Funciones Matemáticas

Funciones matemáticas

Por tanto, las funciones son las relaciones entre dos números, estas relaciones están dadas por alguna operación. Por lo que a cada número de entrada le corresponde un número de salida. Un ejemplo de esto es la función \(y=x+1\). Aquí, el número de salida es \(y\), el de entrada es \(x\) y se dice que el número de salida es el número de entrada más la unidad. Así, por ejemplo, el número \(x=2\) daría \(y=3\). Pero una función se encuentra de manera más común como \(f(x)\).

Si usamos \(f(x)\), esto significa que las operaciones pueden ser escritas como \(f\) y la variable de entrada como \(x\), lo que crea la expresión \(f(x)\). Las funciones pueden ser más complejas o muy simples. Por ejemplo, \(f(x)=x^2\) o \(f(x)=2x-1\). Además, las funciones también se pueden dividir en varios tipos, como funciones inversas o funciones compuestas.

Características generales de las funciones matemáticas y mapeos

En la siguiente imagen podemos ver distintos tipos de mapeos:

Fig. 1. Existen distintos tipos de mapeo. El mapeo que nos indica que obtenemos un valor mediante otro (uno a uno) es considerado una función.

Un mapeo únicamente puede considerarse una función si este establece que para cada valor \(x\) (lo que es denominado como dominio), existe un único valor\(y\) (rango). Esto es debido a que para cada valor \(y\) pueden existir varios valores de \(x\).

• El primer caso se conoce como uno a uno; es decir, por cada valor \(y\) hay una sola \(x\): \(x \rightarrow y\).

• El segundo caso se conoce como varios a uno, en este caso a un mismo valor dele pueden corresponder varios valores de \(x\): \(y \rightarrow (x_1, x_2)\). Este caso, por ejemplo, corresponde a la función cuadrática \(f(x)=x^2\) donde, al valor de \(y=1\) le corresponden los valores de \(x=(-1, 1)\).

Dos conceptos relevantes que conciernen a los mapeos y funciones son el dominio y el rango:

• Dominio: el conjunto de valores de entrada donde está definida la función o mapeo.

• Rango: el conjunto de valores de salida de la función o mapeo, como resultado de la actuación sobre el dominio.

Funciones matemáticas compuestas

Por tanto, esta es una función de una función. Podríamos expresarlo como \(f(g(x))\). Esta expresión significa que primero existe la función \(g\), que tiene por variable de entrada \(x\), y el resultado de esto, que es \(g(x)\), es usado como dato de entrada en la función \(f\).

Funciones matemáticas inversas

Las funciones inversas se denotan por el símbolo \(f^{-1}(x)\). La función inversa toma el rango de la función (los datos de salida) y obtiene el dominio de la función original (los datos de entrada). Si representamos gráficamente una función y su inversa, podríamos ver cómo ambas son el reflejo de la otra.

Funciones comunes

En tus clases de matemáticas, habrá ciertas funciones comunes que te encontrarás. Algunas de ellas son las siguientes:

• Exponenciales.

• Logaritmos.

• Funciones racionales.

• Funciones irracionales.

Estas se pueden usar para formar funciones más complejas. Por ejemplo, la función exponencial de una variable sería:

\[f(x)=e^x\]

Pero, usando esta función en una función irracional, podríamos tener:

\[f(x)=\dfrac{e^{2x}}{x}\]

Esto hace a nuestra función más compleja, ya que en cierto sentido es una composición de funciones.

Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales son funciones donde el crecimiento o decrecimiento de la función sigue una tendencia exponencial. Esta tendencia le permite crecer o decrecer muy rápidamente. Ejemplos de crecimientos exponenciales son los que siguen las poblaciones de las grandes ciudades.

Funciones logarítmicas

Los logaritmos son la función inversa de los exponenciales. El logaritmo natural, por ejemplo, es el inverso de la función exponencial \(\e^x). Hay varias clases de logaritmos. Estos dependen de la base del logaritmo, que es el número o letra en la parte inferior del símbolo, como podrás ver a continuación. Esta base nos indica cuál sería la base en la función exponencial:

\(log_a\), logaritmo de base "z".

El logaritmo natural se define como: \(ln=log_e\).

El logaritmo de base diez se define como: \(log=log_{10}\).

El logaritmo de base \(a\), donde\(a\) es cualquier valor, se define como: \(log_a\).

Funciones racionales

Las funciones racionales con aquellas que pueden ser expresadas como el cociente de dos polinomios. Estas funciones pueden tener discontinuidades, es decir, valores donde la función no existe. Estos valores no están dentro del dominio de la función. Este tema lo puedes aprender con más profundidad en nuestro artículo de Continuidad, de momento veremos solo un ejemplo básico.

Funciones irracionales

Las funciones irracionales son funciones en las que existe una raíz. Estas funciones están acotadas en su dominio, ya que los valores dentro de la raíz no pueden ser negativos. Cualquier función con un radical (raíz) que no se puede simplificar es una función irracional.

Algunos ejemplos de funciones racionales son:

Gráficas y cómo representar funciones matemáticas

Las gráficas nos pueden ayudar a representar las funciones visualmente. Cada función tiene asociada una gráfica, aunque no siempre podemos representarlas si involucran más de tres dimensiones. Hay muchos factores que pueden alterar la forma de una gráfica, algunos de los cuales son:

• Dominios con valores negativos o positivos.

• La forma de la función (la ecuación que la representa).

• Discontinuidades.

Gráficas de polinomios

Los polinomios son expresiones que contienen variables elevadas a potencias positivas y enteras multiplicadas por una constante (distinta para cada término). Los polinomios pueden ser tremendamente complejos o bastante simples. Dos ejemplos de polinomios son \(4x^3+3x^2+2x+x\) y \(2x+3\). Estas expresiones se pueden representar gráficamente para intuir su comportamiento.

Las gráficas dependen de la potencia más grande del polinomio y, normalmente, en tus clases encontrarás gráficas de parábolas (polinomios cuadráticos) o gráficas de hipérbolas (polinomios cúbicos).

Fig. 2. Gráfica de un polinomio de grado \(6\).