Energía Mecánica en Sistemas SHM

Energía potencial en el movimiento armónico simple

Consideramos un sistema muelle-masa para hallar la expresión de la energía potencial en un ejemplo de movimiento armónico simple. La fuerza del muelle es una fuerza conservativa, por lo que podemos definir la energía potencial para ella. Como recordatorio rápido, una fuerza conservativa es cualquier fuerza independiente de la trayectoria de un objeto, de modo que sólo depende del desplazamiento del objeto. La energía potencial del muelle es la energía acumulada en el muelle cuando se comprime. Para hallar la expresión, podemos determinar el trabajo realizado por la fuerza resolviendo una integral o, más fácilmente, podemos representar gráficamente la fuerza del muelle en función de la posición y determinar el área bajo la curva.

$$\triángulo U=-\int_a^b{\overset\rightharpoonup F}_{\texto{conservativo}}\cdot\overset\rightharpoonup{\operatorname dr}$$

Fig 2 - Fuerza del muelle en función de la posición para ilustrar cómo determinar la energía potencial del muelle calculando el área bajo la curva.

En la figura anterior, vemos que el área bajo la curva es un triángulo. Por tanto, podemos determinar fácilmente la expresión de la energía potencial del muelle:

$$\begin{array}{rcl}U&=&\frac12(x)(kx),\\U&=&\frac12kx^2.\end{array},$$

donde \(k\) es la constante del muelle que mide la rigidez del muelle en Newtons por metro \((\frac{\mathrm N}{\mathrm m})\) y \(x\) es el desplazamiento del objeto desde el equilibrio en metros \((\mathrm m)\). Se trata de un modelo basado en la evidencia experimental de la Ley de Hooke.

Conocemos la fuerza conservativa que actúa sobre el sistema muelle-masa, por lo que podemos resolver la integral para hallar la energía potencial almacenada en el muelle.

$$U_s=-\int_0^x(-kx)dx=\frac12kx^2$$

Energía cinética en el movimiento armónico simple

Ahora que sabemos que la energía se conserva en el movimiento armónico simple, y tenemos la expresión de la energía potencial, podemos determinar la expresión de la velocidad, ya que conocemos la ecuación de la energía cinética:

$$\begin{array}{rcl}K_i+U_i&=&K_f+U_f,\\\frac12mv_i^2+\frac12\omega^2mx_i^2&=&\frac12mv_f^2+\frac12\omega^2mx_f^2.\end{array}$$

Inicialmente, estamos en el desplazamiento máximo, así que, \(v_i=0,\;x_i=A,v_f=v,\;y\;x_f=x\). Sustituimos los valores en la ecuación anterior y resolvemos la velocidad:

$$\begin{array}{rcl}\frac12\omega^2mA^2&=&\frac12mv^2+\frac12\omega^2mx^2,\\v^2&=&\omega^2(A^2-x^2),\\v&=&\omega\sqrt{A^2-x^2}.\end{array}$$

Ahora que conocemos la expresión de la velocidad del objeto que experimenta un movimiento armónico simple, podemos determinar la ecuación de la energía cinética de los osciladores armónicos simples:

$$\begin{array}{rcl}K&=&\frac12mv^2,\\K&=&\frac12m\omega^2(A^2-x^2).\end{array}$$

Energía mecánica total en el movimiento armónico simple

Ahora que conocemos las expresiones de la energía cinética y potencial en el movimiento armónico simple, podemos determinar la ecuación de la energía mecánica total de un oscilador armónico simple.

$$\begin{array}{rcl}E&=&K+U,\\E&=&\frac12k(A^2-x^2)+\frac12kx^2,\\E&=&\frac12kA^2.\end{array}$$

Otra forma de visualizar la energía mecánica total es pensar en términos de las expresiones para la posición y la velocidad de un oscilador armónico simple dadas por

$$\begin{array}{rcl}x&=&A\cos\left(\omega t+\phi\right),\\v&=&-A\omega\sin\left(\omega t+\phi\right).\end{array}$$

Si examinamos la energía del sistema, vemos que la energía potencial oscila como una función coseno-cuadrada, mientras que la energía cinética oscila como una función seno-cuadrada.

$$\begin{array}{rcl}E&=&K+U,\\E&=&\frac12mv^2+\frac12kx^2,\\E&=&\frac12mA^2\omega^2\sin^2\left(\omega t+\phi\right)+\frac12kA^2\cos^2\left(\omega t+\phi\right),\\E&=&\frac12\cancel mA^2\left(\frac k{\cancel m}\right)\sin^2\left(\omega t+\phi\right)+\frac12kA^2\cos^2\left(\omega t+\phi\right),\\E&=&\frac12kA^2\sin^2\left(\omega t+\phi\right)+\frac12kA^2\cos^2\left(\omega t+\phi\right),\final{array}$$

donde la identidad trigonométrica \(\cos^2\ izquierda(\eta\ derecha)+\sin^2\ izquierda(\eta\ derecha)=1\). La energía mecánica viene dada por

$$E=\frac12kA^2.$$

Así, vemos que la energía mecánica total del oscilador armónico simple es la suma de la energía cinética de la masa y la energía potencial almacenada en el muelle. La energía del sistema es proporcional al cuadrado de la amplitud, de modo que la amplitud afecta a la energía total. Además, vemos que la energía total de este sistema es constante en el tiempo.