La dinámica del movimiento lineal es extremadamente sencilla, debido a una razón básica: no existen curvas. En nuestra experiencia, esto se traduce en una mayor facilidad de reacción y movimiento, pues podemos predecir de forma mucho más sencilla qué va a suceder en un movimiento lineal. Poe eso, en el momento en que un vehículo en el que nos encontramos comienza a girar, como un coche o un carrusel, el movimiento se vuelve más complejo.
Esta complejidad adicional encierra mayor libertad en el movimiento, pues hemos pasado de un movimiento confinado en una única dimensión (línea recta) a mínimo dos donde podemos trazar curvas. Resulta que, globalmente, estas curvas pueden tomar formas intrincadas, pero siempre se pueden aproximar y estudiar mediante los fundamentos de un tipo especial de movimiento: el movimiento circular.
¿Qué es el movimiento circular uniforme?
Se conoce como movimiento circular uniforme al movimiento de un cuerpo a una distancia constante de un punto, llamado centro, en el que la velocidad lineal se mantiene constante.
- En el caso de que la velocidad no sea constante, pero varíe de forma constante, lo conocemos como movimiento circular uniformemente acelerado.
Para entender sus características principales, es crucial ver la diferencia entre las cantidades angulares y lineales, así como diferenciar entre las magnitudes tangenciales al movimiento y las no tangenciales.
Fig. 1: En el movimiento circular, el objeto gira a una distancia constante de un punto. Esto puede ser, por ejemplo, una pelota atada a una cuerda que se mueve alrededor de la mano que la hace girar.
Fórmula del movimiento circular uniforme
Veamos cómo calcular las distintas velocidades (angular y lineal) en el movimiento circular. Más adelante, también calcularemos la aceleración de este movimiento.
Velocidad angular
La velocidad angular es una magnitud física que mide el ángulo recorrido por unidad de tiempo.
- Habitualmente, se mide en radianes por segundo (\(\mathrm{rad/s}\)).
- La velocidad angular se suele denotar por la letra \(\omega\) y el ángulo recorrido en un cierto tiempo se suele denotar por la letra \(\theta\).
Los ángulos se suelen medir en radianes, una escala que va de \(0\) a \(2\pi\) y tiene una periodicidad de \(2\pi\); es decir, al tener un número de radianes mayor de \(2\pi\), podemos expresarlo mediante un número entre \(0\) y \(2\pi\), gracias a la periodicidad de los ángulos.
Para calcular la velocidad angular se puede utilizar la siguiente fórmula:
\[\omega=\dfrac{\theta}{t}\]
- Donde: \(t\) es el tiempo que tarda el cuerpo en recorrer el ángulo \(\theta\).
Es importante remarcar que para un escenario en el que la velocidad no es constante, la fórmula anterior debería generalizarse incluyendo derivadas, al igual que para el caso lineal:
\[\omega=\dfrac{d\theta}{dt}\]
En el caso de un movimiento circular uniforme, existe un intervalo de tiempo especialmente relevante, que se conoce como periodo y suele denotarse con la letra \(T\)
El periodo corresponde a la cantidad de tiempo que un cuerpo en movimiento circular uniforme tarda en completar una vuelta; es decir, \(2\pi\) radianes.
Esto nos lleva a que otra forma de calcular la velocidad angular es:
\[\omega=\dfrac{2\pi}{T}\]
Por último, queda definir una cantidad muy relevante en el estudio de sistemas en movimiento circular y sistemas periódicos: la frecuencia.
La frecuencia es el inverso del periodo, y se interpreta como el número de oscilaciones/vueltas que completa un objeto en un segundo.
- Se suele denotar por la letra \(f\) y su relación con la velocidad angular es: \[\omega=2\pi f\]
Velocidad lineal
La velocidad lineal mide el cambio por unidad de distancias (en lugar de tiempo de un ángulo).
- Sus unidades son, por tanto, de metros por segundo (\(\mathrm{m/s}\)) (en el Sistema Internacional).
La velocidad lineal es una medida de la velocidad a la que estamos más acostumbrados.
Para caracterizarla, necesitamos encontrar la relación matemática entre los ángulos en una circunferencia y las distancias recorridas sobre la misma. Para ello, utilizamos una fórmula muy sencilla:
\[d=\theta\cdot R\]
Donde:
- \(d\) es la distancia recorrida sobre la circunferencia al cubrir un ángulo \(\theta\).
- \(R\) es el radio de la circunferencia.
La característica singular del movimiento circular frente a otros movimientos curvos es que el radio es constante, lo que significa que aparece como una cantidad que nos permite cambiar de cantidades angulares a lineales mediante una sencilla multiplicación o división. Además, en el caso de un movimiento circular no uniforme (como un movimiento circular uniformemente acelerado) tendrá el mismo papel, ya que saldrá como constante al derivar.
La fórmula velocidad lineal en el caso de un movimiento circular uniforme es:
\[v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{\theta\cdot R}{t}=\omega\cdot R\]
En el caso de que la velocidad no sea uniforme:
\[v(t)=R\cdot\dfrac{d\theta}{dt}\]
Vector velocidad
Hasta ahora hemos tratado la velocidad como si fuese un escalar y no un vector. Sin embargo, como comentamos al principio, el hecho de que estemos trabajando en mínimo dos dimensiones implica que hemos de utilizar vectores para las cantidades físicas que manejamos.
En consecuencia, tanto la velocidad lineal como la angular se han de expresar como vectores.
Por simplicidad, los consideraremos de dos componentes, puesto que estudiaremos el movimiento circular en un único plano. Sin embargo, la forma de las relaciones de los vectores de velocidad no será relevante en este artículo. La razón por la que mencionamos esto es para entender la diferencia entre cantidades tangenciales y no tangenciales.
- Las magnitudes tangenciales en el movimiento circular son aquellas que se pueden expresar como vectores tangentes a la circunferencia que describe el cuerpo en movimiento.
- Las magnitudes no tangenciales son aquellas que son perpendiculares a la circunferencia.
En general, una cantidad vectorial arbitraria tendrá componentes tangenciales y no tangenciales.
La característica que define al movimiento circular es que la velocidad (angular o lineal) es siempre tangencial. La razón de esto es muy simple: si existiese velocidad no tangencial, el cuerpo se desplazaría de la circunferencia original y modificaría su distancia al centro; entonces, dejaría de ser un movimiento circular.
Esto no significa que la magnitud del vector velocidad (angular o lineal) sea también constante:
- Si la magnitud del vector velocidad es constante, nos encontramos con un movimiento circular uniforme.
- Si la magnitud del vector velocidad varía en el tiempo, nos encontramos ante un movimiento circular acelerado.
Si la variación de la magnitud del vector velocidad (lineal o angular) es constante, el movimiento se conoce como movimiento circular uniformemente acelerado.
Aceleración centrípeta y tangencial
Como hemos visto, la dirección del vector velocidad ha de ser siempre tangencial, para que el movimiento sea circular. Sin embargo, ¿qué implicaciones tiene esto para la aceleración? La aceleración se define como la variación de la velocidad que, en el caso escalar, tiene un significado claro. Sin embargo, al dotar a nuestras cantidades de un carácter vectorial, hay dos tipos de variación que podemos considerar: las de la magnitud y las de la dirección de los vectores
Aceleración centrípeta
La aceleración centrípeta (o normal) es una aceleración no tangencial dirigida siempre hacia el centro del movimiento.
El cambio constante de dirección de un objeto significa que la velocidad cambia permanentemente, lo que significa que la aceleración también cambia constantemente.
Recuerda que la velocidad es un vector, mientras que la rapidez es un escalar.
Sin embargo, podemos deducir una ecuación para la aceleración de un objeto en movimiento circular, partiendo de la ecuación que describe el movimiento circular:
\[F=\dfrac{m\cdot v^2}{R},\]
Donde:
\(F\) representa la fuerza centrípeta, en Newtons (\(\mathrm{N}\)).
\(m\) es la masa del objeto en órbita, en kilogramos (\(\mathrm{kg}\)).
\(v\) es la velocidad del objeto, en metros por segundo (\(\mathrm{m/s}\)).
\(R\) es el radio de la órbita del objeto, en metros (\(\mathrm{m}\)).
Igualando esto a \(F = m\cdot a\), obtenemos:
\[\begin{align} m\cdot a_c&=\dfrac{m\cdot v^2}{R} \\ \\ a_c&=\dfrac{v^2}{R}=\omega^2R\end{align}\]
Esto demuestra que la aceleración normal (o centrípeta) está relacionada con la velocidad y el radio, así como con la velocidad angular \(\omega\).
Dada esta relación, podemos determinar la aceleración de un objeto en movimiento circular si conocemos valores como la fuerza centrípeta, el radio de la órbita y la masa y velocidad del objeto.
Aceleración tangencial
La aceleración tangencial al movimiento circular, al igual que en el caso de la velocidad, se puede medir en distancias o en ángulos:
Si la medimos en distancia, obtenemos la aceleración tangencial lineal, cuya fórmula es:
\[a_t=\dfrac{dv}{dt},\]
que, claramente, es cero para un movimiento circular uniforme, pues la velocidad (tanto lineal como angular) es constante.
Al igual que para la velocidad, para obtener la aceleración tangencial angular hemos de utilizar el radio:
\[a_{\theta}=\dfrac{1}{R}\cdot\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d\omega}{dt}\]
¿Qué fuerzas actúan sobre un objeto en movimiento circular?
La fuerza centrípeta es un concepto clave en el movimiento circular. No debe confundirse con la fuerza centrífuga.
La fuerza centrípeta mantiene la aceleración angular y se dirige hacia el centro del movimiento.
Por otro lado, la fuerza centrífuga es una pseudofuerza.
Únicamente el objeto que describe la trayectoria circular siente la fuerza centrífuga. Esta actúa en sentido contrario a la fuerza centrípeta; es decir, se dirige hacia fuera.
Fig. 2: La fuerza centrífuga (en violeta) es contraria a la fuerza centrípeta (en amarillo).
Ejemplos del movimiento circular
Hay muchos ejemplos reales de movimiento circular. Veamos un par:
Un coche girando en una curva
En este caso, la fuerza de rozamiento es la fuerza centrípeta:
\[F_{\text{fricción}}=\dfrac{m\cdot v^2}{R}\]
Como ejemplo numérico, vamos a considerar una situación de movimiento circular uniformemente acelerado. El radio de la circunferencia descrita es de \(10\) metros y la velocidad angular es de \(5t\,\mathrm{rad/s}\), donde \(t\) es el tiempo. Calculemos todas las velocidades, el periodo y las aceleraciones.
Solución:
Para calcular la velocidad lineal:
\[v=R\cdot \omega=10\cdot 5t\,\mathrm{m/s}=50t\,\mathrm{m/s}\]
que varía con el tiempo, como debe ser para un movimiento acelerado.
Para calcular el periodo:
\[T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{5t}\,\mathrm{s}\]
que resulta disminuir con el tiempo. Es es decir, el intervalo de tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta completa se reduce paulatinamente, dado que existe una aceleración.
De aquí, se puede obtener fácilmente la frecuencia:
\[f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{5t}{2\pi}\,\mathrm{s^{-1}}\]
La aceleración centrípeta es:
\[a_c=\dfrac{v^2}{R}=\dfrac{(50t)^2}{10}=250t^2\,\mathrm{m/s^{-1}}\]
que crece paulatinamente, ya que la aceleración que se necesita para que la partícula mantenga una trayectoria circular es mayor, puesto que se encuentra acelerando.
La aceleración tangencial lineal es:
\[a_t=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d(50t)}{dt}=50\,\mathrm{m/s^2}\]
y la aceleración tangencial angular es:
\[a_{\theta}=\dfrac{a_t}{R}=\dfrac{d\omega}{dt}=5\,\mathrm{rad/s^2}\]
Como ya adelantamos, las aceleraciones tangenciales son constantes, porque estamos considerando un movimiento circular uniformemente acelerado.
Movimiento circular - Puntos clave
- El movimiento circular es el movimiento descrito por un cuerpo que sigue una trayectoria a una distancia constante de un punto llamado centro.
- Un cuerpo describiendo un movimiento circular tiene únicamente velocidad tangencial, no tiene componente radial.
- Hay magnitudes que se miden en ángulos y cantidades que se miden en términos de distancias. Las primeras reciben el nombre de angulares (velocidad angular, aceleración angular) y las segundas de lineales (velocidad lineal, aceleración lineal).
- La aceleración que mantiene el movimiento circular se llama aceleración centrípeta.
- Si el módulo de la velocidad es constante, el movimiento se llama movimiento circular uniforme.
- Si el módulo de la velocidad varía, el movimiento se llama movimiento circular acelerado.
- Si el módulo de la velocidad varía de forma lineal en el tiempo, el movimiento se llama movimiento circular uniformemente acelerado.
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