Movimiento circular uniforme

¿Alguna vez has montado en una montaña rusa y te has preguntado cómo es posible que los vagones se mantengan en movimiento constante en un circuito cerrado? La respuesta es el movimiento circular uniforme, un concepto fundamental en la física, que se utiliza para describir la trayectoria de cualquier objeto que se mueve en una circunferencia con una velocidad constante. 

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    En este artículo, exploraremos cómo funciona el movimiento circular uniforme y cómo se aplica en la vida cotidiana; desde los juguetes de feria, hasta los satélites artificiales en el espacio.

    Definición del movimiento circular uniforme

    El movimiento circular uniforme se define como aquel movimiento de un cuerpo, a una distancia constante de un punto llamado centroen el que la velocidad lineal se mantiene constante.

    Para entender sus características principales, es crucial ver la diferencia entre las cantidades angulares y lineales, así como diferenciar entre las magnitudes tangenciales al movimiento y las no tangenciales.

    Movimiento circular uniforme (MCU) Fuerza centrípeta StudySmarterFig. 1: En el movimiento circular, el objeto gira a una distancia constante de un punto. Esto puede ser, por ejemplo, una pelota atada a una cuerda, que se mueve alrededor de la mano que la hace girar.

    Fórmulas del movimiento circular uniforme

    Veamos cuáles son las fórmulas que describen al movimiento circular uniforme.

    Velocidad angular

    La velocidad angular es una magnitud física que mide el ángulo recorrido por unidad de tiempo.

    • Habitualmente, se mide en radianes por segundo (\(\mathrm{rad/s}\)).
    • La velocidad angular se suele denotar por la letra \(\omega\) y el ángulo recorrido en un cierto tiempo se suele denotar por la letra \(\theta\).

    Los ángulos se suelen medir en radianes, una escala que va de \(0\) a \(2\pi\) y tiene una periodicidad de \(2\pi\); es decir, al tener un número de radianes mayor de \(2\pi\), podemos expresarlo mediante un número entre \(0\) y \(2\pi\), gracias a la periodicidad de los ángulos.

    Para calcular la velocidad angular podemos utilizar la siguiente fórmula:

    \[\omega=\dfrac{\theta}{t}\]

    Donde, \(t\) es el tiempo que tarda el cuerpo en recorrer un ángulo \(\theta\).

    Es importante remarcar que para un escenario en el que la velocidad no es constante, la fórmula anterior debería generalizarse incluyendo derivadas, al igual que para el caso lineal:

    \[\omega=\dfrac{d\theta}{dt}.\]

    Periodo

    En el caso de un movimiento circular uniforme, existe un intervalo de tiempo especialmente relevante, que se conoce como periodo:

    El periodo corresponde a la cantidad de tiempo que un cuerpo en movimiento circular uniforme tarda en completar una vuelta; es decir, \(2\pi\) radianes. El Periodo suele denotarse con la letra \(T\).

    Esto nos lleva a otra forma de calcular la velocidad angular:

    \[\omega=\dfrac{2\pi}{T}\]

    Frecuencia

    Por último, nos queda definir una cantidad muy importante en el estudio de sistemas en movimiento circular y sistemas periódicos: la frecuencia.

    La frecuencia es el inverso del periodo, y se interpreta como el número de oscilaciones/vueltas que completa un objeto en un segundo.

    La frecuencia se suele denotar por la letra \(f\) y su relación con la velocidad angular es:

    \[\omega=2\pi f.\]

    Velocidad lineal

    La velocidad lineal es la medida de la velocidad a la que estamos más acostumbrados; sus unidades son metros por segundo (\(\mathrm{m/s}\)) (en el Sistema Internacional).

    La velocidad lineal es una magnitud física que mide la distancia recorrida por unidad de tiempo.

    Para caracterizarla, necesitamos encontrar la relación matemática entre los ángulos en una circunferencia y las distancias recorridas sobre la misma. Para ello, utilizamos una fórmula muy sencilla:

    \[d=\theta\cdot R\]

    Donde:

    • \(d\) es la distancia recorrida sobre la circunferencia al cubrir un ángulo \(\theta\).
    • \(R\) es el radio de la circunferencia.

    La característica singular del movimiento circular frente a otros movimientos curvos es que el radio es constante, lo que significa que aparece como una cantidad que nos permite cambiar de cantidades angulares a lineales, mediante una sencilla multiplicación o división.

    La fórmula de la velocidad lineal, en el caso de un movimiento circular uniforme es:

    \[v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{\theta\cdot R}{t}=\omega\cdot R\]

    En el caso de que la velocidad no sea uniforme, es:

    \[v(t)=R\cdot\dfrac{d\theta}{dt}\]

    Vector velocidad

    Hasta ahora hemos tratado la velocidad como si fuese un escalar, y no un vector. Sin embargo, como comentamos al principio, el hecho de que estemos trabajando en mínimo dos dimensiones implica que hemos de utilizar vectores para las cantidades físicas que manejamos. En consecuencia, tanto la velocidad lineal como la angular se han de expresar como vectores.

    Por simplicidad, los consideraremos de dos componentes, puesto que estudiaremos el movimiento circular en un único plano. Sin embargo, la forma de las relaciones de los vectores de velocidad no será relevante en este artículo. La razón por la que mencionamos esto es para entender la diferencia entre cantidades tangenciales y no tangenciales.

    • Las magnitudes tangenciales en el movimiento circular son aquellas que se pueden expresar como vectores tangentes a la circunferencia que describe el cuerpo en movimiento.
    • Las magnitudes no tangenciales son aquellas que son perpendiculares a la circunferencia.

    En general, una cantidad vectorial arbitraria tendrá componentes tangenciales y no tangenciales.

    La característica que define al movimiento circular es que la velocidad (angular o lineal) es siempre tangencial. La razón de esto es muy simple: si existiese velocidad no tangencial, el cuerpo se desplazaría de la circunferencia original y modificaría su distancia al centro; entonces, dejaría de ser un movimiento circular.

    Esto no significa que la magnitud del vector velocidad (angular o lineal) sea, también, constante:

    • Si la magnitud del vector velocidad es constante, nos encontramos con un movimiento circular uniforme.
    • Si la magnitud del vector velocidad varía en el tiempo, nos encontramos ante un movimiento circular acelerado.

    Si la variación de la magnitud del vector velocidad (lineal o angular) es constante, el movimiento se conoce como movimiento circular uniformemente acelerado.

    Ejemplos del movimiento circular uniforme

    Resolvamos algunos ejemplos de movimiento circular uniforme, que nos ayudarán a poner en práctica lo aprendido:

    Consideremos un satélite que orbita alrededor de la Tierra, siguiendo una trayectoria circular uniforme de \(4500 \,\, \mathrm{km}\) desde la superficie terrestre. ¿Cuál es la aceleración centrípeta del satélite?

    Utiliza \(6371 \,\,\mathrm{km}\) para el radio de la Tierra y \(5,98\cdot 10^{24}\,\,\mathrm{kg}\) su masa.

    Solución:

    La fuerza centrípeta que actúa sobre el satélite es la fuerza de la gravedad. Por lo tanto, podemos empezar con la segunda ley de Newton:

    \[F_{neta} = ma\]

    \[F_{g} = ma_c\]

    \[G \cdot \frac{m_{sat}m_e}{r^2} = m_{sat}a_c\]

    El siguiente paso es despejar la aceleración centrípeta:

    \[\begin{align} a_c &= G \cdot \frac{m_e}{r^2} \\ &= \frac{(6.67 \cdot 10^{-11} \,\,\mathrm{Nm^2/kg^2})(5.98 \cdot 10^{24}\,\, \mathrm{kg})}{(4500 \,\,\mathrm{km} + 6371 \,\,\mathrm{km})^2} \\ &= 3.375 \,\,\mathrm{m/s^2} \end{align}\]

    Un coche de \(1300 \,\,\mathrm{kg}\) está trazando una curva plana con un radio de \(60 \,\,\mathrm{m}\). Encuentra la velocidad del coche, si el coeficiente de rozamiento es \(0,8\).

    Solución:

    Como la curva es plana, la fuerza normal y la fuerza de la gravedad se equilibran entre sí, de modo que \(F_n = F_g = mg\). Esto significa que la única fuerza que contribuye a la fuerza centrípeta es la fricción. Por lo tanto:

    \[F_{neta} = ma_c\]

    \[F_f = m \frac{v^2}{r}\]

    \[ \mu F_n = m \frac{v^2}{r}\]

    \[\mu \cancel{m} = \cancel{m} \frac{v^2}{r}\]

    \[\mu g = \frac{v^2}{r}\]

    Finalmente, despejando la velocidad obtenemos:

    \[\begin{align} v &= \sqrt{\mu gr} \\ &= \sqrt{(0.8(9.8 m/s^2)(60m)} \\ &= 21.7 \,\mathrm{m/s} \end{align}\]

    Aplicaciones del movimiento circular uniforme

    El movimiento circular uniforme tiene diversas aplicaciones en la vida cotidiana y en la ciencia. Resumiremos algunas de las más representativas a continuación:

    1. En física: El movimiento circular uniforme es de gran importancia en la física, especialmente en la mecánica clásica y la física de partículas.

    2. En ingeniería: El movimiento circular uniforme se usa en la fabricación de maquinaria y equipos de precisión.

      • Por ejemplo, se emplea en la construcción de piezas y componentes que necesitan rotar a velocidades constantes y uniformes, como los motores eléctricos, las turbinas y los rotores de avión.

    3. En la tecnología: El movimiento circular uniforme se emplea en diversas aplicaciones.

      • Por ejemplo, en la creación de pantallas de televisores y monitores, en la fabricación de discos duros y en la elaboración de relojes. También se emplea en la construcción de montañas rusas y atracciones de feria.

    4. En la astronomía: El movimiento circular uniforme es empleado en astronomía para describir el movimiento de los planetas y las estrellas en el espacio.

      • Por ejemplo, la órbita de la Tierra alrededor del Sol es un movimiento circular uniforme que permite la existencia de las estaciones y la vida en nuestro planeta.

    Movimiento circular uniforme (MCU) - Puntos clave

    • El movimiento circular uniforme se define como aquel movimiento de un cuerpo a una distancia constante de un punto (llamado centro) en el que la velocidad lineal se mantiene constante.

    • El objeto en MCU describe un ángulo constante por unidad de tiempo.
    • La velocidad en el MCU es tangencial a la trayectoria y cambia de dirección constantemente, pero su magnitud es siempre constante.
    • La frecuencia es el número de vueltas completas que da el objeto por unidad de tiempo, y se mide en Hertz (\(\mathrm{Hz}\)).
    • El periodo es el tiempo que tarda el objeto en dar una vuelta completa, y se mide en segundos (\(\mathrm{s}\)).
    • La velocidad angular es la rapidez a la que el objeto describe un ángulo, y se mide en radianes por segundo (\(\mathrm{rad/s}\)).
    • El MCU es un movimiento importante en la física, ya que muchos objetos en el universo se mueven en trayectorias circulares; por ejemplo, los planetas alrededor del sol o los electrones alrededor del núcleo de un átomo.
    Preguntas frecuentes sobre Movimiento circular uniforme

    ¿Qué es el movimiento circular uniforme? 

    El movimiento circular uniforme es aquel movimiento de un cuerpo a una distancia constante de un punto, llamado centro, en el que la velocidad lineal se mantiene constante.

    ¿Cuáles son las fórmulas del movimiento circular uniforme? 

    Algunas de las fórmulas del movimiento circular uniforme son:

    • Velocidad angular: ω =2π/T
    • Velocidad lineal: v=ω  R.

    ¿Cuáles son las aplicaciones del movimiento circular uniforme? 

    El movimiento circular uniforme tiene diversas aplicaciones en la vida cotidiana y en la ciencia. 

    • Por ejemplo, se utiliza para estudiar la aceleración centrípeta, la fuerza centrípeta, la velocidad angular, la energía cinética y la energía potencial.

    ¿Cuáles son los ejemplos del movimiento circular uniforme?

    Un ejemplo del movimiento circular uniforme es la órbita de la Tierra alrededor del Sol; este movimiento permite la existencia de las estaciones y la vida en nuestro planeta.

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