La integral de una función \(f(x\)) es la operación que describe al área debajo de la gráfica descrita por la función. Para representar la integral de esta función, escribimos \(\displaystyle\int f(x)dx\). Aquí, \(dx\) nos dice que debemos integrar con respecto a la variable \(x\).
Conceptualmente, la integral es la operación inversa a la derivación. Esto significa que cuando encontramos la integral de una función, obtenemos la función que al derivarla nos dará la función que estamos integrando. Por ello la integral se conoce también como antiderivada.
La integral más sencilla es la integral de un constante que es \(0\).
- En primer lugar veremos los tipos de integrales: integrales indefinidas, integrales definidas e integrales inmediatas.
- Después te mostraremos una tabla de integrales.
- A continuación estudiaremos las propiedades de las integrales.
- Luego explicaremos brevemente los métodos de integración más importantes:
- Por último, estudiaremos la resolución de integrales como la integración de polinomios y de funciones trigonométricas e irracionales.
Tipos de integrales
El cálculo de integrales puede consistir en integrales indefinidas —en las que solo se calcula una función general— o definidas —donde se dan límites para la función—, estas últimas te darán como resultado un valor definido.
Integrales indefinidas
El propósito de la integración es encontrar la antiderivada. Sin embargo, la antiderivada es una función que no nos dice directamente el área bajo la curva de la función. Si queremos saber si hemos integrado correctamente la función, podemos derivar el resultado y comprobar que coincide con la función que hemos integrado. Si nuestra función original es \(f(x)\), normalmente llamamos a la antiderivada \(F(x)\).
Cuando encontramos la integral indefinida, es importante que incluyamos una constante de integración. La constante nos dice que el resultado de \(\int f(x)dx\) es dado como \(F(x)+c\). Esta \(c\) es cualquier constante que, independientemente del valor, nos dará la función original al derivarla. Esto es porque la derivada de una constante es \(0\). Si una función tiene una constante y se deriva, se pierde esta constante. Al integrar una función, esta función podría provenir de una función primitiva con cualquier constante.
Calcula la derivada de \(x^3+3\) y de \(x^3-5\).
Solución
Como ya sabes, la derivada de una función polinómica es:
\[(x^3+3)'=3x^2\]
\[(x^3+5)'=3x^2\]
Como puedes ver, ambas funciones tienen la misma derivada. Debido a esto, la integral de una función es una colección de funciones, cada una con una constante distinta.
Encuentra la antiderivada de \(3x^2\) definida por \(\int 3x^2dx\):La derivada de \(x^3\) es \(3x^2\), así que esta función es nuestra antiderivada.
Tal como hemos explicado anteriormente, cualquier constante podría ir con esta función y su derivada sería la misma. Esto lo representamos como \(x^3+c\), siendo \(c\) una constante de integración arbitraria.
Integrales definidas
Una integral definida es una integral con límites. Podemos representar esto como al área de la curva debajo de dos puntos: \(a\) y \(b\). Por ejemplo, la función\(f(x)\) sería:
\[\int^b_a f(x)dx\]
Podemos ver esto en la siguiente imagen:
Fig. 1. Área bajo la curva, que representa una integral definida.
Esto también lo podemos concebir como un área dividida en pequeños rectángulos de idéntico ancho entre los puntos \(a\) y \(b\). Esto significa que el ancho de cada segmento es \(\Delta x = \frac{b-a}{h}\). Cuando, además, tomamos la altura de cada barra como \(f(x)\) en \(i\) puntos a lo largo de la función \(f(x_i)\), esto puede ser interpretado como se observa en la siguiente imagen:
Fig. 2. El área que forma una función se puede calcular como la suma de distintos segmentos que la dividen.
El área debajo de la curva está dada como la suma del área de las barras o:
\[\sum^n_{i=1}f(x_i, \Delta x)\]
En este caso, para encontrar el valor de la integral, necesitamos tener un número infinito de estas divisiones y hacerlas infinitamente pequeñas.
\[\sum^n_{i=1}f(x_i, \Delta x)_{lim \rightarrow \infty } = \int^b_a f(x)dx\]
En la práctica, esto se hace más fácilmente encontrando la antiderivada de la función (sin la constante de integración) y, después, sustituyendo los valores \(a\) y \(b\), para restarlos entre sí. De esta manera, a la expresión con \(b\) sustituida se le resta la expresión con \(a\) sustituida.
Encuentra la integral de: \(\displaystyle\int^2_0 2xdx\)
Solución
Lo primero es encontrar la antiderivada de \(2x\). Esto significa que necesitamos encontrar una función que, al derivarla, obtengamos \(2x\). Si pensamos un poco, podemos deducir que esta función es \(x^2\).
Ahora que conocemos la antiderivada, procedemos a evaluar los límites.
\[\int^2_0 2xdx=x^2|^{x=2}_{x=0}\]
\[(2)^2-(0)^2=4\]
Integrales inmediatas
Cuando las integrales indefinidas pueden ser calculadas usando una fórmula general sin hacer sustituciones, álgebra o factorizaciones, estas se conocen como integrales inmediatas.
Un ejemplo de esto son las integrales de las funciones trigonométricas, si estas solo tienen como argumento una variable y no están combinadas con ninguna otra función.
La integral de las funciones \(\sin(x)\) y \(cos(x)\) son inmediatas, ya que estas se encuentran en tablas:
\[\int \sin(x)dx = \cos(x)+c\]
\[\int \cos(x)dx = -\sin(x)+c\]
Tabla de integrales
Hay funciones muy básicas que puedes integrar fácilmente. Estas son funciones a ciertas potencias, raíces y operaciones aritméticas que contienen integrales.
En la tabla hay valores que debes de tener en cuenta:
- \(n\)
- \(-n\)
- Es un número entero pero negativo
- \(\dfrac{n}{m}\)
- \(f(x), g(x)\)
- Son dos funciones, pueden ser desde un número hasta algo más complejo, como un polinomio u otra clase de función.
- \(f'(x)=\dfrac{d}{dx}f(x)=\dfrac{dy}{dx}\)
En la siguiente tabla, por cada fórmula, hay un ejemplo: esto te permitirá hacerte una idea de en qué situación puedes utilizarla.
| Caso | Fórmula | Ejemplo |
| Integral de \(x\) | \(\int x dx = \dfrac{x^{1+1}}{1+1}=\dfrac{x^2}{2}\) | La propia fórmula. |
| Integral de \(x\) por una constante | \(\int nx dx =n\int xdx \dfrac{nx^{1+1}}{1+1}=\dfrac{nx^2}{2}\) | \(\int 3x dx =3\int xdx \dfrac{3x^{1+1}}{1+1}=\dfrac{3x^2}{2}\) |
| \(x\) a una potencia \(n\) | \(\int x^n dx = \dfrac{x+{n+1}}{n+1}\) | \(\int 2x^4 dx = 2\dfrac{x+{4+1}}{4+1}=\dfrac{2}{5}x^5\) |
| \(x\) a una potencia\(-n\) | \(\int x^{-n} dx = \dfrac{1}{x^n} dx=\dfrac{x^{-n+1}}{-n+1}\) | \(\int x^{-3} dx = \dfrac{1}{x^3} dx=\dfrac{x^{-3+1}}{-3+1}=\dfrac{x^{-2}}{-2}\) |
| \(x\) a una potencia \(n/m\) | \(\int x^{n/m} dx = \dfrac{x^{(n/m)+1}}{(n/m)+1}\) | \(\int x^{3/2} dx = \dfrac{x^{(3/2)+1}}{(3/2)+1}=\dfrac{2}{5}x^{5/2}\) |
| Suma de funciones | \(\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\) | \(\int (3x+x)dx=\int 3x dx+\int xdx=\frac{3}{2}x^2+\frac{x^2}{2}\) |
| Resta de funciones | \(\int (f(x)-g(x))dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx\) | \(\int (3x-x)dx=\int 3x dx - \int xdx=\frac{3}{2}x^2- \frac{x^2}{2}\) |
| Inversa de \(x\) | \(\int \dfrac{1}{x}dx=\ln|x|\) | La propia fórmula. |
Tabla 1: casos, fórmulas y ejemplos de integrales.
Fuente: StudySmarter Originals.
Recuerda que una integral indefinida siempre te da una constante \(+c\) al final.
Propiedades de la integral
- Si una variable \(x\) existe entre\(a\) y \(b\):
- \[c \in [a,b]=\int^b_a f(x)dx=\int^c_a f(x)dx + \int^b_c f(x)dx \]
Métodos de integración
No todas las antiderivadas se pueden encontrar fácilmente por inspección. Por eso, a veces resulta útil utilizar ciertas técnicas para encontrarlas.
Integración por partes
Si tomamos como referencia las reglas de diferenciación de un producto para dos funciones: \(u(x)\) y \(v(x)\), se tiene:
\[(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\]
Si integramos ambos lados con respecto a \(x\), obtenemos:
\[\int (u(x)v(x))'dx=\int u'(x)v(x)dx + \int u(x)v'(x)dx \]
que se puede simplificar a \(u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)dx + \int u(x)v'(x)dx\)
Y, si organizamos: \(u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx\).
Esta es nuestra fórmula para hacer una integración por partes.
Siempre te puedes acordar de esta fórmula con la frase "Una Vaca Vestida de Uniforme". El "de" hace referencia a que lo siguiente es una derivada, ya que podríamos escribirlo como \(du(x)\).
Veamos un ejemplo:
Usando la integración por partes, encontremos la integral de: \(\int x \cos(x)dx \).
Solución
Para hacer esto, tenemos que \(u(x)=x\) y \(v'(x)=\cos(x)\).
De este modo, necesitamos la derivada de \(u(x)'\) y podemos buscar en tablas la antiderivada de \(\cos(x)\).
Esto nos da como resultado:
\[u(x)'=1\]
\[v(x)=\sin(x)\]
Si sustituimos esto, obtenemos la siguiente expresión:
\[\int x \cos(x)dx=x \sin(x)- \int \sin(x)dx\]
Y si buscamos la antiderivada de la función \(\sin(x)\) para resolver la última integral, obtenemos el resultado final a continuación:
\[\int x \cos(x)dx=x \sin(x)- \cos(x) + c\]
Puedes ver más ejemplos y una explicación más detallada en nuestro artículo de Integración por partes.
Integración por cambio de variable
Hay un método para simplificar integrales conocido como método por cambio de variable. En este caso, se cambia la variable con respecto a la cual se integra y, en caso de que existan, los límites también deben cambiar.
Lo mejor es mostrar esto usando un ejemplo:
Utilizando derivación por cambio de variable, encuentra la integral de la siguiente función: \(\displaystyle\int 2xe^{x^{2}}dx\).
Solución
En este caso, hagamos una nueva variable \(u=x^2\) .
Derivando esto obtenemos, \(du=2xdx\).
Entonces, podemos reordenarlo como: \(dx=\dfrac{du}{2x}\).
Al usar estos valores y sustituirlos, obtenemos lo siguiente:
\[\int 2xe^{x^{2}}dx=\int 2xe^u \dfrac{du}{2x}=\int e^u du=e^u + c\]
Si, ahora sustituimos el valor original de \(u\) como \(x^2\): \(e^u+c=e^{x^{2}}+c\).
Integración paramétrica
También podemos integrar una función paramétrica. Supongamos, que tenemos una función del tipo \(y=f(t)\) y \(x=g(t)\), la integral de las curvas definidas por estas funciones está dada como \(\int y(\dfrac{dx}{dt} dt)\). Podemos pensar esto como la derivada \(dt\), que elimina el denominador para darnos \(\int y dx\); que es lo esperaríamos de una integral normal.
Supongamos que se nos da una curva definida por la función \(y=2-t^2, x=-t^3\), con\(t\) en el rango \([0-1]\), y queremos encontrar el área debajo de la curva \(w\) cuando \(t=0\), \(x=0\) y \(t=1\), \(x=1\).
Solución
En este caso, nuestra integral está dada como la expresión: \(\displaystyle\int^1_0 (2-t^2)3t^2dt\).
Podemos evaluar esta expresión para obtener lo siguiente:
\[\displaystyle\int^1_0 (2-t^2)3t^2dt= \int^1_0 (6t^2-3t^4)dt=[2t^3-\dfrac{3}{5}t^5]^{x=1}_{x=0}=2-\dfrac{3}{5}=\dfrac{7}{5}\]
Resolución de integrales
Cuando integramos, hay varias reglas que es importante recordar. En la siguiente sección abordaremos algunas de ellas:
Integración de polinomios
La derivada de un polinomio puede ser definida usando la derivada de una variable a una potencia \(n\):
\[\int x^n dx = \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}\]
Sabemos que para que una integral ofrezca una operación inversa, esto debe ser definido como: \(n \neq 0\).
Integra la expresión \(12x^5\) con respecto a \(x\):
Solución
\[12 \int x^5 dx = 12 \int x^5 dx = 12 \dfrac{1}{6} x^6 +c = 2x^6+c \]
Integración del polinomio \(x^{-1}\)
La fórmula que acabamos de ver para todos los términos de un polinomio que están elevados a alguna potencia no es válida para términos que son del tipo \(x^{-1}\). Esto se debe a que si siguiéramos la fórmula anterior:
\[\int x^{-1} dx= \dfrac{x^{-1+1}}{-1+1}=\dfrac{x^0}{0}=\dfrac{1}{0} \]
Como puedes ver, resulta una indeterminación. Por tanto, esta fórmula no se puede aplicar en este caso. Tenemos entones la siguiente integral:
\[\int x^{-1} dx\]
Para resolverla, hacemos un cambio de variable:
\[x=e^u \iff u=\ln(x)\]
\[dx=e^udu\]
Sustituimos esto en la integral, resolvemos y, finalmente, deshacemos el cambio de variable:
\[e^u dx = \int e^{-u} du = \int du=u \ln|x|+C\]
Recuerda que el argumento del logaritmo siempre tiene que ser positivo para poder realizar esta operación, por lo que:
\[x^{-1}=\ln|x|+c\]
Esto se puede extrapolar a cualquier función:
\[\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+c\]
Integrales de funciones trigonométricas e irracionales
Como todas las funciones que hemos visto hasta el momento, la integración es el inverso de la derivación, y esto se puede apreciar también en la integración de funciones trigonométricas. En estos casos, podemos usar también sustituciones para resolver estas integrales y ayudarnos del hecho de que la operación inversa de la integral es la derivación.
Calcula la integral \(\displaystyle\int \tan(x)dx\).
Solución
Sabemos que la tangente es el cociente del seno y el coseno, por lo cual los sustituimos:
\[\int \tan(x)dx = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}dx\]
Ahora, podemos hacer un cambio de variable, donde \(u\) es la función coseno y su derivada es el seno negativo. Por tanto, nuestra función es:
\[u=\cos(x)\]
\[du=-\sin(x)dx\]
Esto significa que nuestra integral ahora es:
\[\int \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}dx=-\int \dfrac{1}{u} du=-\ln|u|+c=-\ln|\cos(x)|+c\]
Las integrales en las cuales existe un cociente y este requiere trabajo algebraico se llaman integrales irracionales. Para esto, se usan tanto las identidades trigonométricas como identidades que parten del teorema de Pitágoras. Estas manipulaciones algebraicas permiten simplificar las integrales.
Veámoslo en el siguiente ejemplo:
Usa una identidad trigonométrica para encontrar la integral de la siguiente función:
\[\int \dfrac{1}{\sqrt{9-x^2}}dx\]
Solución
En este caso, podemos hacer una sustitución donde \(x=3\sin(u)\) y, entonces,\(dx=3 \cos(u)du\). Si sustituimos esto, en la función original tenemos lo siguiente:
\[\int \dfrac{1}{\sqrt{9-x^2}}dx = \int \dfrac{3\cos(u)}{\sqrt{9-9\sin^2 u}}du\]
Si recordamos la identidad del círculo unitario, \(\sin^2(y)+\cos^2(y)=1\), podemos sustituir con \(\cos^2(u)=1-\sin^2(u)\).
De este modo, tenemos lo siguiente:
\[\int \dfrac{3\cos(u)}{\sqrt{9-9\sin^2 u}}du= \int \dfrac{3\cos(u)}{3\sqrt{1-\sin^2 u}}du=\dfrac{3 \cos (u)}{} 3 \cos (u)= \int du=u+c\]
Y entonces solo sustituimos el valor original de:
\[\arcsin(\frac{x}{3})+c\]
Integración - Puntos clave
- La integración es la operación inversa de la derivación.
- La integral definida está limitada por los rangos en los cuales es evaluada.
- La integral indefinida no tiene límites y nos permite encontrar la integral de una función para un caso general.
- Hay integrales que son conocidas y podemos consultar en tablas.
- La integración por partes se define como: \(u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx\).
- Cuando se integran los términos de un polinomio se debe seguir la siguiente regla:
\[\int x^n dx = \dfrac{x+{n+1}}{n+1}\]
- El logaritmo aparece como la antiderivada de la siguiente función general:\(\displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+c\)
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