimensiones.
En este caso, si quieres ubicar un objeto, debes seguir los mismos pasos que en el sistema de dos dimensiones:
Saber las coordenadas del punto.
Encontrar en el eje \(x\), el eje \(y\), y el eje \(z\); los valores de cada coordenada.
Trazar líneas imaginarias o reales desde los valores de las coordenadas, hasta el punto donde se cruzan estas líneas.
La única diferencia es que, ahora, tienes una coordenada más.
Hay un cuento muy famoso conocido como Flatland, del profesor Ingles Edwin Abott. En esta historia, personas que viven en dos dimensiones interactúan con personajes que viven en otras dimensiones.
Fig. 9. Sistema de coordenadas en tres dimensiones, Flatland.
Un ejemplo clásico es que el personaje principal, que es un cuadrado en Flatland, es visitado por una esfera. Debido a que la esfera tiene una dimensión mayor, el cuadrado solo la percibe como un círculo. El círculo, en este caso, es una parte de la esfera que es cortada por el plano \(x-y\), que es la dimensión donde viven los personajes de Flatland.
En un sistema de tres dimensiones todos los objetos de dos dimensiones se pueden representar como figuras planas suspendidas en el espacio. Un ejemplo es una recta.
Sistemas de coordenadas esféricas y cilíndricas
El sistema de coordenadas que conoces en dos y tres dimensiones son denominados sistemas rectangulares, ya que los ángulos entre sus ejes de coordenadas son de noventa grados. Este sistema no es el único que existe, también existen el sistema esférico y el sistema cilíndrico. En estos sistemas, el radio que es la distancia a un punto central de una circunferencia y el ángulo de este radio —con un eje de referencia— son sus características más importantes. Hablemos un poco más de ellos, para que los conozcas.
Sistema de coordenadas esféricas
El sistema polar se basa en la geometría de una esfera. En este sistema hay tres medidas importantes:
El radio, que sale desde el centro hasta cierta distancia \(r\).
El ángulo del radio, con el eje \(z\), que cruza la esfera \(\phi \).
El ángulo \(\theta \), que forma \(r\), con el eje que marca el ángulo 0, que es \(y\)..
Los puedes ver en la siguiente imagen:
Fig. 10. Sistema de coordenadas esféricas.
Esto se traduce en coordenadas como: \(r; \phi; \theta\).
Sistema de coordenadas cilíndrico
Este sistema se basa en la geometría de un cilindro. En este sistema hay tres características importantes:
El radio, que sale desde el centro hasta cierta distancia \(r\).
La altura \(z\), a la cual vive este punto
El ángulo \(\theta\). que forma \(r\)., con el eje que marca el ángulo \( 0\)..
Lo puedes ver en la siguiente imagen:
Fig. 12. Sistema de coordenadas cilíndrico.
Esto se traduce en coordenadas como: \(r; \theta; z(h)\).
Vectores en el espacio
Una parte importante de los sistemas de coordenadas es que pueden ser usados como puntos de referencia; de hecho, esta es su utilidad principal. La razón por la cual tenemos valores para cada coordenada es para ubicar los objetos en el espacio. De este modo, otro objeto importante son los vectores.
Para representar un vector debes de marcar el punto donde comienza y donde este acaba, después trazar una flecha donde la dirección de esta apunta hacia el punto final.
En este sentido, los vectores son objetos que van desde un punto de coordenadas hasta otro punto. Los vectores además tienen una dirección entre ambos puntos, no es lo mismo un punto que empieza en \(A\) y termina en \(B\), que un punto que acabe en \(B\) y empieza en \(A\).
No olvides ver el artículo de vectores, para que sepas más acerca de ellos.
Fig. 13: Vector apuntando hacia la posición \(A\).
Los vectores, junto con los sistemas de coordenadas, pueden ser usados para diversas cosas:
- Ubicar objetos en el espacio.
- Obtener ecuaciones de objetos en el espacio, como rectas, usando los vectores como una base.
No olvides ver el artículo de la recta en el espacio para que tengas más información.
Sistema de coordenadas - Puntos clave
- La geometría analítica es un área de estudio que permite representar líneas, curvas y figuras geométricas o planos que, normalmente, no se podrían representar con una simple gráfica.
- El plano cartesiano es el espacio de una cierta dimensión \(n\). donde se utilizan coordenadas \((x_0; x_1; x_2...x_n) \). El ejemplo más común antes de la universidad es el plano de dos dimensiones.
- Los ejes de coordenadas son las líneas que sirven como referencia de los objetos en un plano cartesiano. Estas líneas son perpendiculares entre sí; es decir, que el ángulo entre ellas es de noventa grados.
- En un sistema de tres dimensiones, la tercera coordenada es \(z\)..
- Los sistemas rectangulares no son los únicos que existen, también existen el sistema polar y el sistema cilíndrico. En estos sistemas, el radio —que es la distancia a un punto central de un circulo— y el ángulo de este radio —con un eje de referencia— son sus características más importantes.
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Preguntas frecuentes sobre Sistema de Coordenadas
¿Cómo representar un vector en el espacio?
Para representar un vector, debes de marcar el punto donde este comienza y donde acaba. Después, trazar una flecha cuya dirección apunte hacia el punto final.
¿Qué diferencia hay entre el sistema de coordenadas cartesianas y el de coordenadas polares?
En un sistema polar de dos dimensiones, las coordenadas x y y son reemplazadas por una longitud radial \(r\) y un angulo Θ, con respeto al eje x.
¿Qué diferencia hay entre el sistema de coordenadas bidimensionales y el de coordenadas tridimensionales?
La diferencia principal es que en un sistema de dos dimensiones solo se pueden representar objetos planos, mientras que en un sistema de tres dimensiones se empeden representar objetos tridimensionales.
Además de eso, un sistema tridimensional tiene tres coordenadas base, mientras un sistema de dos dimensiones tiene dos.
¿Se puede representar una recta en un sistema de coordenadas tridimensional?
Si, se pueden representar como figuras planas suspendidas en el espacio.
¿Qué es el sistema de coordenadas?
Cuando se tiene una serie de líneas de referencia con direcciones positivas y negativas, un punto de origen, un sistema para localizar puntos usando estas líneas de referencia y, además de ello, se tiene una escala, se dice que se tiene un sistema de coordenadas.
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