Integrales

Tipos de integrales

El cálculo de integrales puede consistir en integrales indefinidas —en las que solo se calcula una función general— o definidas —donde se dan límites para la función—, estas últimas te darán como resultado un valor definido.

Integrales indefinidas

El propósito de la integración es encontrar la antiderivada. Sin embargo, la antiderivada es una función que no nos dice directamente el área bajo la curva de la función. Si queremos saber si hemos integrado correctamente la función, podemos derivar el resultado y comprobar que coincide con la función que hemos integrado. Si nuestra función original es \(f(x)\), normalmente llamamos a la antiderivada \(F(x)\).

Cuando encontramos la integral indefinida, es importante que incluyamos una constante de integración. La constante nos dice que el resultado de \(\int f(x)dx\) es dado como \(F(x)+c\). Esta \(c\) es cualquier constante que, independientemente del valor, nos dará la función original al derivarla. Esto es porque la derivada de una constante es \(0\). Si una función tiene una constante y se deriva, se pierde esta constante. Al integrar una función, esta función podría provenir de una función primitiva con cualquier constante.

Integrales definidas

Una integral definida es una integral con límites. Podemos representar esto como al área de la curva debajo de dos puntos: \(a\) y \(b\). Por ejemplo, la función\(f(x)\) sería:

\[\int^b_a f(x)dx\]

Podemos ver esto en la siguiente imagen:

Fig. 1. Área bajo la curva, que representa una integral definida.

Esto también lo podemos concebir como un área dividida en pequeños rectángulos de idéntico ancho entre los puntos \(a\) y \(b\). Esto significa que el ancho de cada segmento es \(\Delta x = \frac{b-a}{h}\). Cuando, además, tomamos la altura de cada barra como \(f(x)\) en \(i\) puntos a lo largo de la función \(f(x_i)\), esto puede ser interpretado como se observa en la siguiente imagen:

Fig. 2. El área que forma una función se puede calcular como la suma de distintos segmentos que la dividen.

El área debajo de la curva está dada como la suma del área de las barras o:

\[\sum^n_{i=1}f(x_i, \Delta x)\]

En este caso, para encontrar el valor de la integral, necesitamos tener un número infinito de estas divisiones y hacerlas infinitamente pequeñas.

\[\sum^n_{i=1}f(x_i, \Delta x)_{lim \rightarrow \infty } = \int^b_a f(x)dx\]

En la práctica, esto se hace más fácilmente encontrando la antiderivada de la función (sin la constante de integración) y, después, sustituyendo los valores \(a\) y \(b\), para restarlos entre sí. De esta manera, a la expresión con \(b\) sustituida se le resta la expresión con \(a\) sustituida.

Integrales inmediatas

Un ejemplo de esto son las integrales de las funciones trigonométricas, si estas solo tienen como argumento una variable y no están combinadas con ninguna otra función.

Tabla de integrales

Hay funciones muy básicas que puedes integrar fácilmente. Estas son funciones a ciertas potencias, raíces y operaciones aritméticas que contienen integrales.

En la tabla hay valores que debes de tener en cuenta:

• \(n\)
  • Es un número entero
• \(-n\)
  • Es un número entero pero negativo
• \(\dfrac{n}{m}\)
  • Son dos números enteros negativos
• \(f(x), g(x)\)
  • Son dos funciones, pueden ser desde un número hasta algo más complejo, como un polinomio u otra clase de función.
• \(f'(x)=\dfrac{d}{dx}f(x)=\dfrac{dy}{dx}\)

En la siguiente tabla, por cada fórmula, hay un ejemplo: esto te permitirá hacerte una idea de en qué situación puedes utilizarla.

Tabla 1: casos, fórmulas y ejemplos de integrales.

Fuente: StudySmarter Originals.

Propiedades de la integral

• Para constantes arbitrarias \(a\) y \(b\) y funciones arbitrarias \(f\) y \(g\):

  • \[\int (a f(x))dx + \int (b f(x))dx = a \int f(x)dx + b \int g(x) dx \]

• Para cualquier función:

  • \[\int^b_a f(x) dx = - \int^a_b f(x)dx \]

• Para una función evaluada en el intervalo \(a-a\):

  • \[\int^a_a f(x)dx=0\]

• Si una variable \(x\) existe entre\(a\) y \(b\):
  • \[c \in [a,b]=\int^b_a f(x)dx=\int^c_a f(x)dx + \int^b_c f(x)dx \]

Métodos de integración

No todas las antiderivadas se pueden encontrar fácilmente por inspección. Por eso, a veces resulta útil utilizar ciertas técnicas para encontrarlas.

Integración por partes

Si tomamos como referencia las reglas de diferenciación de un producto para dos funciones: \(u(x)\) y \(v(x)\), se tiene:

\[(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\]

Si integramos ambos lados con respecto a \(x\), obtenemos:

\[\int (u(x)v(x))'dx=\int u'(x)v(x)dx + \int u(x)v'(x)dx \]

que se puede simplificar a \(u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)dx + \int u(x)v'(x)dx\)

Y, si organizamos: \(u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx\).

Esta es nuestra fórmula para hacer una integración por partes.

Veamos un ejemplo:

Puedes ver más ejemplos y una explicación más detallada en nuestro artículo de Integración por partes.

Integración por cambio de variable

Hay un método para simplificar integrales conocido como método por cambio de variable. En este caso, se cambia la variable con respecto a la cual se integra y, en caso de que existan, los límites también deben cambiar.

Lo mejor es mostrar esto usando un ejemplo:

Integración paramétrica

También podemos integrar una función paramétrica. Supongamos, que tenemos una función del tipo \(y=f(t)\) y \(x=g(t)\), la integral de las curvas definidas por estas funciones está dada como \(\int y(\dfrac{dx}{dt} dt)\). Podemos pensar esto como la derivada \(dt\), que elimina el denominador para darnos \(\int y dx\); que es lo esperaríamos de una integral normal.

Resolución de integrales

Cuando integramos, hay varias reglas que es importante recordar. En la siguiente sección abordaremos algunas de ellas:

Integración de polinomios

La derivada de un polinomio puede ser definida usando la derivada de una variable a una potencia \(n\):

\[\int x^n dx = \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}\]

Sabemos que para que una integral ofrezca una operación inversa, esto debe ser definido como: \(n \neq 0\).

Integración del polinomio \(x^{-1}\)

La fórmula que acabamos de ver para todos los términos de un polinomio que están elevados a alguna potencia no es válida para términos que son del tipo \(x^{-1}\). Esto se debe a que si siguiéramos la fórmula anterior:

\[\int x^{-1} dx= \dfrac{x^{-1+1}}{-1+1}=\dfrac{x^0}{0}=\dfrac{1}{0} \]

Como puedes ver, resulta una indeterminación. Por tanto, esta fórmula no se puede aplicar en este caso. Tenemos entones la siguiente integral:

\[\int x^{-1} dx\]

Para resolverla, hacemos un cambio de variable:

\[x=e^u \iff u=\ln(x)\]

\[dx=e^udu\]

Sustituimos esto en la integral, resolvemos y, finalmente, deshacemos el cambio de variable:

\[e^u dx = \int e^{-u} du = \int du=u \ln|x|+C\]

Recuerda que el argumento del logaritmo siempre tiene que ser positivo para poder realizar esta operación, por lo que:

\[x^{-1}=\ln|x|+c\]

Esto se puede extrapolar a cualquier función:

\[\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+c\]

Integrales de funciones trigonométricas e irracionales

Como todas las funciones que hemos visto hasta el momento, la integración es el inverso de la derivación, y esto se puede apreciar también en la integración de funciones trigonométricas. En estos casos, podemos usar también sustituciones para resolver estas integrales y ayudarnos del hecho de que la operación inversa de la integral es la derivación.

Las integrales en las cuales existe un cociente y este requiere trabajo algebraico se llaman integrales irracionales. Para esto, se usan tanto las identidades trigonométricas como identidades que parten del teorema de Pitágoras. Estas manipulaciones algebraicas permiten simplificar las integrales.

Veámoslo en el siguiente ejemplo: