Las funciones son relaciones que involucran un elemento de entrada y un elemento de salida. No deben ser confundidas con las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, que son operaciones específicas para una cantidad.
Funciones matemáticas
Las funciones son las relaciones entre dos números, estas relaciones están dadas por alguna operación. Por lo que a cada número de entrada le corresponde un número de salida. Un ejemplo de esto es la función \(y=x+1\). Aquí, el número de salida es \(y\), el de entrada es \(x\) y se dice que el número de salida es el número de entrada más la unidad. Así, por ejemplo, el número \(x=2\) daría \(y=3\). Pero una función se encuentra de manera más común como \(f(x)\).
Si usamos \(f(x)\), esto significa que las operaciones pueden ser escritas como \(f\) y la variable de entrada como \(x\), lo que crea la expresión \(f(x)\). Las funciones pueden ser más complejas o muy simples. Por ejemplo,o. Además, las funciones también se pueden dividir en varios tipos, como funciones inversas o funciones compuestas.
Características generales de las funciones matemáticas y mapeos
Los mapeos toman uno o varios datos de entrada de un conjunto de números y lo transforman en uno o varios datos de salida.
En la siguiente imagen podemos ver distintos tipos de mapeos:
Fig. 1. Existen distintos tipos de mapeo. El mapeo que nos indica que obtenemos un valor mediante otro (uno a uno) es considerado una función.
Un mapeo únicamente puede considerarse una función si este establece que para cada valor \(x\) (lo que es denominado como dominio), existe un único valor\(y\) (rango). Esto es debido a que para cada valor \(y\) pueden existir varios valores de \(x\).
El primer caso se conoce como uno a uno; es decir, por cada valor \(y\) hay una sola \(x\): \(x \rightarrow y\).
El segundo caso se conoce como varios a uno, en este caso a un mismo valor dele pueden corresponder varios valores de \(x\): \(y \rightarrow (x_1, x_2)\). Este caso, por ejemplo, corresponde a la función cuadrática \(f(x)=x^2\) donde, al valor de \(y=1\) le corresponden los valores de \(x=(-1, 1)\).
Dos conceptos relevantes que conciernen a los mapeos y funciones son el dominio y el rango:
Dominio: el conjunto de valores de entrada donde está definida la función o mapeo.
Rango: el conjunto de valores de salida de la función o mapeo, como resultado de la actuación sobre el dominio.
Funciones matemáticas compuestas
Una función compuesta involucra la combinación de dos o más funciones para producir una nueva función.
Por tanto, esta es una función de una función. Podríamos expresarlo como \(f(g(x))\). Esta expresión significa que primero existe la función \(g\), que tiene por variable de entrada \(x\), y el resultado de esto, que es \(g(x)\), es usado como dato de entrada en la función \(f\).
Dado \(f(x)=x+2\) y \(g(x)=3x-1\), encuentra \(f(g(x))\) para \(x=4\).
Solución
Primero se necesita resolver \(g(x=4)\):
\[g(4)=3(4)-1\]
\[g(4)=11\]
Ahora, este valor es utilizado como el valor de entrada para encontrar \(f(g(x))\):
\[f(11)=11+2\]
\[f(11)=13\]
De este modo, \(f(g(4))=13\).
Es importante remarcar que el orden de composición es relevante, ya que \(f(g(x))\) no es lo mismo que \(g(f(x))\).
Veamos el resultado, si aplicamos \(g(f(x))\):
- Dado \(f(x)=x+2\) y \(g(x)=3x-1\), encuentra \(g(f(x))\) cuando \(x=4\).
\[f(4)=4+2\]
- Entonces hay que resolver \(f(x=4)\):
\[g(6)=3(6)-1\]
- Ahora, utilizaremos este valor en \(g(f(x))\):
- De este modo, \(g(f(x))=17\).
Como puedes ver, el resultado no es el mismo en función del orden que apliquemos. Es por esto que tenemos que entender bien qué queremos calcular.
Funciones matemáticas inversas
Una función inversa es la función que “realiza las operaciones contrarias” a la función original. Dicho de otra manera, esta función opera sobre las elementos de salida de la función original y devuelve las variables de entrada.
Las funciones inversas se denotan por el símbolo \(f^{-1}(x)\). La función inversa toma el rango de la función (los datos de salida) y obtiene el dominio de la función original (los datos de entrada). Si representamos gráficamente una función y su inversa, podríamos ver cómo ambas son el reflejo de la otra.
Considera la función:
\[f(x)=2x+4\]
entonces:
\[f(x)=2x+4=y\]
\[y=2x+4\]
\[x=\dfrac{y=4}{2}=f^{-1}(x)\]
Funciones comunes
En tus clases de matemáticas, habrá ciertas funciones comunes que te encontrarás. Algunas de ellas son las siguientes:
Estas se pueden usar para formar funciones más complejas. Por ejemplo, la función exponencial de una variable sería:
\[f(x)=e^x\]
Pero, usando esta función en una función irracional, podríamos tener:
\[f(x)=\dfrac{e^{2x}}{x}\]
Esto hace a nuestra función más compleja, ya que en cierto sentido es una composición de funciones.
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son funciones donde el crecimiento o decrecimiento de la función sigue una tendencia exponencial. Esta tendencia le permite crecer o decrecer muy rápidamente. Ejemplos de crecimientos exponenciales son los que siguen las poblaciones de las grandes ciudades.
Esta función puede ser encontrada en leyes físicas, químicas y de biología; una de ellas es el decaimiento radioactivo.
\[N=N_0e^{\frac{-t}{\lambda}}\]
En esta ley, \(N_0\) es el número de partículas radiactivas al inicio, \(t\) es tiempo que ha pasado y lambda \(\lambda\) es una constante que depende de cada material.
Funciones logarítmicas
Los logaritmos son la función inversa de los exponenciales. El logaritmo natural, por ejemplo, es el inverso de la función exponencial \(\e^x). Hay varias clases de logaritmos. Estos dependen de la base del logaritmo, que es el número o letra en la parte inferior del símbolo, como podrás ver a continuación. Esta base nos indica cuál sería la base en la función exponencial:
\(log_a\), logaritmo de base "z".
El logaritmo natural se define como: \(ln=log_e\).
El logaritmo de base diez se define como: \(log=log_{10}\).
El logaritmo de base \(a\), donde\(a\) es cualquier valor, se define como: \(log_a\).
Funciones racionales
Las funciones racionales con aquellas que pueden ser expresadas como el cociente de dos polinomios. Estas funciones pueden tener discontinuidades, es decir, valores donde la función no existe. Estos valores no están dentro del dominio de la función. Este tema lo puedes aprender con más profundidad en nuestro artículo de Continuidad, de momento veremos solo un ejemplo básico.
La función \(4x^2+2x+2 \over x-1\) es continua, ya que puede tomar cualquier valor de \(x\), excepto \(1\).
Si observas bien, cuando \(x=1\), la parte inferior es igual a \(0\).
\(4+2+2\over0\)=\(8\over0\)
Sabemos que esta operación no es posible, así que el valor de \(y=0\), o el rango de la función, no existe para \(x=1\). Esta es, de hecho, una discontinuidad.
Funciones irracionales
Las funciones irracionales son funciones en las que existe una raíz. Estas funciones están acotadas en su dominio, ya que los valores dentro de la raíz no pueden ser negativos. Cualquier función con un radical (raíz) que no se puede simplificar es una función irracional.
Algunos ejemplos de funciones racionales son:
\[f(x)=\sqrt{x+2}\]
\[f(x)=2+\sqrt{x^2-2}\]
\[f(x)=\dfrac{\sqrt{x-\sin(x)}}{3}\]
Gráficas y cómo representar funciones matemáticas
Las gráficas nos pueden ayudar a representar las funciones visualmente. Cada función tiene asociada una gráfica, aunque no siempre podemos representarlas si involucran más de tres dimensiones. Hay muchos factores que pueden alterar la forma de una gráfica, algunos de los cuales son:
Gráficas de polinomios
Los polinomios son expresiones que contienen variables elevadas a potencias positivas y enteras multiplicadas por una constante (distinta para cada término). Los polinomios pueden ser tremendamente complejos o bastante simples. Dos ejemplos de polinomios son \(4x^3+3x^2+2x+x\) y \(2x+3\). Estas expresiones se pueden representar gráficamente para intuir su comportamiento.
Las gráficas dependen de la potencia más grande del polinomio y, normalmente, en tus clases encontrarás gráficas de parábolas (polinomios cuadráticos) o gráficas de hipérbolas (polinomios cúbicos).
Fig. 2. Gráfica de un polinomio de grado \(6\).
Funciones - Puntos clave
- Un mapeo o aplicación es la generalización de una función. Toma datos de entrada y genera datos de salida, estos datos no tienen por qué ser únicos para cada dato de entrada.
- Las funciones toman un dato de entrada y generan un único dato de salida por cada dato de entrada.
- Se pueden construir funciones usando términos algebraicos.
- Dos tipos especiales de funciones son las funciones compuestas y funciones inversas.
- El conjunto de datos de entrada en los que está definida una aplicación se llama dominio y el conjunto de datos de salida que genera el dominio se llama rango o imagen.
- Algunas funciones comunes son las funciones exponenciales, logarítmicas y las irracionales.
- Las funciones se pueden representar en gráficas que nos ayudan a entender su comportamiento.
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