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Fig. 1 - El slinky es un gran ejemplo de oscilador armónico simple.
El slinky puede hacer esto porque es un oscilador armónico simple. La energía del movimiento armónico simple del slinky le permite ir de escalón en escalón. Este artículo nos hablará de la energía en el movimiento armónico simple: su definición, fórmula y derivada, y posición de equilibrio. Después, nos sumergiremos en algunos ejemplos de energía en el movimiento armónico simple como colofón.
Energía en el movimiento armónico simple Definición
Al igual que la energía cinética y potencial, también hay energía que proviene del movimiento armónico simple. Además, debo explicar de entrada una distinción esencial. A lo largo de este artículo utilizaré indistintamente las palabras "movimiento armónico simple" y "oscilador armónico simple". Sin embargo, no son intercambiables. Un oscilador armónico simple es un objeto que experimenta un movimiento armónico simple. El oscilador es el objeto, y el movimiento se refiere al movimiento oscilatorio real. Pero para entender ambos conceptos, primero debemos definir las fuerzas restauradoras.
Fuerzas restauradoras
Al universo le gusta estar en equilibrio; quiere estar equilibrado. El universo tiene leyes para corregir el desequilibrio cada vez que algo rompe ese equilibrio. Una de estas leyes consiste en restaurar las fuerzas. Cuando un objeto está en equilibrio, todo es estupendo. Citando la Lego Película, "¡Todo es genial!". Pero una vez que ese objeto se sale del equilibrio, el balance se ha destruido, y el universo se enfada.
Una fuerza restauradora se ejerce en sentido opuesto al desplazamiento de un objeto desde una posición de equilibrio.
Una fuerza restauradora es una fuerza que actúa sobre ese objeto para devolverlo a su posición de equilibrio: para ponerlo de nuevo en equilibrio. Esa es la razón por la que la fuerza restauradora actúa siempre en sentido opuesto al desplazamiento de un objeto: intenta devolver el objeto al lugar que le corresponde. Ese "lugar correcto" es la posición de equilibrio.
La posición de equilibrio es el lugar donde no actúa ninguna fuerza neta sobre un sistema u objeto.
Para la energía en movimiento armónico simple, la posición de equilibrio es donde no hay energía cuando el objeto está inmóvil porque no hay fuerzas netas sobre el objeto o sistema.
Fig. 2 - El punto B es el equilibrio: el lugar donde el desplazamiento \(x=0\) y las fuerzas netas que actúan sobre el objeto \(F_\text{net} = 0\).
La energía en el movimiento armónico simple y su derivación
Antes de entrar en la energía de los osciladores armónicos simples, debemos hablar del movimiento armónico simple, un tipo de movimiento periódico.
El movimiento armónico simple se produce cuando la magnitud de una fuerza restauradora ejercida sobre un objeto es proporcional al desplazamiento de dicho objeto desde su posición de equilibrio.
La ecuación derivada para el movimiento armónico simple viene dada por:
$$ma_x = -k\Delta x$$
donde \(m\) es la masa, \(a_x\) es la aceleración en la dirección horizontal, \(k\) es la constante del oscilador armónico, y \(\Delta x\) es el desplazamiento.
Fórmula de la energía en el movimiento armónico simple
La energía mecánica del movimiento armónico simple es la suma de sus energías potencial y cinética:
$$E_\text{tot} = U + K$$
donde \(E_\text{tot}) es la energía mecánica total, \(U\) es la energía potencial, y \(K\) es la energía cinética.
Fig. 3 - Esta imagen muestra cómo la energía potencial y la cinética tienen una relación inversa, es decir, a medida que una disminuye la otra aumenta. Pero, debido a la conservación de la energía, su combinación no puede superar la energía total del sistema.
Como puedes ver en la ecuación y el gráfico anteriores, la energía potencial y la energía cinética tienen una relación bastante inestable. Cuanta más energía potencial haya, menos energía cinética deberá haber para mantener equilibrada la energía total. El movimiento armónico simple no es más que un acto de equilibrio.
La conservación de la energía rige este equilibrio. Para que la energía se conserve, la energía total de un sistema aislado con movimiento armónico simple debe ser constante. Por tanto, para mantener el equilibrio, la energía potencial es máxima cuando la energía cinética es mínima. Además, la energía cinética es máxima cuando la energía potencial es mínima. Cuando una sube, la otra debe bajar, o la energía no permanecerá constante: una relación bastante rocambolesca.
La energía cinética mínima posible de un objeto en movimiento armónico simple es cero.
Podemos pensar en el movimiento armónico en términos de energía potencial. La energía potencial es la energía inherente a un objeto en función de su posición respecto a otro objeto. Por tanto, si mis dos objetos fueran una pelota y la Tierra, cuanto más me alejo la pelota de la superficie terrestre, más energía potencial gana. Esto es similar a la energía almacenada en los osciladores armónicos simples. A medida que el objeto se desplaza más de su equilibrio, aumenta la energía potencial máxima que puede experimentar, por lo que su energía total se ve mejorada.
$$E_\text{total} = \frac{1}{2}\\k A^2$$
es la ecuación que utilizamos para describir la energía de un sistema objeto muelle con \(E_\text{total}) como energía total del sistema, \(k\) como constante del muelle, y \(A\) como amplitud.
Fig. 4 - Un muelle es un ejemplo perfecto de oscilador armónico simple que presenta movimiento armónico simple.
Ejemplo de energía en movimiento armónico simple
Ahora, armados con todos estos conocimientos sobre el movimiento armónico simple, vamos a hacer algunos ejemplos.
Derivación de la energía en el movimiento armónico simple
En primer lugar, deduciremos la ecuación del movimiento armónico simple de un muelle.
Explica cómo pasar de la ecuación
$$E_\text{tot} = U + K$$
a nuestra ecuación de la energía total de un sistema muelle-objeto
$$E_\text{total} = \frac{1}{2}\k A^2\mathrm{.}$$
Solución: Saber que la energía total de un oscilador armónico simple es igual a su energía potencial más su energía cinética nos da una pista para resolver este problema. La energía potencial en un muelle viene dada por la fórmula
$$U=\frac{1}{2}\\kx^2$$
porque equivale al trabajo total realizado sobre el sistema. El trabajo realizado sobre un sistema es igual a la energía transferida dentro o fuera del sistema, que es precisamente lo que da esta fórmula.
La fórmula de la energía cinética es
$$K=\frac{1}{2}\\mv^2\mathrm{,}$$
pero el movimiento oscilatorio se escribe en términos de velocidad angular. Por lo tanto, tenemos que reescribir la velocidad así
$$v^2=\omega ^2 (A^2 - x^2)\mathrm{.}$$
Nuestra nueva ecuación sería entonces
$$K= \frac{1}{2}\m\omega ^2 (A^2 - x^2)\mathrm{.}$$
Sabiendo que
$$\frac{k}{m} = \omega ^2$$
nos permite hacer la sustitución \(k\) por
$$m\omega ^2$$
de modo que obtengamos
$$K=\frac{1}{2}\k(A^2 - x^2)$$
para la ecuación final de la energía cinética.
A continuación, sumamos estas dos ecuaciones para obtener la energía total del sistema de muelles:
$$\frac{1}{2}\k kx^2 + \frac{1}{2}\k (A^2 - x^2)\mathrm{.}$$
Utilizando la propiedad distributiva se obtiene
kx^2 + \frac{1}{2}\kA^2 - \frac{1}{2}\x^2\mathrm{,}$$
lo que anula los dos términos \(\frac{1}{2}\kx^2) y nos deja con una energía total final para el sistema muelle-masa de
$$E_\text{total}=\frac{1}{2}\\kA^2\mathrm{.}$$
Ejemplo 2
Ahora, utilizaremos esa ecuación para hallar la energía de un sistema muelle-objeto.
¿Cuál es la energía de un sistema resorte-objeto cuyo resorte tiene una constante \(k\) de \(5\,\mathrm{\frac{N}{m}\}) y una amplitud de \(3\,\mathrm{m}\})?
Recuerda nuestra ecuación de energía del movimiento armónico simple para un sistema resorte-objeto:
$$E_\text{total} = \frac{1}{2}\k A^2\mathrm{.}$$
Según el problema, tenemos un valor \(k\) de
$$k = 5\,\mathrm{\frac{N}{m}\}$$
y una amplitud de
$$A= 3,\mathrm{m}\mathrm{.}$$
Sustituyendo estos valores en nuestra ecuación se obtiene
$$E_\text{total} = \frac{1}{2}{(5,00,\mathrm{\frac{N}{m}{\}) (3,00,\mathrm{\m})^2\mathrm{,}$$
lo que nos da una energía total de
$$E_\text{total}= 22.5\,\mathrm{N\,m}\mathrm{.}$$
Los newtonmetros \((\mathrm{N\,m})\} son lo mismo que los julios \((\mathrm{J})\}.
Por fin hemos llegado al final de una larga escalera; aquí están los conocimientos esenciales para la energía de los osciladores armónicos simples.
Energía de los osciladores armónicos simples - Puntos clave
- Un oscilador armónico simple es un objeto que experimenta un movimiento armónico simple. El oscilador es el objeto, y el movimiento se refiere al movimiento oscilatorio real.
- Se ejerce una fuerza restauradora opuesta al desplazamiento de un objeto desde una posición de equilibrio.
- La posición de equilibrio es el lugar donde no actúa ninguna fuerza neta sobre un sistema u objeto.
- El movimiento armónico simple se produce cuando la magnitud de una fuerza restauradora ejercida sobre un objeto es proporcional al desplazamiento de dicho objeto desde su posición de equilibrio.
- La ecuación derivada del movimiento armónico simple es
$$ma_x = -k\Delta x\mathrm{.}$$
La energía mecánica del movimiento armónico simple es la suma de sus energías potencial y cinética:
$$E_{tot} = U + K\mathrm{.}$$
Para que la energía se conserve, la energía total de un sistema aislado con movimiento armónico simple debe ser constante. Por tanto, para mantener el equilibrio, la energía potencial es máxima cuando la energía cinética es mínima. Además, la energía cinética es máxima cuando la energía potencial es mínima.
La energía cinética mínima posible de un objeto en movimiento armónico simple es cero.
A medida que el objeto sobre un muelle se desplaza más de su equilibrio, aumenta la energía potencial máxima que puede experimentar, por lo que su energía total se ve mejorada.
$$E_{total} = \frac{1}{2}\k A^2$$ es la ecuación que utilizamos para describir la energía de un sistema muelle-masa oscilante.
Referencias
- Fig. 1 - Slinkies (https://pxhere.com/en/photo/1559395) by rawpixel.com (https://pxhere.com/en/photographer/795663) is licensed under Public Domain (https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/)
- Fig. 2 - Péndulo (https://physics.stackexchange.com/questions/170291/forces-acting-on-an-shm) by RogUE (https://physics.stackexchange.com/users/60846/rogue) is licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)
- Fig. 3 - Conservación de la energía en el movimiento armónico simple, StudySmarter Originals
- Fig. 4 - Conservación de la energía en un muelle (https://courses.lumenlearning.com/suny-osuniversityphysics/chapter/15-2-energy-in-simple-harmonic-motion/) by OpenStax CNX (https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/preface) is licensed by CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/)
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